气体动理论（附答案）

⽓体动理论（附答案）
⽓体动理论
⼀、填空题
1.
(本题3分)某⽓体在温度为T = 273 K时，压强为p=1.0×10-2atm，密度ρ = 1.24×10-2 kg/m3，则该⽓体分⼦的⽅均根速率为____________。

(1 atm = 1.013×105 Pa)
答案：495m/s
2.
(本题5分)某容器内分⼦密度为1026m-3，每个分⼦的质量为3×10-27kg，设其中1/6分⼦数以速率v=200m/s垂直向容器的⼀壁运动，⽽其余5/6分⼦或者离开此壁、或者平⾏此壁⽅向运动，且分⼦与容器壁的碰撞为完全弹性的。

则
(1)每个分⼦作⽤于器壁的冲量ΔP=_____________；
(2)每秒碰在器壁单位⾯积上的分⼦数n0=___________；
(3)作⽤在器壁上的压强p=_____________；
答案：1.2×10-24kgm/s
×1028m-2s-1
4×103Pa
3.
(本题4分)储有氢⽓的容器以某速度v作定向运动，假设该容器突然停⽌，⽓体的全部定向运动动能都变为⽓体分⼦热运动的动能，此时容器中⽓体的温度上升0.7K，则容器作定向运动的速度v=____________m/s，容器中⽓体分⼦的平均动能增加了_____________J。

(普适⽓体常量R=8.31J·mol-1·K-1，波尔兹曼常k=1.38×10-23J·K-1，氢⽓分⼦可视为刚性分⼦。

)
答案：：121
2.4×10-23
4.
(本题3分)体积和压强都相同的氦⽓和氢⽓(均视为刚性分⼦理想⽓体)，在某⼀温度T下混合，所有氢分⼦所具有的热运动动能在系统总热运动动能中所占的百分⽐为________。

答案：62.5%
5.
(本题4分)根据能量按⾃由度均分原理，设⽓体分⼦为刚性分⼦，分⼦⾃由度为i，则当温度为T时，
(1)⼀个分⼦的平均动能为_______。

(2)⼀个摩尔氧⽓分⼦的转动动能总和为________。

答案：ikT
RT
6.
(本题5分)图⽰的两条曲线分别表⽰氦、氢两种⽓体在相同温度T时分⼦按速率的分布，其中
(1)曲线I 表⽰________⽓分⼦的速率分布曲线；曲线II 表⽰________⽓分⼦的速率分布曲线。

(2)画有阴影的⼩长条⾯积表⽰____________。

(3)分布曲线下所包围的⾯积表⽰__________。

答案：氧，氢
速率在v→v +Δv 范围内的分⼦数占分⼦数的百分率。

速率在0→∞整个速率区间内的分⼦数的百分率的总和。

7.
(本题3分)图中d A 为器壁上⼀⾯元，x 轴与d A 垂直。

已知分⼦数密度为n ，速
率分布函数为()f v ，则速度分量在v x ～v x +d v x ，v y ～v y +d v y ，v z ～v z +d v z 区间中的
分⼦在d t 时间内与⾯元d A 相碰的分⼦数为__________。

答案：Nv x d t d A ()f v d v x d v y d v z
8.
(本题5分)⽤总分⼦数N 、⽓体分⼦速率v 和速度分布函数f (v )表⽰下列各量：
(1)速率⼤于v 0的分⼦数=_________；
(2)速率⼤于v 0的那些分⼦的平均速率=_________；
(3)多次观察某⼀分⼦的速率，发现其速率⼤于v 0的概率=__________。

答案：
9.
(本题5分)图⽰的曲线分别表⽰了氢⽓和氦⽓在同⼀温度下的分⼦速率的分布情况。

由图可知，氦⽓分⼦的最概然速率为
______________，氢⽓分⼦的最概然速率为_______________。

答案：1000m/s
×1000m/s
10.
(本题4分)氮⽓在标准状态下的分⼦平均碰撞频率为5.42×108s -1，分⼦平均⾃由程为6×10-6 cm ，若温度不变，⽓压降为0.1atm ，则分⼦的平均碰撞频率变为_____________；平均⾃由程变为_________________。

答案：5.42×107s -1
6×10-5 cm
11.
(本题3分)质量为6.2×10-14g 的某种粒⼦是浮于27℃的⽓体中，观察到它们的⽅均根速率为1.4cm/s ，则该种粒⼦的平均速率为__________。

(设粒⼦遵守麦克斯韦速度分布律)
答案：1.29×10-2m/s
12. 氮⽓罐容积为50L ，由于⽤掉部分氮⽓，压强由71.01310Pa ?减为
64.05210P a ?，同时罐内氮⽓温度由30℃降为20℃.求：（1）罐中原有氮⽓的质
量；（2）⽤掉氮⽓的质量；（3）⽤掉的氮⽓在51.01310Pa ?和20℃时应占有的体积.
参考解答
解题分析
由理想⽓体的状态⽅程可以计算出⽓体的质量.在第三问中，同样由理想⽓体的状态⽅程反过来从⽓体的质量求出⽓体所占的体积.
解题过程
（1）已知
2350L 5.010m V -==?，71.01310Pa p =?，
300.15K T =，22.810kg/mol M -=?，
得罐中原有氮⽓的质量为
272
2.810 1.01310 5.010kg 5.63kg 8.3130
3.15
MpV m RT --===? （2）⽤掉部分氮⽓之后，
64.05210Pa p '=?，293.15K T '=.
得罐中剩余氮⽓的质量为
262
2.810 4.05210 5.010kg 2.31kg 8.3129
3.15
Mp V m RT --''===? ⽤掉氮⽓的质量为(5.63 2.31)kg 3.32kg m m m '?=-=-=.
（3）⽤掉的氮⽓在51.01310Pa ?和20℃时所占的体积
33523.328.31293.15m 2.85m 1.01310 2.810
mRT V pM -===
13.⼆⼋⾃⾏车车轮的直径为71.12cm ，内胎截⾯的直径为3.0cm .在-3℃的天⽓⾥向空胎内打⽓.打⽓筒长为30cm ，截⾯半径为1.5cm .打了20下，⽓打⾜了，这时车胎内⽓体的温度为7℃，试估算车胎内⽓体的压强.
参考解答
解题分析将已知条件代⼊理想⽓体状态⽅程计算即可.
解题过程
打⽓筒，V 1＝20×30.0cm×π(1.5cm)2，T 1＝－3℃，p 1＝1.013×105Pa ，车胎内，V 2＝71.12cm×π(1.5cm)2，T 2＝7℃.
5122121
2.810Pa V T p p V T ==?
14.已知⼤⽓压强随⾼度变化的规律为：/0e Mgh RT p p -=.其中M 是分⼦质量.证明：分⼦数密度随⾼度按指数规律减⼩.设⼤⽓的温度不随⾼度改变.⼤⽓的主要成分是氮⽓和氧⽓.那么⼤⽓氮⽓分⼦数密度与氧⽓分⼦数密度的⽐值随⾼度如何变化？参考解答
解题分析压强随⾼度变化服从玻尔兹曼分布，将理想⽓体的压强公式代⼊压强随⾼度变化的表达式即可.
解题过程
将理想⽓体的状态⽅程写成这样的形式：
B p nk T =
其中n 是分⼦数密度。

代⼊压强随⾼度变化的表达式，
/0B B e Mgh RT p p k T k T
-= 有
/0e Mgh RT n n -=（1）
因此如果⼤⽓的温度不随⾼度改变，则分⼦数密度随⾼度按指数规律减⼩.质量越⼩的分⼦数密度随⾼度下降得越慢。

氮⽓分⼦的分⼦量⽐氧⽓分⼦的分⼦量⼩，所以氮⽓分⼦⽐氧⽓分⼦质量⼩，氮⽓分⼦数密度随⾼度下降⽐氧⽓分⼦慢，所以随着⾼度的增加，氮⽓分⼦数密度与氧⽓分⼦数密度的⽐值也增⼤. 下⾯⽤数学表达式来表⽰，由（1）式，写出氮⽓分⼦数密度n N 与氧⽓分⼦数密度n O 随⾼度的变化
N /N N0e M gh RT n n -=，O /O O0e M gh RT n n -=（2）
它们的⽐值
O N ()/N N0O O0
e M M gh RT n n n n -=（3）由于氧⽓分⼦的分⼦量M N ⽐氧⽓分⼦的分⼦量M O ⼩，这⼀⽐值随⾼度的增加
15. N 个假想⽓体分⼦，其速率分布如图（当02v v >时分⼦数为0），求：（1）a ；
（2）分⼦平均速率及⽅均根速率.
参考解答解题分析分布函数曲线下的总⾯积就是总分⼦数N ，由此可定出a 的数值.然后就可以根据图的曲线分段写出分布函数.最后由分布函数求出与速率有关的统计平均值.
解题过程
（1）曲线OABC 下的⾯积为总分⼦数N .
由归⼀化条件
1OA BC AB N N N N N N ++=，0000
321,2225av av av N a N N N v ++==. （2）先写出)(x f 函数形式
00000003102513()2
22322
a v
v v v a f v a v v v v v a v v v ?≤≤=-≤≤≤≤??
f
2
00000/23/222000/23/2004559()d d ()d d 2120
v v v v v a v v vf v v v v a v v a v v v v ∞==+-+= ⽅均根速率
00
000/23/22222222000/23/2004549()d d ()d d 240
v v v v v a a av v v f v v v v v v v v a v v v v ∞==+-+=
=
16.求在标准状况下1.03cm 氮⽓中⽓体分⼦速率处于500~501m/s 之间的数⽬.
参考解答
解题分析利⽤麦克斯韦速率分布函数.求⼀段速率区间的总分⼦数是要⽤到积分的.但本题的速率区间相对于速率来说⾮常⼩，所以可以直接⽤速率区间相乘，⽽免于积分.
解题过程
解：已知
273.15K T =，51.01310Pa p =?，23N 2810kg/mol M -=?
故得
223N 26N 23A 2810kg 4.6510kg 6.0210
M m N --?===??5
325323B 1.01310m 2.710m 1.3810273.15
p n k T ---?=== 由麦克斯韦速率分布律可知
2B 3222B ()4πe 2πmv k T n v m v v n k T -=?
其中
500m/s v =，1m/s v ?=
将有关的数据代⼊上式得：
31631.8510, 5.010cm n n n
--?=??=? 17. 质量为10kg 的氮⽓，当压强为51.01310Pa,p =?，体积为7700cm 2，其分⼦的平均平动动能是多少？
参考解答
解题分析利⽤理想⽓体平均动能的表达式.不过现在温度未直接给出.所以要利⽤理想⽓体状态⽅程.
解题过程
解：已知
23N 2810kg/mol M -=?，51.01310Pa p =?，337.710m V -=?，10kg m =
故分⼦的平均平动动能为
2353N 24B 23A 3332810 1.013107.710J 5.4410J 22210 6.02210
M pV E k T mN ---===?=??? 18. ⼀摩尔双原⼦理想⽓体（,m 52
V C R =， 1.4γ=）的体积，绝热地膨胀到原来的2倍，122V V =.问：（1）前后平均⾃由程之⽐
21?λλ=（2）碰撞频率为Z ，前后碰撞频率之⽐
21?Z Z =
参考解答
解题分析既然是绝热膨胀，就可以利⽤绝热过程⽅程.求出终态的压强后，
再利⽤平均⾃由程式的表达式λ=和碰撞频率的表达式λv Z =，即可求出所需的量.
解题过程
（1）理想⽓体进⾏绝热过程，有
1122pV p V γγ=，121121()()2
V p p p V γγ== 由理想⽓物态⽅程
112212
p V p V T T =，122212111211()()()2T p V V V T p V V V γγ-==?=
和平均⾃由程式λ=，得到122111211()()222
T p T p γγλλ--==?= （2）碰撞频率λv Z =
，其中v =
2211120.435Z V Z V λλ==== 19. 测定⽓体分⼦速率分布实验要求在⾼度真空的容器内进⾏.如果真空度较差，那么容器内允许的⽓体压强受到什么限制？
参考解答
解题分析要求⽓体分⼦在容器内的运动不受杂质影响，也就是⽓体分⼦的平均⾃由程要⼤于容器的线度.
解题过程
如果不是⾼度真空，容器内有杂质粒⼦，分⼦与杂质粒⼦碰撞会改变速率分布，使得测到的分布不准。

假若真空度较差，只要分⼦的平均⾃由程λ⼤于容器的线度L ，即L λ>，那么可以认为分⼦在前进过程中基本不受杂质粒⼦的影响.由于平均⾃由程与压强的关系为
λ=
所以要求
L
>
即
p<
这就是对于容器内压强的限制条件.。