数列前n项和的求法

专题二： 数列前n 项和的求法
一、倒序相加法求数列的前n 项和
如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例1：设等差数列{a n }，公差为d ，求证：{a n }的前n 项和S n =n(a 1+a n )/2
例2：求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
二、用公式法求数列的前n 项和 对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。

运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

例3：求数列
的前n 项和S n ：
例4：已知3log 1log 23-=
x ，求n x x x x +⋅⋅⋅+++32的前n 项和.
例5：设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1
)32()(++=n n S n S n f 的最大值.
点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。

三、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
例6：求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S
例7： 求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n 前n 项的和.
四、分组法求和（并项法）
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例8：求S = 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n-1n 2(n ∈N *)
例9：求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，…
五、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.
数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。

我们的学生在学习中
必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。

六、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （3）1
11)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 例10：求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.
例11： 在数列{a n }中，1
1211++⋅⋅⋅++++=
n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
七.用构造法求数列的前n 项和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
例12： 求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.
练习：求5+55+555+….+555…5之和。