人教版七年级上册数学期末复习专项——《数轴类综合问题》(二)

人教版七年级上册数学期末复习专项——
《数轴类综合问题》（二）
1．如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上在A点左侧的一点，且A、B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．（1）数轴上点B表示的数是；
（2）运动1秒时，点P表示的数是；
（3）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？相遇时对应的有理数是多少？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q的距离为8个单位长度．
2．如图，直线l有上三点M，O，N，MO＝3，ON＝1；点P为直线l上任意一点，如图画数轴．
（1）当以点O为数轴的原点时，点P表示的数为x，且点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是；
（2）当以点M为数轴的原点时，点P表示的数为y，当y＝时，使点P到点M、点N的距离之和是5；
（3）若以点O为数轴的原点，点P以每秒2个单位长度的速度从点O向左运动时，点E从点M以每秒1个单位长度速度向左运动，点F从点N每秒3个单位长度的向左运动，且三点同时出发，求运动几秒时点P、点E、点F表示的数之和为﹣20．
3．如图，在数轴上点A表示的数为20，点B表示的数为﹣40，动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿负方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位长度的速度沿负方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速反方向运动，三点同时出发，出发时间为t （秒）．
（1）点P、Q在数轴上所表示的数分别为：、；
（2）当N、Q两点重合时，求此时点P在数轴上所表示的数；
（3）当NQ＝PQ时，求t的值
4．如图，已知A、B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，2OB＝3OA，点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）数轴上点B表示的数是多少？
（2）设运动的时间为t（t＞0）秒，当t为何值时，P，Q两点相遇？
（3）在P，Q运动时间都超过8秒的情况下，当点P运动到什么位置时，恰好使OP＝2OQ？
5．已知数轴上M、O、N三点对应的数分别为﹣2、0、6，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）求MN的长；
（2）若点P是MN的中点，则x的值是．
（3）数轴上是否存在一点P，使点P到点M、N的距离之和是10？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
6．【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现有许多重要的规律：
例如，若数轴上A点、B点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点M表示的数为．
【问题情境】
在数轴上，点A表示的数为﹣20，点B表示的数为10，动点P从点A出发沿数轴正方向运动，同时，动点Q也从点B出发沿数轴负方向运动，已知运动到4秒钟时，P、Q两点相遇，且动点P、Q运动的速度之比是3：2（速度单位：单位长度/秒）．
【综合运用】
（1）点P的运动速度为单位长度/秒，点Q的运动速度为单位长度/秒；
（2）当PQ＝AB时，求运动时间；
（3）若点P、Q在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动，但运动的方向不限，我们发现：随着动点P、Q的运动，线段PQ的中点M也随着运动．问点M能否与原点重合？
若能，求出从P、Q相遇起经过的运动时间，并直接写出点M的运动方向和运动速度；
若不能，请说明理由．
7．如图，数轴上A、B两点分别位于原点两侧（点A在原点左侧，点B在原点右侧），AO ＝2BO，点A在数轴上对应数是﹣800．动点P、Q同时从原点出发分别向左、向右运动，速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒，同时，动点R也从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒．设运动时间为t秒．
（1）填空：
①点B在数轴上对应的数是；
②点P在数轴上对应的数是；点Q在数轴上对应的数是；点R在数轴上
对应的数是；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，动点R与动点P之间距离为200个单位长度？
（3）若点M、N分别为线段PQ、RP的中点，当t≤100秒时，2MN﹣MB的值是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，求其值．
8．我们把数轴上表示数﹣1的点称为离心点，记作点Φ，对于两个不同的点M和N，若点M、N到离心点Φ的距离相等，则称点M、N互为离心变换点．例如：图1中，因为表示数﹣3的点M和表示数1的点N，它们与离心点Φ的距离都是2个单位长
度，所以点M、N互为离心变换点．
（1）已知点A表示数a，点B表示数b，且点A、B互为离心变换点，
①若a＝﹣4，则b＝；若b＝π，则a＝．
②用含a的式子表示b，则b＝．
③若把点A表示的数乘以3，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动3个单位长度恰好
到点B，则点A表示的数是
（2）若数轴上的点P表示数m，Q表示数m+6．对P点做如下操作：点P沿数轴向右移动k（k＞0）个单位长度得到P1，P2为P1的离心变换点，点P2沿数轴向右移动k个单位长度得到P3，P4为P3的离心变换点…，依此顺序不断地重复，得到P5，P6，…，P n
①已知P2019表示的数是﹣5，求m的值；
②对Q点做如下操作：Q1为Q的离心变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2，
Q3为Q2的离心变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4，…，依此顺序不断地重复，得到Q5，Q6，…，Q n，若无论k为何值，P n与Q n两点间的距离都是26，则n＝
9．如图，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b，且（a+5）2+|b﹣7|＝0．（1）则a＝，b＝；A、B两点之间的距离＝．
（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2019次时，求点P所对应的数．
（3）在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？请直接写出此时点P所对应的数，并分别写出是第几次运动．
10．如图，A、B是数轴上两点，点A表示的数是a，点B表示的数是b，满足：|a+b|+（b﹣10）2＝0，点C是线段AB上一点，满足BC＝2AC．
（1）直接写出a＝，b＝，c＝；
（2）如图1，若动点P从点A出发，以3cm/s的速度向右运动，到达点B后立即返回；
动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为t（s），当点P与点Q第二次重合时，P、Q两点停止运动：
①当t为何值时，P、Q第一次相遇？
②当t为何值时，P、Q两点之间的距离为2？
（3）如图2，若数轴上点D对应的数是8，若线段BD固定不动，线段AC以每秒2个单位的速度向右运动，E、F分别是AC、BD的中点，在线段AC向右运动的过程中，是否存在某个时间段，始终有EF+AD为定值，若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：（1）∵点A表示的数为6，AB＝10，且点B在点A的左侧，
∴点B表示的数为6﹣10＝﹣4．
故答案为：﹣4．
（2）6﹣3×1＝3．
故答案为：3．
（3）设运动的时间为t秒，则此时点P表示的数为6﹣3t，点Q表示的数为2t﹣4．
①依题意，得：6﹣3t＝2t﹣4，
解得：t＝2，
∴2t﹣4＝0．
答：当点P运动2秒时，点P与点Q相遇，相遇时对应的有理数是0．
②点P，Q相遇前，6﹣3t﹣（2t﹣4）＝8，
解得：t＝；
当P，Q相遇后，2t﹣4﹣（6﹣3t）＝8，
解得：t＝．
答：当点P运动秒或秒时，点P与点Q的距离为8个单位长度．
2．解：（1）当点O为原点时，点M表示的数为﹣3，点N表示的数为1，依题意，得：1﹣x＝x﹣（﹣3），
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
（2）当点M为原点时，点O表示的数为3，点N表示的数为4，
∴PM＝|x|，PN＝|x﹣4|．
∵PM+PN＝5，
∴|x|+|x﹣4|＝5，即﹣x+4﹣x＝5或x+x﹣4＝5，
解得：x＝﹣或x＝．
故答案为：或．
（3）当点O为原点时，点M表示的数为﹣3，点N表示的数为1，
∴运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣2t，点E表示的数为﹣3﹣t，点F表示的数为1
﹣3t，
依题意，得：﹣2t+（﹣3﹣t）+（1﹣3t）＝﹣20，
解得：t＝3．
答：运动3秒时点P、点E、点F表示的数之和为﹣20．
3．解：（1）当运动时间为t秒时，点P表示的数为20﹣5t，点Q表示的数为﹣4t．故答案为：20﹣5t，﹣4t．
（2）当0＜t≤5时，点N表示的数为8t﹣40；当t＞5时，点N表示的数为﹣8（t﹣5）＝40﹣8t．
∵当N、Q两点重合，
∴8t﹣40＝﹣4t或40﹣8t＝﹣4t，
解得：t＝或t＝10．
当t＝时，20﹣5t＝；
当t＝10时，20﹣5t＝﹣30．
∴当N、Q两点重合时，点P在数轴上所表示的数为或﹣30．
（3）依题意，得：|﹣40+8t﹣（﹣4t）|＝|20﹣5t﹣（﹣4t）|或|﹣8t+40﹣（﹣4t）|＝|20﹣5t﹣（﹣4t）|，
解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）或t1＝，t2＝12．
答：t的值为或或或12．
4．解：（1）∵点A表示的数为﹣10，
∴OA＝10．
∵2OB＝3OA，
∴OB＝15．
又∵点B在点O的右侧，
∴数轴上点B表示的数是15．
（2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为3t﹣10，点Q表示的数为﹣2t+15．
依题意，得：3t﹣10＝﹣2t+15，
解得：t＝5．
答：当t为5秒时，P，Q两点相遇．
（3）当运动时间为t秒时（t＞8），点P表示的数为3t﹣10，点Q表示的数为﹣2t+15，∴OP＝3t﹣10，OQ＝2t﹣15．
∵OP＝2OQ，
∴3t﹣10＝2（2t﹣15），
解得：t＝20，
∴3t﹣10＝50．
答：当点P运动到50时，恰好使OP＝2OQ．
5．解：（1）∵M、N对应的数分别为﹣2、6，
∴MN＝6﹣（﹣2）＝8；
（2）∵P是MN的中点，
∴PN＝MN＝4，
∴x＝2，故答案为2；
（3）存在点P到M、N的距离之和是10．
∵MN＝8，
∴P点的位置可以分为两种情况：
①当点P在点M的左边时，PN+PM＝10，
此时：（﹣2﹣x）+（6﹣x）＝10，
解得：x＝﹣3；
②当点P在点N的右边时，PN+PM＝10，
此时：（x﹣6）+[x﹣（﹣2）]＝10，
解得：x＝7，
所以数轴上存在点P，x＝﹣3或x＝7，使PN+PM＝10．
6．解：（1）设动点P、Q运动的速度分别为3x、2x单位长度/秒．
则4×3x+4×2x＝30，（或﹣20+4×3x＝10﹣4×2x），
解得x＝1.5，3x＝4.5（单位长度/秒），2x＝3（单位长度/秒）
故答案为4.5，3；
（2）设运动时间为t秒．
由题意知：点P表示的数为﹣20+4.5t，点Q表示的数为10﹣3t，
则|（﹣20+4.5t）﹣（10﹣3t）|＝×|（﹣20）﹣10|
整理得|7.5t﹣30|＝10，
解得：t＝或，
答：运动时间为或秒；
（3）点P、Q在相遇点表示的数为﹣20+4×4.5＝﹣2，
设从点P、Q相遇起经过的时间为t秒时，线段PQ的中点M与原点重合．
①点P、Q均沿数轴正方向运动，则：，
解得：t＝，此时点M与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为（单位长度/秒）；
②点P沿数轴正方向运动，点Q沿数轴负方向运动，则：，
解得：t＝，此时点M与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为（单位长度/秒）；
③点P沿数轴负方向运动，点Q沿数轴正方向运动，则：，
解得：t＝﹣（舍去），此时点M不与原点重合；
④点P沿数轴负方向运动，点Q沿数轴负方向运动，则：，
解得：t＝﹣，此时点M不与原点重合；
综上所述：点M与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为（单位长度/秒）或沿数轴正方向运动，运动速度为（单位长度/秒）．7．解：（1）①∵AO＝2BO，点A在数轴上对应数是﹣800，
∴BO＝400，
∵点B在原点右侧，
∴点B在数轴上对应的数是400；
故答案为：400；
②由题意得：OP＝8t，OQ＝4t，AR＝2t，
∴点P在数轴上对应的数是﹣8t；点Q在数轴上对应的数是4t；点R在数轴上对应的数是2t﹣800；
故答案为：﹣8t；4t；2t﹣800；
（2）①如图1所示：由题意得：2t+8t＝800﹣200，解得：t＝60；
②如图2所示：2t+8t＝800+200，解得：t＝100；
综上所述，t为60秒或100秒时，动点R与动点P之间距离为200个单位长度；
（3）t秒后点M表示的数为＝﹣2t，点N表示的数为＝﹣400﹣3t，
∴MN＝|﹣2t﹣（﹣400﹣3t）|＝|t+400|＝t+400，MB＝400﹣（﹣2t）＝400+2t，
∴2MN﹣MB＝2（t+400）﹣（400+2t）＝400，
∴2MN﹣MB为定值400．
8．解：（1）①∵点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为离心变换点，∵a+b＝﹣2．
当a＝﹣4时，b＝2；
当b＝π时，a＝﹣2﹣π．
故答案为：2；﹣2﹣π．
②∵a+b＝﹣2，
∴b＝﹣2﹣a．
故答案为：﹣2﹣a．
③设点A表示的数为x，
根据题意得：3x﹣3+x＝﹣2，
解得：x＝．
故答案为：．
（2）①由题意可知：P1表示的数为m+k，P2表示的数为﹣2﹣（m+k），P3表示的数为﹣2﹣m，P4表示的数为m，P5表示的数为m+k，…，
可知P点的运动每4次一个循环，
∵2019＝504×4+3
∴P2019表示的数是﹣2﹣m，由题意
﹣2﹣m＝﹣5
解得m＝3
②设点P表示的数为m，则点Q表示的数为m+6，
由题意可知：P1表示的数为m+k，P2表示的数为﹣2﹣（m+k），P3表示的数为﹣2﹣m，P4表示的数为m，P5表示的数为m+k，…，
Q1表示的数为﹣2﹣m﹣6，Q2表示的数为2+m+6，Q3表示的数为﹣4﹣m﹣6，Q4表示的数为4+m+6，Q5表示的数为﹣6﹣m﹣6，Q6表示的数为6+m+6，…，
∴P4n＝m，Q4n＝m+6+4n．
令|m﹣（m+6+4n）|＝26，即|6+4n|＝26，
解得：4n＝20或4n＝﹣32（舍弃）．
故答案为20．
9．解：（1）∵（a+5）2+|b﹣7|＝0，
∴a+5＝0，b﹣7＝0，
∴a＝﹣5，b＝7；
∴A、B两点之间的距离＝|﹣5|+7＝12．
故答案是：﹣5；7；12；
（2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，
依题意得：﹣5﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+…+2018﹣2019，
＝﹣5+1009﹣2019，
＝﹣1015．
答：点P所对应的数为﹣1015；
（3）设点P对应的有理数的值为x，
①当点P在点A的左侧时：P A＝﹣5﹣x，PB＝7﹣x，
依题意得：
7﹣x＝3（﹣5﹣x），
解得：x＝﹣11；
②当点P在点A和点B之间时：P A＝x﹣（﹣5）＝x+5，PB＝7﹣x，
依题意得：7﹣x＝3（x+5），
解得：x＝﹣2；
③当点P在点B的右侧时：P A＝x﹣（﹣5）＝x+5，PB＝x﹣7，
依题意得：x﹣7＝3（x+5），
解得：x＝﹣11，这与点P在点B的右侧（即x＞7）矛盾，故舍去．综上所述，点P所对应的有理数分别是﹣11和﹣2．
所以﹣11和﹣2分别是点P运动了第11次和第6次到达的位置．10．解：（1）∵|a+b|+（b﹣10）2＝0，
∴a+b＝0，b﹣10＝0
∴b＝10，a＝﹣10
∴BA＝b﹣a＝10﹣（﹣10）＝20
∵BC＝2AC，BC+AC＝AB
∴3AC＝20
∴AC＝
∴c＝﹣10+
故答案为：﹣10；10；
（2）依题意得：点Q表示的数q＝+t
0≤t≤时，点P向右运动，表示的数p＝﹣10+3t
t＞时，点P往回向左运动，表示的数p＝10﹣（3t﹣20）＝﹣3t+30①
解得：t＝
∴t的值为时，P、Q第一次相遇．
②当P、Q第二相遇时，﹣3t+30＝+t
解得：t＝
∴t的取值范围是0≤t≤
∵PQ＝|p﹣q|＝2
当0≤t≤时，|﹣10+3t﹣（+t）|＝2
解得：t1＝，t2＝
当t＞时，|﹣3t+30﹣（+t）|＝2
解得：t1＝，t2＝（舍去）
∴t的值为或或时，P、Q两点之间的距离为2．
（3）存在满足条件的情况．
依题意得：a＝﹣10+2t，c＝+2t，
∴AC中点E表示的数e＝+2t
∵D表示8，B表示10
∴BD中点F表示的数是9
①如图1，当E在点F左侧时，+2t＜9，即t＜
EF＝9﹣（+2t）＝﹣2t，AD＝8﹣（﹣10+2t）＝18﹣2t
∴EF+AD＝﹣2t+18﹣2t＝﹣4t不是定值．
②如图2，当点E在F右侧，点A在D左侧时，﹣10+2t＜8，即＜t＜9 EF＝﹣+2t﹣9＝2t﹣，AD＝18﹣2t
∴EF+AD＝2t﹣+18﹣2t＝是定值．
③如图3，点A在D右侧时，﹣10+2t＞8，即t＞9
EF＝2t﹣，AD＝﹣10+2t﹣8＝2t﹣18
∴EF+AD＝4t﹣不是定值．
综上所述，＜t＜9时，EF+AD的值为定值．。