2.42追及相遇问题
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3.追及问题分析 (1)根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质,列出两 物体的位移方程,并注意两物体运动时间的关系。 (2)通过对运动过程分析,画出简单的图示,找出两物 体运动位移的关系式,追及的主要条件是两个物体在 追上时位置坐标相同。 (3)寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追 赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度 大者减速追赶速度小者,在两物体速度相等时有最小 距离等。 (4)求解此类问题的方法,除了以上所述根据追及的主 要条件和临界条件解联立方程外,还有利用二次函数 求极值,及应用图象求解等。
问题1:速度相等vA=vB(相对速度为零) 临界条件的应用.
如果两物体能追上,则转化为一个相遇问题,考虑 两物体间的时空联系. 掌握求解追及问题四种方法中的物理方法和图象 求解(常用于分析)的两种方法,另两种(数学求极 值和相对运动的方法)了解.
例1、甲乙两车同时同向从同一地点出发,甲车以 v1=16m/s的初速度,a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线 运动,乙车以v2=4m/s的速度,a2=1m/s2的加速度作 匀加速直线运动,求两车再次相遇前两车相距最大距离 和再次相遇时两车运动的时间。 解法一:当两车速度相同时,两车相距最远,此时 两车运动时间为t1,两车速度为v
例题3、一列客车以v1的速度前进,司机发现前面在同一轨道 上有列货车正在以v2匀速前进,且v2<v1货车车尾与客车头距 离为S,客车立即刹车,作匀减速运动,而货车仍保持原速度前进。 求客车的加速度符合什么条件时,客车与货车不会相撞?
解一. 设客车的加速度大小为a时,刚好能撞上货车,所 用时间为t,则
汽
2v自 1 2 v自T aT t 4s 2 a
1 2 s汽 aT =24 m 2
方法二:图象法
解:画出自行车和汽车的速度-时间图线,自行车的位移x自等于 其图线与时间轴围成的矩形的面积,而汽车的位移x汽则等于其 图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图 中矩形的面积与三角形面积的差,不难看出, 当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。 V-t图像的斜率表示物体的加速度
情况同上 若涉及刹车问题,要先求停 车时间,以作判别!
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽
车以3m/s2的加速度开始加速行驶,恰在这时一辆自
行车以6m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车。试
求:汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多 长时间两车相距最远?此时距离是多少?
方法一:公式法
当汽车的速度与自行车的速度 相等时,两车之间的距离最大。设 经时间t两车之间的距离最大。则
(2)B刚好停下,A追上B;
(3)B已经停下,A追上B;
正确的分析应是先看B经几秒可停下. 设经t2秒可停 下,则有: t2=v2/a=10/2=5s B在匀减速过程通过的距离为 S2=Vt=(10+0) ×5/2=25m 此时A前进的距离: S1=v1×t=4×5=20m 可知当A追上B时,B已经停下了,应用下列方法去解: v1t1=S0+SB t1=(s0+sB)/v1=(7+25)/4=8s
x汽
△x
1 2 3 2 x v自t at 6t t 2 2
当t 6 3 2 ( ) 2 2s时
x自
x m
6
2
3 4 ( ) 车?此时汽车的速度是多 大?汽车运动的位移又是多大?
3 2 x 6t t 0 2
T 4s
v汽 aT 12m / s
1 2 s汽 aT =24 m 2
例2 A火车以v1=20m/s速度匀速行驶,司机发现前方 同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度 匀速行驶,A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运 动。要使两车不相撞,a应满足什么条件?
方法一:公式法
s 货车 = v 2 t s 客车
1 2 = v1t - at 2
练习2、甲车在前以15m/s的速度匀速行驶, 乙 车 在 后 以 9m/s 的 速 度 行 驶 。 当 两 车 相 距 32m时,甲车开始刹车,加速度大小为1m/s2。 问经多少时间乙车可追上甲车?
v乙= 9m/s
32m
v甲= 15m/s
a=1m/s2
追上处
分析:画出运动的示意图如图示: 乙车追上甲车可能有两种不同情况: 甲车停止前被追及和甲车停止后被追及。 究竟是哪一种情况,应根据解答结果,由实际 情况判断。
练习1.AB两物体相距S0=7米.A以速度v1=4m/s做匀速直 线运动,B的速度v2=10m/s,方向向右,正以a=-2m/s2做 减速运动,问从此时刻开始经多少时间A可追上B? 分析:若不认真分析该过程,据追上时位移应相等得 出: V1t=S0+V2t-at2/2 将已知量v1、v2、a 、S0代入方程(1)解得t=7(s),经 7秒B的速度减为零后又反向运动,显然是不合理的.仔 细分析A追上B可能有三种情况: (1)B在运动中,A追上B;
(4)匀速运动追匀减速直线运动,当二者速度相同时相 距最远.
(5)匀加速直线运动追匀加速直线运动,应当以一个运 动当参照物,找出相对速度、相对加速度、相对位 移.
两物体运动速度相等vA=vB(相对速度为零) 时刻是两物体相距最近或相距最远的临界点, vA=vB (相对速度为零)时刻是两物体间恰 好追上的临界点。
例4 甲车在前以15 m/s的速度匀速行驶,乙车在后
以9 m/s的速度匀速行驶。当两车相距32m时,甲车
开始刹车,加速度大小为1m/s2。问经多少时间乙
车可追上甲车?
例5 A、B两车沿同一直线向同一方向运动,A车的
速度vA=4 m/s,B车的速度vB=10 m/s。当B车运动
至A车前方 7 m处时,B车以a=2 m/s2 的加速度开
得 t=8s
或
t=0 (出发时刻 )
解法二: 甲车位移 乙车位移 s1= v1t+a1t2/2 s2= v2t2+a2t2/2
某一时刻两车相距为△s
△s=s1-s2= (v1t+a1t2/2)-(v2t2+a2t2/2)
=12t-3t2/2 当t= -b/2a 时,即t=4s时,两车相距最远 △s=12×4-3×42/2=24m 当两车相遇时,△s=0,即12t- 3t2/2 = 0
x汽
△x
v汽 at v自
v自
1 xm x自 x汽 v自t at 6 2m 3 2 2 m 6m 2 2
2
6 t s 2s a 3 1
x自
那么,汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速 度是多大?汽车运动的位移又是多大? v aT 12m / s
1 2 v1t - at - v2 t x0 2
1 2 1 2 at -10t 100 0 或列方程 v1t - at - v2 t x0 代入数据得 2 2 1 ∵不相撞 ∴△<0 100 - 4 a 100 0
2
则a 0.5m / s
2
例3 车从静止开始以1m/s2的加速度前进,车后相距x0 为25m处,某人同时开始以6m/s的速度匀速追车,能 否追上?如追不上,求人、车间的最小距离。
相遇的时空联系
位移关系:SA=SB+S SA+SB=S(可拓展到二维平面运 动的位移关系) 时间关系: 若A、B两物体同时开始运动,且A、B两物体相遇前均 为一直运动,则有tA=tB. 若A比B早Δt时间开始运动,且A、B两物体相遇前均为 一直运动,则有tA=tB+Δt 若A、B两物体同时开始运动,B做减速运动,在A、B 相遇前B已停止运动,则tA﹥tB, tA=tB+Δt等待.
v/ms-1
汽车
6 tan 3 t0
t0 2s
6
当t=2s时两车的距离最大
o
自 行 车
α
t0
t/s
1 xm 2 6m 6m 2
动态分析随着时间的推移,矩 形面积(自行车的位移)与三角形面 积(汽车的位移)的差的变化规律
方法三:二次函数极值法
设经过时间t汽车和自 行车之间的距离Δx,则
两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。
1 2 由A、B位移关系:v1 t - at v 2 t x0 2 (v1 - v2 )2 (20 -10)2 2 2 a m / s 0.5m / s 2 x0 2 100
由A、B速度关系: v1 - at
v2
则a 0.5m / s
对甲车: 对乙车:
两式联立得 此时两车相距
v = v1+a1t1 v = v2+a2t1 t1=(v1-v2)/(a1-a2) = 4s
△s=s1-s2=(v1t1+a1t12/2) - (v2t1+a2t12/2)=24m
v1t+a1t2/2=v2t2+a2t2/2
当乙车追上甲车时,两车位移均为s,运动时间为t.则:
始做匀减速运动,从该时刻开始计时,则A车追上B 车需要多长时间?在A车追上B车之前,二者之间的
最大距离是多少?
例6 甲乙两车同时同向从同一地点出发,甲车以v1=
16m/s的初速度,a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线
运动,乙车以v2=4m/s的速度,a2=1m/s2的加速度作 匀加速直线运动,求两车相遇前两车相距最大距离和 相遇时两车运动的时间。
∴ t=8s 或 t=0(舍去)
例2、车从静止开始以1m/s2的加速度前进,车后相距s0 为25m处,某人同时开始以6m/s的速度匀速追车,能否 追上?如追不上,求人、车间的最小距离。 S0 a=1m/s2 v=6m/s 解析:依题意,人与车运动的时间相等,设为t 当人追上车时,两者之间的位关系为:
2
方法二:图象法 v/ms-1
1 (20 10)t0 100 2
20 10
A
t0 20s
20 10 a 0.5 20
B
t0
o
t/s
则a 0.5m / s
2
方法三:二次函数极值法
若两车不相撞,其位移关系应为
1 2 at -10t 100 0 代入数据得 2 1 4 a 100 - (-10)2 其图像(抛物线)的顶点纵坐 2 0 标必为正值,故有 1 4 a 2 a 0.5m / s 2
s车+s0= s人
即: at2/2 + s0= v人t 由此方程求解t,若有解,则可追上;
若无解,则不能追上。 代入数据并整理得:t2-12t+50=0 △=b2-4ac=122-4×50×1=-56<0 所以,人追不上车。
在刚开始追车时,由于人的速度大于车的速 度,因此人车间的距离逐渐减小;当车速大于 人的速度时,人车间的距离逐渐增大。因此, 当人车速度相等时,两者间距离最小。 at′=6 t′=6s 在这段时间里,人、车的位移分别为: s人=v人t=6×6=36m s车=at′2/2=1×62/2=18m △s=s0+s车-s人=25+18-36=7m
一维的相遇问题到二维平面的相遇问题
相遇仍是相同的时间到达相同的地点。 只是二物体间的运动位移关系由一维的位置关 系变更为一个平面内的x、y位置关系。
追及问题
1.追及问题:如两物体能追上,则追及问题就是 一个相遇问题。 如两物体不能追上,则追及问题会有相距最近、 最远、能否追上的判断问题。
2.追及类问题的提示 (1)匀加速运动追及匀速运动,当二者速度相同时相 距最远. (2)匀速运动追及匀加速运动,当二者速度相同时追 不上以后就永远追不上了.此时二者相距最近. (3)匀减速直线运动追匀速运动,当二者速度相同时 相距最近,此时假设追不上,以后就永远追不上了.
2.4
追及相遇问题
第二课时
一、相遇问题
1.相遇的定义:两物体在相同的时刻到达相同的地点。
2.两物体要相遇则必须同时满足时间关系和位移关系。 3.两物体间运动的联系:时间与空间关系。
4.要结合物体运动作出分析,画出运动示意图,再得出
两物体间的时间关系式和位移关系式。
二、追击问题
甲一定能追上乙,v甲=v乙的时 刻为甲、乙有最大距离的时刻 判断v甲=v乙的时刻甲乙的位置情况 ①若甲在乙前,则追上,并相遇两次 ②若甲乙在同一处,则甲恰能追上乙 ③若甲在乙后面,则甲追不上乙, 此时是相距最近的时候