多元函数微分法(1)

z yy [ f11( xy, x2 y2 ) x f12( xy, x2 y2 )(2 y)]x [ f21(xy, x2 y2 ) x f22 (xy, x2 y2 ) (2 y)](2 y) f2( xy, x2 y2 ) 2
练习 设 z f (2x y, ysin x),
对应点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v ， x u x v x
z y

z u
u y

z v
v y
.
证：给x一增量x,则u, v, z都有一偏增量
z du z dv. u v
例1、设z

arctan
y x
, 求z x
,
z
y
.
解：dz

d
arctan
y x

d( y) x
1 ( y)2

xdy ydx
x2 1 ( y)2

xdy ydx x2 y2
x
x
zx

y x2 y2
,zy

x2
x
y2
利用全微分求偏导数是求偏导数 的一个比较简捷的技巧
(1) dz z du z dv . dt u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
z z(u,v, w),u u(t),v v(t), w w(t)
(2) dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
v 0, w 1.
y
y
区
z f u f . y u y y
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
例 1 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ，
ux ( yf1 zf3 ) uy ( xf1 zf2 ) uz ( yf2 xf3 )
例3：求u f (x, y, z), y (x,t),t (x, z)的偏导数。
利用一阶微分形势不变性
解：du f1dx f2dy f3dz
(1)
dy 1dx 2dt
u

z
v

z
w
.
u v w
x
y
y u y v y w y
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y) z
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
ux
x
yy
v 1, w 0,
x
x
z f u f , x u x x
求全导数dz .
解:
dt
dz dt

z du u dt
z dv v dt

z t

ve t

usin t

cos t
et cos t et sin t cos t
et (cost sin t) cost.
例 2 设z eu sin v ，而u xy ，v x y ，
§8.3 多元函数的微分法
一、链式法则
定理 如果函数u (t ) 及v (t ) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏导
数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应点t 可导，
且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
例5 设 z f (u, x, y), u xe y , 其中f具有二阶连续偏导数，求 2z xy
解
z x
fu
u x

f x

fu e y
f x
2z xy

(
fuu

u y

fuy )e y

fu e y

f
xu

u y

f xy
求z f ( xy, x 2 y2 )的二阶偏导数 2z 、 2z 。 x 2 y 2
解：zxx [ f11( xy, x2 y2 ) y f12( xy, x2 y2 )2x]y [ f21( xy, x2 y2 ) y f22( xy, x2 y2 ) (2x)]2x f2( xy, x2 y2 ) 2

xu

f v

xv

o(

)
由偏导定义可得：
xu2 xv2 )
z lim [f xu f xv o( )] x x0 u x v x x
f u f v lim o( )
u x v x x0 x
而 lim o() lim o() lim
w (1 y)g , x
z x

w x

(1
y)g (
f1

yf2 ).
例 4 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz;
记
f1

f
(u, v ) u
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
上定理还可推广到中间变量不是一元函数
而是多元函数的情况：z f [( x, y), ( x, y)].
(3) 如果u ( x, y)及v ( x, y) 都在点
( x, y)具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v)在
,
f12

2 f (u,v) ,
uv
同理有 f2, f11, f22 .
w x
f u f v
u x v x
f1 yzf2
2w xz

z
(
f1

yzf2)

f1 z

yf2

yz
f2 z
f1 f1 u f1 v z u z v z
从而 z f (u,v) u ( x, y) v ( x, y)
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z x
z u
u z v , x v x
z y

z u
u y

z v
v y
(4) 类似地再推广，设u ( x, y)、v ( x, y)、
(2)
dt 1dx 2dz
(3)
dy 1dx 2dt 1dx 2 (1dx 2dz)
(1 2 1)dx 2 2dz
du f1dx f2[(1 2 1)dx 2 2dz] f3dz
则u x
f1
xu u( x x, y) u( x, y) xv v( x x, y) v( x, y)
z f (u xu,v xv) f (u,v)
又z f (u,v)可微，
z A xu B xv o( ) (

f u
w w( x, y)都在点( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，
复合函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点
( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z

z
u

z
v

z
w
,
x u x v x w x
z
z

z
f11 xyf12
f 2 z

f2 u u z
f2 v v z

f21
xyf22
于是
2w xz

f11

xyf12

yf2
yz(
f21

xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
f2 (1 2 1)
u z

f22 2

f3
三、变量代换：
称含有未知函数偏导数的方程为偏微分方程；满足 偏微分方程的多元函数称为偏微分方程的解.根据 题意对已知的变量进行适当的或者规定的变量代换， 来简化所给的表达式或者达到求解方程的目的； 解题思路：将新变量作为中间变量，原来变量作为自变 量，采用多元复合函数求偏导公式写出各偏导，再结合 题意继续后续过程.
fuu xe2 y fuye y fu e y f xu xe y f xy
练习：求z f ( xy, x2 y2 )的偏导数。
解：zx f1( xy, x2 y2 ) y f2( xy, x2 y2 ) 2x
z y f1( xy, x2 y2 ) x f2( xy, x2 y2 ) (2 y)
y u y v y
eu( xsinv cosv).
例3. 设f，g为连续可微函数 z f ( x, xy), w g( x xy),
求 z w x x
解 设 令 xy
z f y f
x x
f1( x, xy) yf2( x, xy)
二、全微分形式不变性
设函数z f (u,v)，u ( x, y)，v ( x, y)
具有连续偏导数，则有全微分
dz z du z dv z dx z dy. u v x y
全微分形式不变性的实质：
无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数，求
解
z x 2 fu y cos xfv ,
2z xy
2z xy

2(
f uu

sin
xfuv )
cos
xfv

y cos
x(
fvu

sin
xfvv )
2 fuu 2sin xfuv cos xfv y cos xfvu y cos x sin xfvv 2 fuu (2sin x y cos x) fuv y sin x cos xfvv cos xfv
dz z dx z dy x y


z u

u x

z v

v x
dx

z u

u y

z v

v y
dy
z u dx u dy z v dx v dy u x y v x y
求 z 和z .
解:
x y
z z u z v eu sin v y eu cosv 1
x u x v x
eu( ysinv cosv),
z z u z v eu sin v x eu cosv 1
x0 x
x0
x0 x
lim o() lim xu2 xv2
0
x0
x
0 lim o() lim
0
x0 xu Fra bibliotekx2


xv x
2

z z u z v x u x v x
例2：设u f ( xy, yz, zx),求ux , uy , uz . 解：du df ( xy, yz, zx)
f1d( xy) f2d( yz) f3d(zx) f1( ydx xdy) f2(zdy ydz) f3( xdz zdx) ( yf1 zf3 )dx ( xf1 zf2 )dy ( yf2 xf3 )dz
例1：在自变量变换u x, v x2 y2下，求方程