高考一轮复习随堂练习专题圆周运动的临界问题
2025高考物理总复习圆周运动中的临界极值问题
2
对 a 有 kmg-FT=ml2 ,对 b 有 FT+kmg=m·
2l2 ,解得 ω2=
2
。
3
拓展变式 2
把典题1中装置改为如图所示,木块a、b用轻绳连接(刚好拉直)。(1)当ω为
多大时轻绳开始有拉力?(2)当ω为多大时木块a所受的静摩擦力为零?
答案 (1)
2
(2)
解析 (1)在 b 的静摩擦力达到最大时,轻绳刚要产生拉力,对 b 有
的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数
为μ1=0.6,与餐桌的动摩擦因数为μ2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小
物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g
取10 m/s2。
(1)为使小物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度ω的最大值为多少?
(2)缓慢增大圆盘的角速度,小物体从圆盘上甩出,
滑动的末速度 vt',由题意可得 vt'2-0 2 =-2ax'
由于餐桌半径为 R'= 2r,所以 x'=r=1.5 m
解得 vt'=1.5 m/s
设小物体做平抛运动的时间为 t,则
1 2
h=2gt ,解得
t=
小物体做平抛运动的水平位移为 x1=vt't=0.6 m。
2ℎ
=0.4
s
审题指导
关键词句
在圆周运动最高点和最低点的临界条件分析。
题型一
水平面内圆周运动的临界问题
1.水平面内圆周运动的临界、极值问题通常有两类,一类是与摩擦力有关
的临界问题,一类是与弹力有关的临界问题。
2.解决此类问题的一般思路
高中物理圆周运动的临界问题(含答案)
1圆周运动的临界问题一 ．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m rv 2，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
二 与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20) 如图1，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。
若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( )A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝lkg2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝lkg32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。
它们所需的向心力由F 向＝mω2r知，F a < F b ，所以b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；a 、b 一起2绕转轴缓慢地转动时，F 摩＝mω2r ，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有kmg ＝mω2·2l ，其临界角速度为ωb ＝l kg 2 ，选项C 正确；当ω ＝lkg32时，a 所受摩擦力大小为F f ＝mω2 r ＝32kmg ，选项D 错误【典例2】 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA ＝OB ＝AB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程OB 、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( )A ．OB 绳的拉力范围为 0～33mg B ．OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg C ．AB 绳的拉力范围为33mg ～332mg D ．AB 绳的拉力范围为0～332mg 答案 B解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ， F 1＝33mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2 ＝332mg ，因此OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg ，AB 绳的拉力范围为 0～33mg ，B 项正确。
高三物理一轮复习 圆周运动临界问题
答案
ACD
随堂演练
2.(多选 )如图8所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道， 管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆 周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直与倾
角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可
看做质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2。2)r，路线③的路程 s3＝2πr，A 正确；根据 mv2 Fmax＝ R 得 vm＝ FmaxR m ，可知 R 越小，其不打滑的最大速率
越小，所以路线①的最大速率最小，B 错误；三种路线对应的最 （π＋2）r 大速率 v2＝v3＝ 2v1，则选择路线①所用时间 t1＝ ，路 v1 （2π＋2）r 2πr 线②所用时间 t2＝ ，路线③所用时间 t3＝ ，得 t2 2v1 2v1 ＞t1＞t3，可见 t3 最小，C 正确；由 Fmax＝ma，可知三条路线对应 的 a 相等，D 正确。 答案 ACD
随堂演练
解析
1 2 要使小球恰能到达 P 点，由机械能守恒定律有： mv ＝ 2
mg· 2L ，可知它在圆周最低点必须具有的速度为 v≥2 gL ，而 9 gL＞2 gL，所以小球能到达 P 点；由机械能守恒定律可知小 2 球到达 P 点的速度为 受到轻杆向上的弹力。 1 gL；由于 2 1 gL＜ gL，故小球在 P 点 2
质量为m的赛车通过 AB线经弯道到达 A′B′线，有如图所示的①、
图9
随堂演练
A.选择路线①，赛车经过的路程最短
B.选择路线②，赛车的速率最小 C.选择路线③，赛车所用时间最短 D.①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
随堂演练
解析
赛车经过路线①的路程 s1＝πr＋2r＝(π＋2)r，路线②的路
高中物理《圆周运动的临界问题》专题练习
核心概念 规律再现
核心模型 考点对点练 核心能力提升练
核心模型 考点对点练
提升训练
对点训练
典型考点一
竖直(倾斜)平面内的圆周运动及其临界问题
1．(多选)轻绳一端固定在光滑水平轴O上，另一端系一质量为m的小
球，在最低点给小球一初速度，使其在竖直平面内做圆周运动，且刚好能通
过最高点P。下列说法正确的是( )
核心概念 规律再现
核心模型 考点对点练 核心能力提升练
解析
5. 在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到转 轴的距离为r，如图所示。为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮的转 动角速度不能超过( )
核心概念 规律再现
核心模型 考点对点练 核心能力提升练
M＋m A. mr g
M＋m
答案 AD
核心概念 规律再现
核心模型 考点对点练 核心能力提升练
答案
解析
汽车过凸形桥时，在桥顶有mg－FN＝m
v2 R
，所以mg>FN，故A正
确；由上式可知，汽车通过桥顶时，v越小，FN越大，所以B错误；汽车所
需的向心力由重力沿轨道半径方向的分力和桥对汽车的支持力的合力来提
供，故C错误；当汽车通过桥顶所受支持力FN＝0时，mg＝m
核心概念 规律再现
核心模型 考点对点练 核心能力提升练
(2)三种模型对比
核心概念 规律再现
核心模型 考点对点练 核心能力提升练
核心概念 规律再现
核心模型 考点对点练 核心能力提升练
2．水平面内的圆周运动的临界问题 水平面内圆周运动的临界问题，其实就是要分析物体所处的状态的受力 特点，然后结合圆周运动的知识，列方程求解，一般会涉及临界速度、临界 角速度等。通常有下面两种情况： (1)与绳(或面等)的弹力有关的临界问题：此类问题要分析出恰好无弹力 或弹力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度)。 (2)因静摩擦力而产生的临界问题：此类问题要分析出静摩擦力达到最 大时这一临界状态下的角速度(或线速度)。
专题：圆周运动中的临界问题
专题：圆周运动中的临界问题一、竖直平面内的圆周运动 1.受力分析 小球用轻绳拉着在竖直平面内做圆周运动是典型的变速圆周运动。
如图所示，把重力分解可知，除最高点和最低点外，其他各点，小球切线方向加速度均不为零，因此小球做变速（速度、方向）圆周运动。
2.最高点的临界状态分析 （1）“绳模型”（或单圆形轨道，球在轨道内做圆周运动模型，此处简称为“单轨模型”）a.小球能通过最高点的临界条件为：mg ＝m Rv 2得：v ＝gR ，此时物体处于完全失重状态，绳上没有拉力；b.当v ＞gR ，小球能过最高点，绳上有拉力；c.当v ＜gR故球不能过最高点。
（2）“杆模型”（或双圆形轨道，球在双轨道内部运动，此处简称为“双轨模型”）因轻杆可以产生拉力，也可产生支持力，双轨模型时，内轨可产生支持力，外轨产生向下的压力。
a.小球能通过最高点的临界条件为：v ＝0，F ＝mg （F 为支持力）；b.当０＜v ＜gR 时，v 增大，F 减小且0<F<mg （F 方向沿半径向外），mg －F ＝m Rv 2 ；c. 当v ＝gR 时，F=0 ，完全失重状态；d.当v ＞gR 时，F 方向沿半径向内， F ＋mg ＝m Rv 2；最低点时，对于各种模型，都是拉力（或者支持力N ）T －mg ＝m Rv 2。
例1、长L=0.5m ，质量可忽略不计的轻杆，其一端固定于O 点，另一端连有质量m ＝2kg 的小球，它绕O 点在竖直平面内做圆周运动。
当通过最高点时，如图所示，求下列情况下杆对小球的作用力（计算大小，并说明是拉力还是支持力） （1）当v ＝1m/s 时，大小为 16 N ，是 支持 力； （2）当v ＝4m/s 时，大小为 44 N ，是 拉力 力。
解析： 此题先求出v ＝gR ＝5.010⨯m/s ＝5m/s 。
（1）因为v ＝1m/s ＜5m/s ，所以轻杆作用给小球的是支持力，有mg －F ＝m R v 2得：F ＝16N ；（2）因为v ＝4m/s ＞5m/s ，所以轻杆作用给小球的是拉力，有mg ＋F ＝m Rv 2得：F ＝44N ；3.竖直平面内的匀速圆周运动 如果某物体固定在电动机或其他物体上绕水平轴匀速转动，则该物体将做匀速圆周运动，此时电动机或转动体对该物体的作用力与物体的重力的合力提供向心力，向心力大小不变，方向始终指向圆心。
圆周运动的临界问题-高考物理复习
力提供向心力，有μmg＝mω2lsin θ，解得 ω＝ 4gl，可得
当 ω≤ 4gl时绳子无张力，ω> 4gl时绳子有张力，故 A、B 正确；圆台对木箱恰好无支持力时，有 mgtan θ＝mω2lsin θ，
解得 ω＝ 53gl ，即当 ω≥ 故 C 正确，D 错误。
53gl 时，圆台对木箱无支持力，
目录
研透核心考点
2.解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律 方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛 顿第三定律求出压力。
目录
研透核心考点
2.(2024·北京丰台高三期中)如图5甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做 圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点 时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的 一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的
0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在
竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确
的是( D )
A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 2 m/s
图3
B.当小球在最高点的速度为 4 m/s 时，轻绳拉力为 15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为 45 N，小球的最大速度不能超过 4 2 m/s
目录
研透核心考点
1.(多选)如图2所示，在水平圆台的转轴上的O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l， 细绳的一端连接一个小木箱，木箱里坐着一只玩具小熊，此时细绳与转轴间的夹 角为θ＝53°，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊的总质量为m，木箱 与水平圆台间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°＝0.8， cos 53°＝0.6，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水
高考物理一轮4章抛体运动与圆周运动专题强化5圆周运动的临界问题考点3斜面上圆周运动的临界问题
考点3 斜面上圆周运动的临界问题(能力考点·深度研析)1．题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
2．解题关键——重力的分解和视图物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。
►考向1 斜面上摩擦力作用下的临界问题如图，有一倾斜的匀质圆盘(半径足够大)，盘面与水平面的夹角为θ，绕过圆心并垂直于盘面的转轴以角速度ω匀速转动，有一物体(可视为质点)与盘面间的动摩擦因数为μ(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度为g 。
要使物体能与圆盘始终保持相对静止，则物体与转轴间最大距离为( C )A.μg cos θω2 B ．g sin θω2 C.μcos θ－sin θω2g D ．μcos θ＋sin θω2g [解析] 由题意易知临界条件是物体在圆盘上转到最低点受到的静摩擦力最大，由牛顿第二定律得μmg cos θ－mg sin θ＝mω2r ，解得r ＝μcos θ－sin θω2g ，故A 、B 、D 错误，C 正确。
与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。
只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
►考向2 斜面上绳作用下的临界问题如图所示，在倾角为θ的足够大的固定斜面上，一长度为L 的轻绳一端固定在O 点，另一端连着一质量为m 的小球(视为质点)，可绕斜面上的O 点自由转动。
现使小球从最低点A 以速率v 开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B 。
重力加速度大小为g ，轻绳与斜面平行，不计一切摩擦。
下列说法正确的是( C )A ．小球通过B 点时的最小速度可以小于gL sin θ B ．小球通过A 点时的加速度为g sin θ＋v 2LC ．若小球以gL sin θ的速率通过B 点时突然脱落而离开轻绳，则小球到达与A 点等高处时与A 点间的距离为2LD ．小球通过A 点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大[解析] 小球通过最高点B 时，当绳的拉力为零时速度最小，即mg sin θ＝mv 2min L，最小速度v min ＝gL sin θ，故A 错误；小球在A 点受重力、斜面的支持力以及绳的拉力，沿斜面方向有F －mg sin θ＝mv 2L ＝ma A ，可得a A ＝v 2L，故B 错误；若小球以gL sin θ的速率通过B 点时突然脱落而离开轻绳，则小球在斜面上做类平抛运动，在平行于斜面底边方向做匀速直线运动，在垂直于斜面底边方向做初速度为零的匀加速直线运动，故s水平＝v B t ＝gL sin θ·t,2L ＝12at 2，其中a ＝g sin θ，联立解得s 水平＝2L ，即小球到达与A 点等高处时与A 点间的距离为2L ，故C 正确；斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分力，与小球的速度大小无关，故D 错误。
高考物理一轮复习课件专题四：圆周运动的临界问题
•1－1 (2010·重庆质检)2008年北京奥运会上
一位质量为60 kg的体操运动员
• “单臂大回环”，用一只手抓住单杠，伸展
•身解体析，：以运单动杠员为达轴最做低圆点周时运受动力．满如图足4F－－3－
图4－3－4
4所mg示＝，此过，程v中最，小运时动F最员小到，达最低点时手 •臂所受以的有拉m力g·至2R少＝约为m(忽v2，略所空以气F阻＝力5，mgg＝＝10
• －mg＝
• 要求FN≤2.0×105 N，解得允许的最大速率 vm＝7.07 m/s.
• 由上面的分析可知，汽车经过凸形路面顶
【例1】长L＝0.5 m质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另 一端固定着一个物体A.A的质量为m＝2 kg，当A通过最高点时，
如图4－3－3所示，求在下列两种情况下杆对小球的力：
圆周运动的临界问题
竖直面内圆周运动的临界问题分析 对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动 常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，常分析两种模 型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
取竖直向下为正向
取竖直向下为正向
• 1.如图4－3－1所示，汽车车厢顶部悬挂一个 轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球 ，当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶 时弹簧长度为L1；当汽车以同一速度匀速率 通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，
• 【例2】 用一根细绳，一端系住一个质量
为m的小球，另一端悬在光滑水平桌面
•
上方h处，绳长l大于h，使小球在桌面
上做匀速圆周运动．求•解析：以小球为研究对象，小球受三个力 的作用：重力G、水平面支持力FN、绳子 拉力F.在竖直方向合力为零，在水平方向 合力为所需向心力，绳与竖直方向夹角为θ ，则R＝htan θ，Fcos θ＋FN＝mg
(完整word版)圆周运动中的临界问题专题
课题28圆周运动中的临界问题一、竖直面内圆周运动的临界问题（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/R宀v临界=.Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V临工Rg②能过最高点的条件：v> Rg，当v> Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力.③不能过最高点的条件：v v V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）【例题1】如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速V o,若v o w10■ -gR，则有关小球能够上升到最大高3 g度（距离底部）的说法中正确的是（2Vo ，定可以表示为2g B、可能为R3C、可能为RD、可能为5R3【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度v gr时，汽车对弧顶的压力F N=O，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力.（2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况:特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力.①当v= 0时，F N = mg （N为支持力）②当0 v v v Rg时，F N随v增大而减小，且mg > F N > 0, F N为支持力.③当v= . Rg 时，F N = 0④当v> . R g时，F N为拉力，F N随v的增大而增大（此时F N为拉力，方向指向圆心）典例讨论1. 圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点.结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴0O旋转，现将轻质弹簧的一端固定O在圆盘中心，另一端系住一个质量为 m 的物块A,设弹簧劲度系数为 k ，弹簧原长为L 。
2019届高考物理一轮复习随堂精品练习：第16课时圆周运动的临界问题
第16课时 专题 圆周运动的临界问题1.图4－3－6质量为m 的小球由轻绳a 和b 分别系于一轻质木架上的A 点和C 点，如图4－3－6所示，当轻杆绕轴BC 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a 在竖直方向，绳b 在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b 被烧断的同时杆子停止转动，则( ) A ．小球仍在水平面内做匀速圆周运动 B ．在绳被烧断瞬间，a 绳中张力突然增大C ．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC 的竖直平面内摆动D ．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC 的竖直平面内做圆周运动解析：绳b 烧断前，竖直方向合力为零，即F a ＝mg ，烧断b 后，因惯性，要在竖直面内做圆周运动，且F a ′－mg ＝m v 2l，所以F a ′＞F a ，A 错B 对，当ω足够小时，小球不能摆过AB 所在高度，C 对，当ω足够大时，小球在竖直面内能通过AB 上方最高点，从而做圆周运动，D 对． 答案：BCD 2.图4－3－7m 为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)，A 为终端皮带轮，如图4－3－7所示，已知皮带轮半径为 r ，传送带与皮带轮间不会打滑，当m 可被水平抛出时，A 轮每秒的转数最少是( ) A.12π g r B. g r C.gr D.12πgr 解析：当m 被水平抛出时只受重力的作用，支持力N ＝0.在圆周最高点，重力提供向心力，即mg ＝mv 2r ，所以v ＝gr .而v ＝2πf ·r ，所以f ＝v 2πr ＝12π gr ，所以每秒的转数最小为12πgr，A 正确． 答案：A 3.图4－3－8(2019·西南师大附中模拟)如图4－3－8所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R ，小球半径为r ，则下列说法正确的是( ) A ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝g (R ＋r ) B ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝0C ．小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D ．小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力解析：小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A 错误，B 正确；小球在水平线ab 以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力F N 与球重力在背离圆心方向的分力F mg 的合力提供向心力，即：F N －F mg ＝mv 2R ＋r，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，C 正确；小球在水平线ab 以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，D 错误． 答案：BC 4.图4－3－9某实验中学的学习小组在进行科学探测时，一位同学利用绳索顺利跨越了一道山涧，他先用绳索做了一个单摆(秋千)，通过摆动，使自身获得足够速度后再平抛到山涧对面，如图4－3－9所示，若他的质量是M ，所用绳长为L ，在摆到最低点B 处时的速度为v ，离地高度为h ，当地重力加速度为g ，则：(1)他用的绳子能承受的最大拉力不小于多少？ (2)这道山涧的宽度不超过多大？解析：(1)该同学在B 处，由牛顿第二定律得：F －Mg ＝M v 2L，解得：F ＝Mg ＋M v 2L ，即他用的绳子能承受的最大拉力不小于Mg ＋M v 2L.(2)对该同学做平抛运动的过程由运动学公式得：水平方向有：x ＝vt ，竖直方向有：h ＝12gt 2，解得：x ＝v2hg ，即这道山涧的宽度不超过v2hg.答案：(1)Mg ＋M v 2L(2)v2h g5.图4－3－10(2019·诸城模拟)如图4－3－10所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管道竖直放置，质量为m 的小球以某一速度进入管内，小球通过最高点P 时，对管壁的压力为0.5mg .求： (1)小球从管口飞出时的速率； (2)小球落地点到P 点的水平距离．解析：(1)分两种情况，当小球对管下部有压力时，则有mg －0.5mg ＝mv 21R ，v 1＝gR2.当小球对管上部有压力时，则有mg ＋0.5mg ＝mv 22R ，v 2＝ 32gR(2)小球从管口飞出做平抛运动，2R ＝12gt 2，t ＝2 Rg，x 1＝v 1t ＝2R ，x 2＝v 2t ＝6R .答案：(1) gR 2或 32gR (2)2R 或6R。
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题（一）1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v 临界＝Rg②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。
③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。
⑵如图3所示情形，小球与轻质杆相连。
杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力①能过最高点v 临界＝0，此时支持力N ＝mg②当0＜v ＜Rg 时，N 为支持力，有0＜N ＜mg ，且N 随v 的增大而减小 ③当v ＝Rg 时，N ＝0④当v ＞Rg ，N 为拉力，有N ＞0，N 随v 的增大而增大例1 （99年高考题）如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 的水平轴自由转动。
现给小球一初速度，使它做圆周运动。
图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ）A 、a 处为拉力，b 处为拉力B 、a 处为拉力，b 处为推力C 、a 处为推力，b 处为拉力D 、a 处为推力，b 处为推力例2 长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m图 1v 0图2图 3＝3.0kg 的小球，如图5所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m ／s ，g 取10m ／s 2，则此时细杆OA 受到 （ ）A 、6.0N 的拉力B 、6.0N 的压力C 、24N 的拉力D 、24N 的压力例3长L ＝0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端连接着一个质量m ＝2kg 的小球A ，A 绕O 点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：①当A 的速率v 1＝1m ／s 时 ②当A 的速率v 2＝4m ／s 时2、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。
专题 圆周运动临界问题
专题 圆周运动的临界问题一．水平转台上与静摩擦力有关的临界问题在转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化。
关键：（1）找出与最大静摩擦力对应的临界条件 （2）牢记“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变1．单个物体做圆周运动【例1】如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。
物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。
求：⑴当转盘角速度ω1＝μg 2r 时，细绳的拉力T 1 ⑵当转盘角速度ω2＝3μg 2r时，细绳的拉力T 22．绳子连接两个物体在圆心的一侧做圆周运动【例2】一圆盘可以绕其竖直轴在图所示水平面内转动，A 、B 物体质量均为m ，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L 的轻绳连在一起。
若将A 放在距轴心为L 的位置，A 、B 之间连线刚好沿半径方向被拉直，随着圆盘角速度ω的增加，摩擦力或绳子拉力会出现不同的状态，（两物体均看作质点）求：（1）ω1＝Lg 3μ时，细绳的拉力T 1和A 所受的摩擦力f 1（2）ω1＝Lg 53μ时，细绳的拉力T 2和A 所受的摩擦力f 23.绳子连接两个物体分别在圆心的两侧做圆周运动【例3】(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m 的两个物体A 和B ，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A ＝r ，R B ＝2r ，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )A ．此时绳子张力为3μmgB ．此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆内C ．此时圆盘的角速度为2μg rD ．此时烧断绳子，A 仍相对盘静止，B 将做离心运动【针对训练1】如图所示，水平转台上的小物体A 、B 通过轻绳连接，转台静止时绳中无拉力，A 、B 的质量分别为m 、2m ，A 、B 与转台间的动摩擦因数均为μ， A 、B 离转台中心的距离分别为1.5r 、r ，当两物体随转台一起匀速转动时，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（ ）A ．绳中无拉力时，A 、B 物体受到的摩擦力大小相等B ．当绳中有拉力时，转台转动的角速度应大于√μg rC ．若转台转动的角速度为√6μg r ，则A 、B 一起相对转台向B 离心的方向滑动D ．物体A 所受的摩擦力方向一定指向圆心【针对训练2】（多选）如图所示，圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动。
圆周运动中的临界问题(最新整理)
C、24N 的拉力
D、24N 的压力
m
A L O
例 3 长 L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于 O 点， 上端连接着一个质量 m＝2kg 的小球 A，A 绕 O 点做圆周运动（同 图 5），在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当 A 的速率 v1＝1m／s 时 ②当 A 的速率 v2＝4m／s 时
离圆心，大小等于最大静摩擦力 2N。 此时，对 M 运用牛顿第二定律。
M
ro
有
T－fm＝Mω12r
且 T＝mg
解得 ω1＝2.9 rad／s
m
第5页
图 7
当ω为所求范围最大值时，M 有背离圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向向着圆
心，大小还等于最大静摩擦力 2N。
再对 M 运用牛顿第二定律。
有
T＋fm＝Mω22r
解得 ω2＝6.5 rad／s
所以，题中所求ω的范围是： 2.9 rad／s＜ω＜6.5 rad／s
第6页
注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。
如果ω＜2.4 rad／s 时，TBC＝0，AC 与轴的夹角小于 30°。 如果ω＞3.16rad／s 时，TAC＝0，BC 与轴的夹角大于 45
例 5 解析：要使 m 静止，M 也应与平面相对静止。而 M 与平面静止时有两个临界状态：
当ω为所求范围最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向背
①当 v1＝1m／s＜ 5m／s 时，小球受向下的重力 mg 和向上的支持力 N v2
由牛顿第二定律 mg－N＝m L v2
N＝mg－m ＝16N L
备考2024届高考物理一轮复习分层练习第四章曲线运动专题七圆周运动临界问题的模型建构
专题七 圆周运动临界问题的模型建构1.[多选]如图所示，用一端固定在O 点且长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是（ CD ）A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力D.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为√gL解析 在最高点时，若向心力完全由重力提供，即球和细绳之间没有相互作用力，此时有mg ＝m v 02L，解得v 0＝√gL ，此时小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，若v ＞√gL ，则小球对细绳有拉力，若v ＜√gL ，则小球不能在竖直平面内做圆周运动，所以在最高点，充当向心力的不一定是重力.在最低点时，细绳的拉力和重力的合力充当向心力，故有T －mg ＝m v 12L ，得T ＝m v 12L ＋mg ，则小球过最低点时细绳的拉力一定大于小球重力，故A 、B 错误，C 、D 正确.2.[2023山东临沂检测]无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管.已知管状模型内壁半径为R ，则下列说法正确的是（ C ）A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上B.模型各个方向上受到的铁水的作用力相同C.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力D.管状模型转动的角速度ω最大为√g R解析 铁水做圆周运动，重力与弹力的合力提供向心力，没有离心力，A 错误；模型最下部受到铁水的作用力最大，最上部受到铁水的作用力最小，B 错误；最上部的铁水如果恰好不离开模型内壁，则由重力提供向心力，有mg ＝mω2R ，可得ω＝√g R，故管状模型转动的角速度ω至少为√gR ，C 正确，D 错误.3.[2024湖北宜城一中质检/多选]一半径为r 的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示.小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为F N ，小球的速度大小为v ，其F N －v 2图像如图乙所示.已知重力加速度为g ，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力.则下列说法正确的是（ ABD ）A.小球的质量为bgB.圆形管道内侧壁半径为cg －rC.当v 2＝d 时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为dbc －bD.小球在最低点的最小速度为2√c解析 设圆形管道内侧壁半径为R ，在最高点，当管壁对小球的作用力为零时，重力提供向心力，由牛顿第二定律得mg ＝mv 02R ＋r，解得v 0＝√g(R ＋r)，当0＜v ＜√g(R ＋r)时，在最高点，小球受到管内壁向上的弹力，由牛顿第二定律得mg －F N ＝m v 2R ＋r，整理得F N ＝mg －mv 2R ＋r，结合题图乙可得mg ＝b ，m R ＋r＝b c，解得m ＝b g，R ＝cg－r ，A 、B 正确；当v ＞√g(R ＋r)时，在最高点，小球受到管外壁向下的弹力，由牛顿第二定律得mg ＋F N ＝m v 2R ＋r，整理得F N ＝mv 2R ＋r－mg ，当v 2＝d 时，有F N ＝bdc －b ，C 错误；根据能量守恒定律可知，当小球在最高点具有最小速度(为零)时，其在最低点的速度最小，即12m v min 2＝2mg (R ＋r )，解得v min ＝2√c ，D 正确.4.[创新图像形式/2024湖南长沙雅礼中学校考/多选]如图所示，水平圆盘上放置一个质量为m 的小物块，物块通过长为L 的轻绳连接到竖直转轴上的定点O ，此时轻绳恰好伸直，与转轴成37°角.现使整个装置绕转轴缓慢加速转动（轻绳不会绕到转轴上），角速度ω从零开始缓慢增加，直到物块刚好要脱离圆盘.已知物块与圆盘间动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g ，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.则轻绳的弹力大小F T 和物块受到的摩擦力大小F f 随ω2变化的图像正确的是（ AD ）解析 ω较小时，绳子无弹力，静摩擦力提供向心力，有F f ＝mω2L sin 37°，当F f 达到最大静摩擦力时有m ω12L sin 37°＝μmg ，解得ω12＝5g6L，此时F T ＝0、F f ＝12mg ，即绳子刚好开始产生弹力，继续增大角速度，轻绳弹力增大，静摩擦力减小，最终物块刚好要脱离圆盘，此时摩擦力为0，有F T cos 37°＝mg 、F T sin 37°＝m ω22L sin 37°，解得ω22＝5g4L ，此时F T ＝54mg 、F f ＝0，A 、D 正确，B 、C 错误.5.[多选]如图所示，物体P 用两根长度相等且不可伸长的细线系于竖直杆上，并随杆转动.若转动角速度为ω，则（ ABC ）A.ω只有超过某一值时，细线AP 才有拉力B.细线BP 的拉力随ω的增大而增大C.细线BP 所受拉力一定大于细线AP 所受拉力D.当ω增大到一定程度时，细线AP 所受拉力大于BP 所受拉力解析 ω较小时，AP 松弛，故A 正确.AP 绷紧前，对P 受力分析，如图甲所示，水平方向有F BP sin θ＝mω2L sin θ，得F BP ＝mω2L ，可知BP 的拉力随ω的增大而增大；AP 绷紧后，对P 受力分析，如图乙所示，竖直方向有F BP sin α－F AP sin α＝mg ，得F BP －F AP ＝mg sinα＞0，水平方向有F BP cos α＋F AP cos α＝mω2L cos α，解得2F BP ＝mg sinα＋mω2L ，可知BP 的拉力随ω的增大而增大，故B 、C 正确，D 错误.6.[2022山东]无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为3m 的半圆弧BC 与长8m 的直线路径AB 相切于B 点，与半径为4m 的半圆弧CD 相切于C 点.小车以最大速度从A 点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B 点，然后保持速率不变依次经过BC 和CD .为保证安全，小车速率最大为4m/s .在ABC 段的加速度最大为2m/s 2，CD 段的加速度最大为1m/s 2.小车视为质点，小车从A 到D 所需最短时间t 及在AB 段做匀速直线运动的最长距离l 为（ B ）A.t ＝（2＋7π4）s ，l ＝8mB.t ＝（94＋7π2）s ，l ＝5mC.t ＝（2＋5√612＋7√6π6）s ，l ＝5.5m D.t ＝（2＋5√612＋4+√62π）s ，l ＝5.5m解析 在BC 段的最大加速度为a 1＝2 m/s 2，由a 1＝v 12r 1得小车在BC 段的最大速度为v 1＝√6 m/s ；在CD 段的最大加速度为a 2＝1 m/s 2，由a 2＝v 22r 2得小车在CD 段的最大速度为v 2＝2 m/s ＜v 1；小车可在BCD 段运动的时间为t 3＝π(r 1＋r 2)v 2＝7π2s ；在AB 段从最大速度v 1减速到v 2的时间t 1＝v 1−v 2a 1＝1 s ，位移x 2＝v 12−v 222a 1＝3 m ，则在AB 段匀速运动的最长距离为l ＝8 m －3 m ＝5 m ；匀速运动的时间t 2＝lv 1＝54 s ，则小车从A 到D 所需最短时间为t ＝t 1＋t 2＋t 3＝(94＋7π2) s ，B 正确.7.[多选]如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用轻绳相连的质量均为m 的两个物体A 和B ，它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为R A ＝r 、R B ＝2r ，与圆盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速缓慢增大到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（ ABC ）A.此时绳子所受拉力为T ＝3μmgB.此时圆盘的角速度为ω＝√2μg rC.此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆盘外D.此时烧断绳子，A 仍相对盘静止，B 将做离心运动解析 A 和B 随着圆盘转动时，合外力提供向心力，B 的运动半径比A 的大，所以B 所需向心力大，绳子拉力相等，当圆盘转速增大到两物体刚好还未发生滑动时，B 的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A 的最大静摩擦力方向沿半径指向圆盘外，根据牛顿第二定律得T －μmg ＝mrω2，T ＋μmg ＝2mrω2，解得T ＝3μmg ，ω＝√2μg r，A 、B 、C 正确；此时烧断绳子，A 、B 的最大静摩擦力都不足以提供向心力，A 、B 都将做离心运动，D 错误. 8.[2024四川绵阳南山中学校考]某水上滑梯的简化结构图如图所示.总质量为m 的滑船（包括游客），从图甲所示倾角θ＝53°的光滑斜轨道上的A 点由静止开始下滑，到达B 点时，进入一段与斜轨道相切的半径R ＝12.5m 的光滑圆弧轨道BC ，C 点为与地面相切的圆弧轨道最低点，在C 点时对轨道的压力为1.8mg ，之后轨道扭曲（D 与BC 不在同一个竖直面内），滑船从D 点沿切线方向滑上如图乙所示的足够大光滑斜面abcd ，速度方向与斜面水平底边ad 成夹角θ＝53°.已知斜面abcd 与水平面成β＝37°角，最后滑船由斜面水平底边ad 上的E 点进入水平接收平台，已知DE 长L ＝8m ，g 取10m/s 2.求：（1）A 点距离地面高度H ；（2）滑船运动到D 点时的速度大小v D 及从D 点到E 点的运动时间t .答案 （1）5m （2）5√2m/s4√23s解析 （1）滑船从A 点滑到C 点时，由机械能守恒定律可知mgH ＝12m v C2在C 点时由牛顿第二定律可得F NC －mg ＝m v C2R解得H ＝0.4R ＝5m（2）滑船在斜面上做类平抛运动，在斜面上只受重力和斜面的支持力，则运动的加速度大小a ＝mgsinβm＝6m/s 2沿边ab 方向有v D sin θ＝a ·t2沿底边ad 方向有L ＝v D cos θ·t联立并代入数据解得v D ＝5√2m/s ，t ＝4√23s.9.[斜面上的圆周运动/2024山东潍坊统考]为解决洗衣服时弯腰放置衣物的问题，有人设计了一种斜式滚筒洗衣机，其简化图如图所示.该洗衣机在脱水过程中滚筒绕固定轴OO 1以恒定的角速度转动，滚筒的半径为r ，筒壁内有一可视为质点的衣物，衣物与滚筒间的动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），固定轴与水平面间的夹角为θ，重力加速度为g .要保持衣物在最高点时与滚筒相对静止，滚筒转动角速度的最小值为（ B ）A.√g （μsinθ＋cosθ）μrB.√g （sinθ＋μcosθ）μrC.√g （μsinθ－cosθ）μrD.√g （sinθ－μcosθ）μr解析。
高考物理一轮复习 第四章 专题强化七 圆周运动的临界问题
第四章 曲线运动
专题强化七 圆周运动的临界问题
目标 1.掌握水平面内、竖直面内的圆周运动的动力学问题的分析方法.2.会分析水平面内、竖直面内 要求 圆周运动的临界问题.
内容 索引
题型一 水平面内圆周运动的临界问题 题型二 竖直面内圆周运动的临界问题 题型三 斜面上圆周运动的临界问题 课时精练
FN、绳子拉力F.小球所受合力提供向心力，设绳子与竖直方向夹角为
θ，由几何关系可知R＝htan θ，受力分析可知Fcos θ＋FN＝mg，Fsin θ ＝mvR2＝mω2R＝4mπ2n2R＝4mπ2n2htan θ；当球即
将离开水平桌面时，FN＝0，转速n有最大值，此
时n＝21π
g ，故选D. h
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
√C.小物体受到的摩擦力可能背离圆心 √D.ω的最大值是1.0 rad/s
当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个 力的作用，合力提供向心力，故A错误； 当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个 力的作用，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力 的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，摩擦力的方向沿斜面向 上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B错误； 当物体在最高点时，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向 下，即可能指向圆心，也可能背离圆心，故C正确；
3.方法突破 (1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好 达到最大静摩擦力. (2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零. (3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳 上拉力恰好为最大承受力等. 4.解决方法 当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过 程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解.
高考物理一轮总复习第四章第四讲平抛运动圆周运动的临界问题练习含解析
平抛运动、圆周运动的临界问题[A组·基础题]1. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为3 2(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是( C )A. 5 rad/s B． 3 rad/sC．1.0 rad/s D．5 rad/s2. 一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M 与m(M＞m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为l(l ＜R)的轻绳连在一起，如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间接线刚好沿半径方向拉直，要使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大值不得超过( D )A.μM－m gmlB．μM－m gMlC.μM＋m gMlD．μM＋m gml3. (2019·河南中原名校考评)如图所示，半径分别为R、2R的两个水平圆盘，小圆盘转动时会带动大圆盘不打滑的一起转动．质量为m的小物块甲放置在大圆盘上距离转轴R处，质量为2m的小物块放置在小圆盘的边缘处．它们与盘面间的动摩擦因数相同，当小圆盘以角速度转动时，两物块均相对圆盘静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( B )A．二者线速度大小相等B ．甲受到的摩擦力大小为14mω2RC ．在ω逐渐增大的过程中，甲先滑动D ．在ω逐渐增大但未相对滑动的过程中，物块所受摩擦力仍沿半径指向圆心解析：大圆盘和小圆盘边缘上的线速度大小相等，当小圆盘以角速度ω转动时，大圆盘以ω2转动；两物块做圆周运动的半径相等，但是角速度不同，则线速度大小不等，A 错误；根据v ＝ωr 知，大圆盘以ω2转动，则小物块甲受到的摩擦力f ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω22R ＝14mω2R ，B 正确；根据μmg ＝mω2r 知，临界角速度ω＝μgr，两物块的半径相等，知临界角速度相等，在角速度ω逐渐增大的过程中，ω大＝12ω小，可知物块乙先滑动，C 错误；在角速度ω逐渐增大的过程中，甲乙的线速度逐渐增大，根据动能定理知，摩擦力对两物块均做正功，可知摩擦力一定有沿线速度方向的分力，所以物块受到的摩擦力的方向一定不是指向圆心，D 错误． 4. (2018·广东七校联考)如图所示，半径为R 的圆轮在竖直面内绕O 轴匀速转动，轮上A 、B 两点各粘有一小物体，当B 点转至最低位置时，此时O 、A 、B 、P 四点在同一竖直线上，已知：OA ＝AB ，P 是地面上的一点．此时A 、B 两点处的小物体同时脱落，最终落到水平地面上同一点．不计空气阻力，则OP 的距离是( A )A.76R B ．52R C ．5RD ．7R解析：设OP 之间的距离为h ，则A 下落的高度为h －12R ，A 随圆轮运动的线速度为12ωR ，设A 下落的时间为t 1，水平位移为s ，则有：在竖直方向上有：h －12R ＝12gt 21在水平方向上有： s ＝12ωRt 1B 下落的高度为h －R ，B 随圆轮运动的线速度为ωR ，设B 下落的时间为t 2，水平位移也为s ，则有：在竖直方向上有：h －R ＝12gt 22在水平方向上有：s ＝ωRt 2联立上式解得：h ＝76R选项A 正确，B 、C 、D 错误．5．(多选) 水平面上有倾角为θ、质量为M 的斜面体，质量为m 的小物块放在斜面上，现用一平行于斜面、大小恒定的拉力F 作用于小物块上，绕小物块旋转一周，这个过程中斜面体和小物块始终保持静止状态．下列说法中正确的是( AC )A ．小物块受到斜面的最大摩擦力为F ＋mg sin θB ．小物块受到斜面的最大摩擦力为F －mg sin θC ．斜面体受到地面的最大摩擦力为FD ．斜面体受到地面的最大摩擦力为F cos θ6．(多选) (2018·山西省吕梁市期中)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R ，小球半径为r ，则下列说法正确的是( BC )A ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝g R ＋rB ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝0C ．小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D ．小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力解析：小球过最高点时可能受到外壁对其向下的压力或内壁对其向上的支持力，类似于轻杆端点的小球过最高点，则其通过最高点的最小速度为零．故A 项错误，B 项正确；小球在管道中运动时，向心力的方向要指向圆心；小球在水平线ab 以下时，重力沿半径的分量背离圆心，则管壁必然提供指向圆心的支持力，只有外侧管壁才能提供此力，内侧管壁对小球一定无作用力，C 项正确；同理在水平线ab 以上时，重力沿半径的分量指向圆心，外侧管壁对小球可能没有作用力，D 项错误．7. 如图所示，水平屋顶高H ＝5 m ，围墙高h ＝3.2 m ，围墙到房子的水平距离L ＝3 m ，围墙外空地宽x ＝10 m ，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g 取10 m/s 2.求：(1)小球离开屋顶时的速度v 0的大小范围；(2)小球落在空地上的最小速度．解析：(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v 01，则小球的水平位移：L ＋x ＝v 01t 1小球的竖直位移：H ＝12gt 21解以上两式得v 01＝(L ＋x )g2H＝13 m/s 设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v 02，则此过程中小球的水平位移：L ＝v 02t 2 小球的竖直位移：H －h ＝12gt 22解以上两式得：v 02＝Lg2H －h＝5 m/s小球离开屋顶时的速度大小为5 m/s≤v 0≤13 m/s.(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越好围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小． 竖直方向：v 2y ＝2gH 又有：v min ＝v 202＋v 2y 解得：v min ＝5 5 m/s.答案：(1)5 m/s≤v 0≤13 m/s (2)5 5 m/s[B 组·能力题]8. (多选)如图所示，两物块A 、B 套在水平粗糙的CD 杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD 中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆CD 对物块A 、B 的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块B 到轴的距离为物块A 到轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐慢慢增大，在从绳子处于自然长度到两物块A 、B 即将滑动的过程中，下列说法正确的是( BC )A ．A 受到的静摩擦力一直增大B ．B 受到的静摩擦力先增大后保持不变C ．A 受到的静摩擦力先增大后减小再增大D ．B 受到的合外力先增大后保持不变9. (多选)(2016·浙江卷)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R ＝90 m 的大圆弧和r ＝40 m 的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O 、O ′距离L ＝100 m ．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g ＝10 m/s 2，π＝3.14)，则赛车( AB )A ．在绕过小圆弧弯道后加速B ．在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC ．在直道上的加速度大小为5.63 m/s 2D ．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s10．如图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图，参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB ，AO 是高h ＝3 m 的竖直峭壁，OB 是以A 点为圆心的弧形坡，∠OAB ＝60°，B 点右侧是一段水平跑道．选手可以自A 点借助绳索降到O 点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A 点直接跃上跑道．选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g ＝10 m/s 2.(1)若选手以速度v 0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v 0的最小值； (2)若选手以速度v 1＝4 m/s 水平跳出，求该选手在空中的运动时间．解析：(1)运动员从A 到B 点做平抛运动，设刚好能到达B 点，水平方向上h sin 60°＝v 0t 竖直方向上h cos 60°＝12gt 2计算可得v 0＝3102m/sv 0的最小值为3102m/s. (2)若选手以速度v 1＝4 m/s 水平跳出，v 1＜v 0，选手会落到圆弧上， 水平方向上x ＝v 1t 1 竖直方向上y ＝12gt 21根据几何关系x 2＋y 2＝h 2计算可得t 1＝0.6 s.答案：(1)3102m/s (2)0.6 s11. (2017·河南开封模拟)如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN 调节其与水平面所成的倾角．板上一根长为l ＝0.60 m 的轻细绳，它的一端系住一质量为m 的小球P ，另一端固定在板上的O 点．当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN 拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v 0＝3.0 m/s.若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？(取重力加速度g ＝10 m/s 2)解析：小球在倾斜平板上运动时受到绳子拉力、平板弹力、重力．在垂直平板方向上合力为0，重力在沿平板方向的分量为mg sin α小球在最高点时，由绳子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有F T ＋mg sinα＝mv 21l①研究小球从释放到最高点的过程，根据动能定理有 －mgl sin α＝12mv 21－12mv 20②若恰好能通过最高点，则绳子拉力F T ＝0③ 联立①②③解得sin α＝12，解得α＝30°故α的范围为0°≤α≤30°. 答案：0°≤α≤30°。
高考物理大一轮复习专题提升四圆周运动中的临界问题课件
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答案：A
突破三 斜面上的圆周运动中的临界问题 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如 静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的 规律也不相同.
例 3：(2016 年河南开封模拟)如图 Z4-6 所示，一块足够大 的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴 MN 调节其与水 平面所成的倾角.板上一根长为 l＝0.60 m 的轻细绳，它的一端 系住一质量为 m 的小球 P，另一端固定在板上的 O 点.当平板的 倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴 MN 拉直，然后给小球 一沿着平板并与轻绳垂直的初速度 v0＝3.0 m/s.若小球能保持在 板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？(取重力加速 度 g＝10 m/s2)
专题提升四 圆周运动中的临界问题
突破一 水平面内的匀速圆周运动中的临界问题 水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与
摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题. (1)与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到
最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有
解析：根据 F向＝mrω2 ，因为两物块的角速度大小相等， 转动半径相等，质量相等，则向心力相等，故 A 错误；对 A、 B 整体分析， fB＝2mrω2，对A分析，有：fA＝mrω2 ，知盘对 B 的摩擦力是 B 对 A 的摩擦力的2 倍，故B 正确；A 所受的静摩 擦力方向指向圆心，可知 A 有沿半径向外滑动的趋势，B 受到 盘的静摩擦力方向指向圆心，有沿半径向外滑动的趋势，故 C
高考研究（二）圆周运动及其临界问题
⾼考研究（⼆）圆周运动及其临界问题3.23物理⼀轮复习：⾼考研究（⼆）圆周运动及其临界问题⾼考研究(⼆)圆周运动及其临界问题圆周运动的临界问题，⼀般有两类：⼀类是做圆周运动的物体，在某些特殊位置上，存在着某⼀速度值，⼩于(或⼤于)这个速度，物体就不能再继续做圆周运动，此速度即为临界速度；另⼀类是因为某种原因导致物体的受⼒发⽣变化，其运动状态随之变化，对应物体出现相应的临界状态。
竖直平⾯内的圆周运动——轻绳模型及其临界问题题型简述如图所⽰，轻绳拉着⼩球在竖直平⾯内做圆周运动，或者⼩球在竖直放置的光滑圆弧形轨道内侧运动。
该题型的特点是⼩球到达最⾼点时没有物体⽀撑⼩球，⽽轻绳或轨道对⼩球只能有向下的拉⼒或弹⼒。
⽅法突破⼩球做圆周运动，只要所受合外⼒恰好提供其做圆周运动的向⼼⼒，它便能沿着原轨道继续运动，⽽绳或轨道内侧对⼩球只能有向着圆⼼的拉⼒或弹⼒，最⼩拉⼒为零。
(1)恰能过最⾼点的临界条件：绳⼦或轨道对⼩球没有⼒的作⽤，mg ＝m v 临界2R得v 临界＝Rg 。
(2)能过最⾼点的条件：v ≥v 临界，当v >Rg 时，绳对⼩球产⽣拉⼒，轨道对球产⽣压⼒。
(3)不能过最⾼点的条件：v[例1](2018·抚顺模拟)如图所⽰，竖直环A 半径为r ，固定在⽊板B 上，⽊板B 放在⽔平地⾯上，B 的左右两侧各有⼀挡板固定在地上，B 不能左右运动，在环的最低点静置有⼀⼩球C ，A 、B 、C 的质量均为m 。
现给⼩球⼀⽔平向右的瞬时速度v ，⼩球会在环内侧做圆周运动，为保证⼩球能通过环的最⾼点，且不会使环在竖直⽅向上跳起(不计⼩球与环之间的摩擦阻⼒)，则瞬时速度v 必须满⾜()A ．最⼩值4grB ．最⼤值6grC ．最⼩值3grD ．最⼤值7gr[跟进训练]1.如图所⽰，⽤⼀段轻绳系⼀个质量为m 的⼩球悬挂在天花板下⾯。
将轻绳⽔平拉直后由静⽌释放，当绳与⽔平⽅向夹⾓为α时，⼩球受到的合⼒⼤⼩为()A ．mg 3sin 2α＋1B ．mg 3sin 2α－1C ．mg 2－sin 2αD ．mg 4－3sin 2α竖直平⾯内的圆周运动——轻杆模型及其临界问题题型简述如图所⽰，⼩球固定在轻杆上，在竖直平⾯内做圆周运动，或⼩球在竖直放置的光滑圆管中运动。
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高考一轮复习随堂练习专题圆周运动的临界问
题
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第3讲 专题 圆周运动的临界问题
1.
图4－3－6
质量为m 的小球由轻绳a 和b 分别系于一轻质木架上的A 点和C 点，如图4－3－6所示，当轻杆绕轴BC 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a 在竖直方向，绳b 在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b 被烧断的同时杆子停止转动，则( )
A ．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B ．在绳被烧断瞬间，a 绳中张力突然增大
C ．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC 的竖直平面内摆动
D ．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC 的竖直平面内做圆周运动
解析：绳b 烧断前，竖直方向合力为零，即F a ＝mg ，烧断b 后，因惯性，要在竖直面
内做圆周运动，且F a ′－mg ＝m v 2
l
，所以F a ′＞F a ，A 错B 对，当ω足够小时，小球不
能摆过AB 所在高度，C 对，当ω足够大时，小球在竖直面内能通过AB 上方最高点，
从而做圆周运动，D 对． 答案：BCD 2.
图4－3－7
m 为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)，A 为终端皮带轮，如图4－3－7所示，已知皮带轮半径为 r ，传送带与皮带轮间不会打滑，当m 可被水平抛出时，A 轮每秒的转数最少是( )
g r B. g r
gr 解析：当m 被水平抛出时只受重力的作用，支持力N ＝0.在圆周最高点，重力提供向
心力，即mg ＝mv 2r ，所以v ＝gr .而v ＝2πf ·r ，所以f ＝v 2πr ＝12π g
r ，所以每
秒的转数最小为12π g
r
，A 正确．
答案：A 3.
图4－3－8
(2010·西南师大附中模拟)如图4－3－8所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R ，小球半径为r ，则下列说法正确的是( ) A ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝g (R ＋r ) B ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝0
C ．小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D ．小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析：小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A 错误，B 正确；小球在水平线ab 以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力F N 与球重力在背离圆心方向的分力
F mg 的合力提供向心力，即：F N －F mg ＝m
v 2
R ＋r
，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内
侧壁无作用力，C 正确；小球在水平线ab 以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力
与小球速度大小有关，D 错误． 答案：BC 4.
图4－3－9
某实验中学的学习小组在进行科学探测时，一位同学利用绳索顺利跨越了一道山涧，他先用绳索做了一个单摆(秋千)，通过摆动，使自身获得足够速度后再平抛到山涧对面，如图4－3－9所示，若他的质量是M ，所用绳长为L ，在摆到最低点B 处时的速度为v ，离地高度为h ，当地重力加速度为g ，则： (1)他用的绳子能承受的最大拉力不小于多少 (2)这道山涧的宽度不超过多大
解析：(1)该同学在B 处，由牛顿第二定律得：F －Mg ＝M v 2
L
，
解得：F ＝Mg ＋M v 2L ，即他用的绳子能承受的最大拉力不小于Mg ＋M v 2
L
.
(2)对该同学做平抛运动的过程由运动学公式得：水平方向有：x ＝vt ，竖直方向有：
h ＝12gt 2
，
解得：x ＝v
2h
g ，即这道山涧的宽度不超过v
2h
g
.
答案：(1)Mg ＋M v 2
L
(2)v
2h g
5.
图4－3－10
(2010·诸城模拟)如图4－3－10所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管道竖直放置，质量为m 的小球以某一速度进入管内，小球通过最高点P 时，对管壁的压力为.求：
(1)小球从管口飞出时的速率； (2)小球落地点到P 点的水平距离．
解析：(1)分两种情况，当小球对管下部有压力时，则有mg －＝mv 21R ，v 1＝gR
2
.当小
球对管上部有压力时，则有mg ＋＝mv 22R ，v 2＝ 3
2gR
(2)小球从管口飞出做平抛运动，2R ＝12gt 2，t ＝2 R
g
，x 1＝v 1t ＝2R ，x 2＝v 2t ＝6R .
答案：(1) gR 2或 3
2
gR (2)2R 或6R。