第三章平面力系的平衡

o
o
l
l
l
l
∑F = 0
y
FAy − 2ql + F sin 60o− F cos 30o = 0 B
MA
FAy
A
M
q
C B
30
o
F
FAx
60
o
D
∑M (F) = 0
A
FB
l l
l l
MA − M− 2ql ×2l + F sin 60o ×3l − F cos 30o ×4l = 0 B
解得: 解得: FAx = 32.89 kN, FAy = −2.32 kN, MA = 10.37 kN ⋅ m
★平面力系平衡方程讨论： 平面力系平衡方程讨论： 讨论
{
x
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO= 0
x 思考：, y 的选择是否有一定任意性？ 思考： 的选择是否有一定任意性？
x x
y
y
y
在图示刚架的点B 例1 在图示刚架的点B作 用一水平F 用一水平F，刚架重量略 去不计。 去不计。 求支座A 的反力。 求支座A、D的反力。 解：法1分析刚架
解：(b)情形 (b)情形
q
B
l
l
l
l
l
C
r
q
B
l
l
l
l
C
r
l
D
E FP
l
l
E
D
FP
1.5l 1.5l
.
A
1.5l 1.5l FA x
.
MA A
FA y
图示构架，由直杆BC， 思考图示构架，由直杆BC， CD及直角弯杆 AB组成 ， CD 及直角弯杆 组成 及直角弯杆AB 组成， 各杆自重不计。 在销钉B 各杆自重不计 。 在销钉 B 上作用载荷P 已知: qa、 上作用载荷 P 。 已知 : qa 、 M=qa2、P=qa 如何求: 销钉B BC 作用 如何求 : 销钉 B 对 BC作用 力？ 分析CD,不含 销钉的BC。 分析CD,不含B销钉的BC。 不含B
★平面任意力系向面内一点简化
固定端的约束力为何可表示 思考： 思考： 成两个力和一个力偶？ 成两个力和一个力偶？
F F
MA FAx A FAy
A
★平面任意力系简化结果分析
主矢： F′ = ∑F 主矢： R i
i= 1 n
FR O Mo
主矩 ： MO = ∑MO(F ) i
i=1
n
平面任意力系简化结果： 平面任意力系简化结果：
2 ∑Fx = 0, F − FA ⋅ =0 5 1 ∑Fy = 0, FD − FA ⋅ =0 5
故
5 FA = F = 1.12F 2
FA
FD
F = 0.5F D
解：法2几何法
F FD FA FA FD
解三角形得
5 FA = F = 1.12F 2
F = 0.5F D
方法比较：法2要求受力图中的反力方向必须 要求受力图中的反力方向必须 方法比较： 实际方向，要使用三力汇交 三力汇交； 实际方向，要使用三力汇交；法1对画受力图 适用面更广，但仍要用三力汇交表示A 三力汇交表示 宽，适用面更广，但仍要用三力汇交表示A处 反力，否则三个未知数。 反力，否则三个未知数。
超静定问题
思考： 思考： 指出下列问题属于静定问题还是超静定问题
静定问题
超静定问题
(a)
(c)
超静定问题
都不是
(b)
(d)
例 4 如图组合梁 ， 已知 ： 如图组合梁， 已知： F=20 kN ， 均 布 载 荷 q=10 kN/m ， M=20
A
M
q
C B
30
o
F
60
o
D
kN•m，l=1 m。 kN• 求：A处的约束力。 处的约束力。 解：1、取梁CD为研究对象 取梁CD为研究对象
FB D FC
解：法2分析BDC 分析BDC
∑MA = 0 , M- F y ⋅ 3r = 0 C
M Fy = C 3r 2 ∑Fy = 0 , 2 FB − FCy = 0
2M F = B 3r
FB FCx D FCy
∑F
x
=0 ,
2 F −F x =0 B C 2
A
M Fx = C 3r
例4 图 示 是 汽 车 制 动 机 构 的 一部分。踩到制动蹬上的力F 一部分 。 踩到制动蹬上的力 F， 方向与水平面成a 45° 方向与水平面成a = 45°角。图 示平衡不计自重。 平衡不计自重 不计自重。 求：C处和D处约束力。 处和D处约束力。 解：分析BC为二力杆 分析BC BC为二力杆 取整体研究
利用合力矩定理对线性分布力系简化 利用合力矩定理对线性分布力系简化
q
ql
l
l/2
q
ql 2
2l / 3
l
q2 q1 q1
q2
l
l
q1l
(q2 − q1 )l 2
2l / 3
q1l
(q2 − q1 )l 2
l/2
l/2
l /3
■ 平衡条件与平衡方程
★ 平面任意力系平衡的充要条件 ★ 平面任意力系平衡方程的形式 ★ 平面力系平衡方程讨论 ★ 平面力系平衡例题
★ 平面任意力系向面内一点简化
F2 O M2 Fn FR′ O Mo F2 O M1 Mn Fn F1
F1
★ 平面任意力系向面内一点简化
力系主矢： R 力系主矢：F′ = ∑F i
i= 1 n
FR′ O Mo
力系主矩 : MO = ∑MO(F ) i
i=1
n
点O ─简化中心 力系主矢和主矩是否与简化中心有关？ 力系主矢和主矩是否与简化中心有关？ 思考： 思考： 主矢与简化中心无关； 主矢与简化中心无关； 主矩一般与简化中心有关（ 主矩一般与简化中心有关（除？外）。
{ {
★平衡方程其他形式： 平衡方程其他形式： 其他形式 Σ Fx = 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MC（F）= 0
A
B
x
（两矩式） 两矩式）
A、B 连线不垂直 于x 轴 C B A C
（三矩式） 三矩式）
A、B、C三点不 在同一条直线上
B FDx D FDy
A α
F
240 C FC 60
(a)
∑M = 0 , 150 2F−60F = 0 F − 2 F =0 ∑F = 0 , 2 2 ∑F = 0 , F + F − 2 F = 0
D
C
y
Dy
x
Dx
C
解：取整体研究
∑M = 0 , 150 2F −60F 2 ∑F = 0 , F − 2 F = 0
★ 工 程 实 例 与 理 想 桁 架
★桁架分类：平面桁架和空间桁架 桁架分类：平面桁架和空间桁架 2、空间桁架 ● 结构是空间的。 结构是空间的。 ● 结构是平面的， 结构是平面的， 载荷与结构不共面。 载荷与结构不共面。
★平面力系平衡方程求解： 平面力系平衡方程求解：
解：法3分析刚架
∑Fx = 0, F − FAx = 0
FAx = F
⋅ ∑MA = 0, 2a⋅ F −a⋅ F = 0 ⋅ D
F = 0.5F D
∑F
y
= 0, F y + F = 0 A D
FAy = −0.5F
FAx FAy
FD
综述： 综述：法3最好
物体系是指由几个物体通过约束组成的系统 物体系是指由几个物体通过约束组成的系统。 是指由几个物体通过约束组成的系统
特点：整体系统平衡，每个物体也平衡， 特点：整体系统平衡，每个物体也平衡，局 部也平衡。 部也平衡。可取整体或部分系统或单个物体 或局部为研究对象。
★ 静定与静不定问题
静定问题 (statically determinate problem) problem) —由平衡方程可解出全部未知数。 由平衡方程可解出全部未知数。 由平衡方程可解出全部未知数 problem) 静不定问题(statically indeterminate problem) — 由平衡方程无法求出全部未知数。 由平衡方程无法求出全部未知数。
★平面力系平衡方程讨论： 平面力系平衡方程讨论： 讨论
{
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO= 0
平面任意力系： 平面任意力系： 三个独立的平衡方程，可解3 三个独立的平衡方程，可解3个未知量 平面汇交力系： 平面汇交力系： 二个独立的平衡方程，可解2 二个独立的平衡方程，可解2个未知量 平面平行力系： 二个独立的平衡方程， 平面平行力系： 二个独立的平衡方程，可2个未知量 平面力偶系： 一个独立的平衡方程，可解1 平面力偶系： 一个独立的平衡方程，可解1个未知量。
FC
y
l
l
l
o
l
30
q B
F
60
o
∑M (F) = 0
C
，
FCx C
D
FB l o o −ql× + F sin 60 ×l − F cos 30 ×2l = 0 × B 2 代入数据得 F = 45.77 kN B
解：2、取整体为研究对象
M
A
q
C B
30
o
F
60
o
D
∑F = 0
x
FAx − F cos 60 − F sin 30 = 0 B
■ 力系简化 ★ 力的平移定理 ★ 平面任意力系向面内一点简化 ★ 平面任意力系简化结果分析 ★ 合力矩定理 ★ 例题