空间和轴对称问题的有限单元法演示文稿

Ryp
y
p
Rzp
Rxp
x
Ryi
Rym
z
i
R zi
Rxi
Rzm m Rxm
Ryj
Rzj j Rxj
Rxi
Ryi
Rzi Rxj
Ryj
Re
Rzj
Rxm
Rym
Rzm
Rxp
Ryp
Rzp
第15页，共25页。
由集中力引起的等效节点载荷 Re N T P
由体积力引起的等效节点载荷 Re N T gdxdydz
0 Nm
uj wj
um
wm
其中形函数为 Ni r, z
Δ为截面三角形面积
1 2
ai
bir( i ,cji,zm
)
1 11
2
ri rj
zi zj
1 rm zm
ai rj zm rm z j bi z j zm ci rm rj
第21页，共25页。
5-3-4 单元的应变和应力
(i, j, m, p)
第8页，共25页。
同样，可以得到
v Nivi N jv j Nmvm N pvp w Niwi N j wj Nmwm N pwp
单元内任一点的位移可以写成如下形式：
f
Ni 0
0 Ni
0 0
Nj 0 0 Nj
0 0
Nm 0 0 Nm
0 0
Np 0 0 Np
Ni
1 6V
ai
bi x ci y
diz
1
N j 6V a j bj x c j y d j z
Nm
1 6V
am
bm x
cm
y
dmz
N p
1 6V
ap bp x cp y d p z
称为形函数，其系数是
第7页，共25页。
xj yj zj ai xm ym zm
A2di 0 A2bi
A1 1
A2
(1 2)
21
E 1 A3 361 1 2
第12页，共25页。
5-2-4 单元刚度矩阵
根据虚功原理可得
K e BT DBdV V
Ke可分成四行四列的子矩阵，其中每个子矩阵为三行三列
Kii
Ke
K
ji
K mi K pi
K ij K jj K mj K pj
0
0
e
0 0 Ni 0 0 N j 0 0 Nm 0 0 N p
形态矩阵N如下:
N Ni
Nj
Nm
N
p
Ni 0
0 Ni
0 Nj 0 0 0 Nj
0 0
Nm 0 0 Nm
0 0
Np 0 0 Np
0
0
0 0 Ni 0 0 N j 0 0 Nm 0 0 N p
第9页，共25页。
5-2-2 四面体单元的应变
的位移
第6页，共25页。
ui 1 2 xi 3 yi 4 zi u j 1 2 x j 3 y j 4 z j um 1 2 xm 3 ym 4 zm up 1 2 xp 3 yp 4 z p 解方程组，求得 1,2,3,4 ，代入第一式，整理后得到
其中
u Niui N ju j Nmum N pu p
K e BT DBdV V
其中V是环状单元的体积域，其微分为
dV 2 rdrdz
K e 2 BT DBrdrdz
式中Δ为单元 ijm 的面积。
z rj j
rm m
ri
i
o
r
z
j
m
i
o
r
第25页，共25页。
5-3-2 与平面问题的差异
l 轴对称问题采用极座标 r , θ, z
l 虽然物体上任一点用三个座标 r,θ，z 描述，但物体中无论应力σ、 位移 δ 都与θ无关，所以它只是 r ,z 的函数。
第17页，共25页。
因此轴对称问题也象平面问题一样，作为二维问题求解
l 平面问题的应变与轴对称问题的应变的不同
则应力为无穷大，这是不合理的，所以必须排除奇异性。因此
在式 f 中取 r 和 z 的平均值作为式 f 中的值
r 1 3
ri rj rm
z1 3
zi z j zm
则
f
i
ai r
bi
ci z r
第24页，共25页。
5-3-5 单元刚度矩阵
轴对称问题的三角形单元实际上代表一 个环状的单元体。因此，单元刚度矩阵
5-2-6 结构总体刚度方程
单元特性分析 → 建立单元刚度矩阵 单元载荷移植 → 建立节点载荷列阵 根据结构各节点的静力平衡条件，得出结构总体刚度方程。
R K
第16页，共25页。
§ 5- 3 轴对称问题的简单三角形单元
5 -3-1 研究对象 当弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外力都轴
对称于某一轴，则这种弹性体的应力分析问题称为轴对称应 力分析问题，在工程中如活塞，压力容器等。
D
T rz
式中，弹性矩阵为:
1
D
1
E(1
1
)
2
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1 2
2
1
第19页，共25页。
5 -3-3 形状函数
环形单元在子午面（通过对称轴的平
截面）上的节点位移
ui
wi
e
uj wj
um
wm
位移函数取为坐标的线性函数
式中，S称为应力矩阵。
第23页，共25页。
[Si]如下式所示
bi A1 fi
Si
D Bi
2 A3
A1bi
A1
bi
A2ci
fi fi
Aici
A1ci
ci A2bi
其中
A1
1
A2
1 2
21
(i , j, m)
A3
E(1 ) 4(1 )(1 2)
从 S 中可知应力与 f 有关，但有分母为零的情况，当 r =0
aj
bjr cjz
u j am
bmr cm z um
令
fi
ai r
bi
ci z r
第22页，共25页。
则
1 2
fiui
f juj
fmum
B e Bi Bj Bm e
[B] 可以分块
bi 0
Bi
1 2
fi 0
ci
0
ci bi
(i, j, m )
单元的应力
DB e S e
第11页，共25页。
5-2-3 四面体单元的应力
D DB e S e Si S j Sm S p e
bi A1ci A1di
A1bi
ci
A1di
Si
D Bi
6 A3 V
A1bi A2ci
A1ci A2bi
di 0
( i, j, m, p )
其中
0
A2di
A2ci
平面问题
轴对称问题
x y
xy
r
z
rz
由于轴对称问题的研究对象是一个回转体，当它的径向尺寸有变化
时，必然它的圆周大小也有变化。 εθ称为周向应变。
u r
第18页，共25页。
与应变分量相对应，轴对称问题的应力分量有
r , , z , rz ，应力矩阵 r z
表示轴对称问题应力应变之间关系的物理方程为
xp yp zp
1 yj zj bi 1 ym zm
1 yp zp
1 xj zj ci 1 xm zm
1 xp zp
1 xj yj di 1 xm ym
1 xp yp
V为四面体的体积，可用下式表达:
1 xi yi zi V 1 1 xj yj zj
6 1 xm ym zm 1 xp yp zp
u
x
v
x y
y
w
z xy
z
u
v
B e
Bi
Bj
Bm
Bp e
yz
zx
y x
v
w
z y
w x
u z
第10页，共25页。
其中
bi 0 0
0
ci
0
Bi
1 6V
0
ci
0 bi
di 0
0
di
ci
di 0 bi
( i, j, m, p )
Kim K jm K mm K pm
Kip
K jp
K mp K pp
第13页，共25页。
每个子矩阵按下式计算
Krs
A3 V
brbs A2
A1crbs
A1drbs
crcs drds A2brcs A2brds
A1brcs A2crbs
crcs A2 drds brbs
1 G
zx
把公式
G
2
E
1
代入虎克定律,
可得空间问题的弹性
方程
第3页，共25页。
矩阵表达式如下:

1
1
x
y
1
1 1
xzy
E 1 1 1 2
0
0
0
1 2
21
yz
zx
0
00
0
0
00
0
所以空间问题的弹性方程也可写成
1 2
21
0
1 2
21
D
第4页，共25页。
u
f
v
N
e
w
u 1 2 x 3 y 4 z v 5 6x 7 y 8z w 9 10 x 11 y 12 z
节点i, j, m及 p的坐标分别为(xi,yi,zi),(xj,yj,zj),(xm,ym,zm) 及 (xp,yp,zp)，把它们代入上式的第一式，得出各节点在x方向
A1drcs A2crds
A1brds A2drbs
A1crds A2drcs
drds A2 brbs crcs
(r=i, j,m,p) (s=i, j,m,p)
其中
A1
1
A2
(1 2)
21
E 1 A3 361 1 2
第14页，共25页。
5-2-5 载荷移置
单元上的节点力
u w
r, r,
z z
1 4
2r 5r
3z 6z
同理可求出 α1 , α2 , α3 , α4 ,α5 ,α6
z
rj
j
rm m
ri
i
o
r
z
j
m
i
o
r
第20页，共25页。
因此三角形环形单元的位移模式为
f
u w
Ni
0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
简写为
f N e
ui
wi
§ 5-2 空间问题的简单四面体单元
ui
单元编号按右手法则 i, j, m, p
vi
z
p
wi uj
单元的节点位移 δe
e
i j m
v
j
wj
um
i
m
p
vm
wm
j y
u
p
x
vp
wp
第5页，共25页。
5-2-1 位移函数
单元内任一点的位移 f 假定为座标的线性函数
其中
u
r
z
rz
r
u
r
w
z
u
w
1 2
bi
fi
0
ci
0 0 ci bi
bj fj 0 cj
0 0 cj bj
bm fm 0 cm
0
0
e
cm bm
z r
u r
1 r
Niui
1 r
Niui N ju j Nmum
1 2r
ai
bi r
ci z ui
空间和轴对称问题的有限单元法演 示文稿
第1页，共25页。
（优选）空间和轴对称问题的有限 单元法
第2页，共25页。
5-1-4 弹性力学空间问题的弹性方程
根据六个虎克定律的公式求出六个应力分量表达式并用
矩阵表示
x
1 E
x
y z
y
1 E
y
z
x
xy
1 G
xy
yz
1
G
yz
z
1 E
z
x y
zx