六七八数理统计详细答案

第六、七、八章数理统计
（抽样分布、参数估计、假设检验）
一、思考题
1．统计抽样工作中，得到的都是具体数值，即样本值。

为什么说样本是随机变量？
2．参数的区间估计中，参数与置信区间谁是随机的？
3．假设检验中两类错误的关系如何？要想同时减少犯两类错误的概率，办法是什么？
4．在单边检验问题中，建立原假设与备择假设的原则是什么？
二、单项选择题
1. 设是来自正态总体的一个简单随机样本，为样本均值，则（）。

（A）> （B）< （C）≥（D）≤
2. 设是来自正态总体的一个简单随机样本，和S2分别为样本均值和样本方差，则～（）。

（A）（B）（C） (D)
3. 设是来自正态总体N(0,1)的一个样本，则下列统计量中，服从自由度为n-1的分布的是
（）。

（A）（B）S2（C）(n-1) （D）(n-1)S2
4. 设是来自正态总体的一个样本，则下列统计量中，服从自由度为n-1的t分布的是
（）。

（A）（B）（C）（D）
5. 设随机变量，，则（）。

（A）（B）（C）（D）
6. 总体均值μ的95%置信区间的意义是指这个区间（）。

（A）平均含总体95%的值（B）平均含样本的95﹪的值
（C）有95%的可能含μ的真值（D）有95%的可能含样本均值
7. 设是来自总体X的样本，E(X)= μ，D(X)=σ2，则可以作为σ2的无偏估计量的是（）。

（A）当μ为已知时，（B）当μ为已知时，
（C）当μ为未知时，（D）当μ为未知时，
8. 设和是总体参数的两个估计量，说比更有效，是指（）。

（A）（B）
（C）（D）
9．设总体X服从正态分布，其中σ2已知，当样本容量固定时，均值μ的置信区间长度L与置信水平1－α的关系是（）
（A）当1－α减小时，L变小（B）当1－α减小时，L增大
（C）当1－α减小时，L不变（D）当1－α减小时，L增减不定
10. 设是来自总体X的样本，D(X)=σ2，样本方差为S2，则（）
（A）S是σ的矩估计量（B）S是σ的极大似然估计量
（C）S是σ的无偏估计量（D）S是σ的一致估计量
11．设是参数的无偏估计量，且，则（）是的无偏估计量。

（A）一定（B）不一定
（C）一定不（D）可能
12. 从正态总体中抽取容量为9的样本，测得样本均值=15，样本方差s2=0.42，σ2未知时，
总体期望μ的置信度为0.95的单侧置信下限为（）
（A） 15-(0.4/3)1.8595 （B）15-(0.4/3)1.8331
（C） 15-(0.16/9)1.8595 （D）15-(0.16/9)1.8331
13．对正态总体的数学期望μ进行假设检验。

如果在显著性水平0.05下，接受原假设H o: μ=μo，那么在显著性水平α=0.01下（）。

（A）必接受H o（B）可能接受，也可能拒绝H o
（C）必拒绝H o（D）不接受，也不拒绝H o
三、填空题
1．设为来自总体X～的一个简单随机样本，则
服从的分布为。

(注明参数)
2．设总体X的密度函数为，为X的一个简单随机样本，S2为样本方差，则E(S2)= 。

3．设是来自总体的一个简单随机样本，是样本均值，
则＝，＝。

4．设总体X的密度函数为，为来自该总体的一个简单随机样本，则参数的矩估计量为。

5．已知,是未知参数的两个无偏估计，且与不相关，。

如果也是的无偏估计，且是,的所有同类型线性组合中方差最小的，则a= ，b= 。

四、计算题
1. 设为正态总体的一个样本，。

求（1）；（2）所服从的分布。

2. 设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0,1)的一个样本，令Y=(X1+X2)2+(X3+X4)2，若统计量
CY服从，求常数C。

3. 设为正态总体的一个样本，为使，求样本容量n的取值。

4. 设是正态总体的一个样本，求概率
（1）；
（2）
5. 设从正态总体抽取一个容量为9的样本，测算得，S2=1。

（1）若总体方差，求总体期望的置信度为0.95的置信区间
（2）若总体方差未知，求的置信度为0.95的置信区间
6. 设总体X～，为使的置信度为0.95的置区间的长度不大于0.16，求抽取的样本的容量n
的取值范围。

7. 设总体X的密度函数为，其中未知参数。

为X的一个样本，求的矩估计量。

8. 设总体X的密度函数为，其中未知参数。

为X的一个样本。

（1）求的最大似然估计量；（2）证明为的无偏估计
（3）求。

9. 设总体X的概率密度为，其中是未知参数。

从总体X中抽取简单随机样本，记=min{}。

（1）求总体X的分布函数；
（2）求统计量的分布函数；
（3）如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性。

10．设总体的概率密度为
其中（0<<1）是未知参数。

为来自总体的简单随机样本，记N为样本值中小于1的个数。

求的最大似然估计。

11．设总体X的概率密度函数为
其中参数a,b均未知且b>0，为来自总体的简单随机样本。

求参数a,b的最大似然估计量。

12．假设0.50，1.25，0.80，2.00是来自总体X的简单随机样本。

已知服从正态分布，（1）求X的数学期望E(X)（记E(X)为b）；（2）求的置信度为0.95的置信区间；
（3）利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。

13. 设是取自均匀分布总体的一个样本，若把，分别作为的估计量，问是否分别为的无偏估计量？如何修正，才能得到的无偏估计。

14. 某溶液中的水分服从正态分布，总体均值为。

现抽取一容量为10的样本，测算得，。

在水平下，检验假设；。

15. 酒厂用自动装瓶机装酒，每瓶规定重量为500克，标准差不超过10克。

某天取样9瓶，测算得，。

假设瓶装酒的重量X服从正态分布。

问这天机器工作是否正常。

（）
16. 设总体服从0－1分布，参数未知，是取自此总体的一个样本，为样本均值，则对每个，样本容量应取多大才能使。

17. 设样本为总体的样本，其中未知。

设随机变量是关于的置信度为的置信区间的长度，求。

18. 设总体X服从二项分布b(n,p)。

检验假设H0:p=0.6，H1:p≠0.6，检验的拒绝域取为。

设n=10，C1=1，C2=9，求显著性水平和p的真值为0.3时的第二类错误的概率。

19. 关于正态总体的数学期望有如下二者必具其一的假设，H0: μ=0和H1: μ＝1。

考虑检验规则：当时拒绝H0接受H1，其中，而是来自总体X的一个样本。

求犯第一类错误的概率α和犯第二类错误的概率β。

五、证明题
1．设为正态总体的一个样本，，，试证统计量～。

2. 设为正态总体的一个样本，试证对任意固定的，
是的无偏估计，其中是标准正态分布函数。

3. 设为来自正态总体的一个简单随机样本，
，，，。

证明：统计量服从自由度为2的分布。

第六、七、八章数理统计参考答案
（抽样分布、参数估计、假设检验）
二、思考题
1．统计抽样工作中，得到的都是具体数值，即样本值。

为什么说样本是随机变量？
因为总体有各种取值，统计抽样工作中，得到的具体数值只是某一个数值被取到，或
者说是某一个结果发生，实际样本同样会有各种取值且抽取之前不清楚哪一个值被抽
到，所以说样本是随机变量。

2．参数的区间估计中，参数与置信区间谁是随机的？
置信区间是随机的。

3．假设检验中两类错误的关系如何？要想同时减少犯两类错误的概率，办法是什么？
设犯第一类错误，即原假设成立而放弃原假设，也即弃真的概率为，犯第二类错误，即原假设不成立而接受原假设，也即取伪的概率为，在样本容量不变的情况下，减小
则加大，加大则减小。

要想同时减小犯两类错误的概率，应该加大样本容量。

4．在单边检验问题中，建立原假设与备择假设的原则是什么？
从题目的问法可以直接得到一个假设，其对立的论断为另一个假设。

因为两个假设中有且仅有一个含等号，我们总是将含等号的假设作为原假设，不含等号的作为备择假设，这样当原假设中等号成立时，就可以确定检验统计量的分布了。

二、选择题
1. （B）∵，
，
当n>1，显然。

结论：X～N（μ，σ2），在μ左右同样距离，方差小者概率大。

2. （C）设, Y i～N(0,1)，且Y1,…,Y n相互独立,∴.
3. （D）
4. （A）, , ,
与S2相互独立∴
5．（C）设U～N(0,1), V～,则 .
（注）
6.（C）
7.（A）∵
8.（D）比较有效性的前提是都是无偏估计。

9.（A）σ2已知时，μ的置信区间长度，当1－α减小时，α增大，而分位点变小，所以L变小。

10.(D) 因为S2不是σ2的矩估计量，所以S不是σ的矩估计量；最大似然估计量与具体分布有关，不能肯定S是σ的最大似然估计量；虽然S2是σ2的无偏估计量，但S不是σ的无偏估计量；S2依概率收敛到σ2，由依概率收敛的性质，S依概率收敛到σ，从而S是σ的一致估计量。

11.(C) 因为，所以一定不是的无偏估计量。

12.(A)
13.(A) α是犯第一类错误的概率，即拒真的概率，α越小，越不容易拒绝H0，故必接受H o。

三、填空题
1． F (5，n-5) 。

2． 2 。

提示：可用函数，性质
3．n ，n/5 。

4．。

5. a=0.2，b＝0.8. 因为是的无偏估计，则，
所以。

由与不相关，计算
求得极小值点为a=0.2，则b＝0.8。

四、计算题
1.
，，与X n+1相互独立，∴
.
2. ，，同理
∴～∴
3.
，，，∴至少应取16
4.，
5.（1）
（2）
6. 置信区间长，
∴n至少取25
7. 解
∴的矩估计
8.解（1）样本的似然函数为，
取对数，
令，得，
所以为的最大似然估计量。

（2）证明：因为，
所以为的无偏估计。

（3）因为，
而，
及，
所以，得。

第（2）、（3）问的解法2：可直接求|X i|即|X|的分布，令Y=|X|，先求其分布函数，，
求导得概率密度函数，
所以，即Y服从参数为θ的指数分布，
，。

9.解 (1) 当
∴
(2) 的值域为（, 对
∴
(3)
10．解：对样本值按照<1或者≥1进行分组：，。

样本的似然函数为，，，，，所以。

11. 解：样本的似然函数为。

(*)
取自然对数
令得。

由于需从似然函数本身出发找a的最大似然估计。

由(*)知，固定b，要使达到最大，a应该取最大值，由于所以，当时，达到最大，故a 的最大似然估计值为。

综上，a ,b的最大似然估计量分别为，。

12. 解：（1）Y的密度为，于是
（2）因为，则的置信度为0.95的置信区间为，
计算得，
于是的置信度为0.95的置信区间是(-0.98,0.98)。

(3) 由（2）知，则，
由的单调递增性知，因此b的置信度为0.95的置信区间为。

13．解：设总体的密度为，其分布函数是
，则的密度为
，
的密度为
由此可知，，不是，的无偏估计。

为得到无偏估计可作如下修正：
从可得，将其代入中得：
所以
又，从而＝
所以与的无偏估计分别为：，
14.解：设，
当H0真时，
对于,查得临界值,得拒绝域为|t|≤-1.8331
计算
∴在下，接受H0，认为.
15.解：（1）设，
当时，检验统计量，
对于，拒绝域为，
计算，没有落入拒绝域，
所以不拒绝H0，认为与500没有显著性差异。

（2）设，
当时，检验统计量，
对于，拒绝域为，
计算，落入拒绝域，
所以拒绝H0，认为标准差已超过10克。

综上，认为机器工作不正常。

16. 解： , ，若为未知数，
,由此
要对每一个，上述不等式都成立，只要求值使最大，
显然时，最大，所以当时，对每一个不等式均能成立。

17. 解：当未知时，的置信度为的置信区间为，区间的长度，所以。

由于，从而＝＝。

18. 解：n=10，当H0真时，X～b(10，0.6)
（1）
（2）当H0不真时，X～b(10，0.3)
19. 解：当H0为真时，μ=0，此时，有，
所以α＝P{拒绝H0|H0为真}=P{|μ=0}
＝。

当H0不真时，μ=1，此时，有，
所以β＝P{不拒绝H0|H0不真}＝P{|μ=1}
＝。

四、证明题
1、证明，，与X n+1相互独立
∴
与及均独立，∴与独立。

∴
2、证：,…,)=＝，
所以是的无偏估计。

3、证：设（未知），显然，，，
可见，由于与独立，
＝, 从而
由正态总体样本方差的性质知。

又由于与, 以及与独立，可见与独立，于是由服从分布随机变量的结构知
＝服从自由度为2的分布。