线性变换习题

第四章 线性变换
习题精解
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3） 在P 3
中，A
),,(),,(2
33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3
中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；
5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f
6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=
8） 在P n
n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α.
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx
),,2()
,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-=
= k A )(α
故A 是P 3
上的线性变换.
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令
)()()(x g x f x u +=则
A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换.
6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.
A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )
A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7)不是.例如取a=1,k=I,则 A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)
8)是.因任取二矩阵Y X ,n n P ⨯∈,则
A (=+=+=+BYC BXC C Y X
B Y X )()A X +A Y
A (k X )=k BXC k kX
B ==)()(A X 故A 是n n P ⨯上的线性变换.
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明:
A 4=
B 4=
C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2 并检验(AB )2=A 2B 2
是否成立. 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为
A a=(x,-z,y), A 2
a=(x,-y,-z)
A 3a=(x,z,-y), A 4
a=(x,y,z)
B a=(z,y,-x), B 2
a=(-x,y,-z)
B 3a=(-z,y,x), B 4
a=(x,y,z)
C a=(-y,x,z), C 2
a=(-x,-y,z)
C 3a=(y,-x,z), C 4
a=(x,y,z) 所以
A 4=
B 4=
C 4
=E 2) 因为
AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB ≠BA 3)因为
A 2
B 2(a)=A 2
(-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2A 2(a)=B 2
(x,-y,-z)=(-x,-y,z) 所以
A 2
B 2=B 2A 2
3) 因为
(AB )2
(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x) A 2B 2
(a)=(-x,-y,z) 所以
(AB )2≠A 2B 2
3.在P[x] 中,A '
)(f x f =),(x B )()(x xf x f = 证明:AB-BA=E
证 任取∈)(x f P[x],则有
(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'
xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E
4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明: A k B-BA k =k A 1-k (k>1) 证 采用数学归纳法. 当k=2时
A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A 结论成立.
归纳假设m k =时结论成立,即A m B-BA m =m A 1-m .则当1+=m k 时,有
A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A
1
-m A=)1(+m A m
即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.
证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A
1
-.
若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A 1
-,有a=b,这与条件矛盾.
其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1
-b=a 即可.
因此,A 是一个双射.
6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。

证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关. 证 因
A (1ε,2ε, ,n ε)=(A 1ε,A 2ε, ,A n ε)=(1ε,2ε, ,n ε)A
故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆,而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关.故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关. 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵;
2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影,求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵;
3) 在空间P [x]n 中,设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→ 试求A 在基i ε=!
1
)1()1(i i x x x +-- (I=1,2, ,n-1) 下的矩阵A;
4) 六个函数 1ε=e ax cos bx ,2ε=e ax
sin bx
3ε=x e ax cos bx ,4ε=x e ax sin bx 1ε=22
1x e ax cos bx ,1ε=21
e ax 2x sin bx
的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D 在基i ε(i=1,2, ,6)下的矩阵;
5) 已知P 3
中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-121011101求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵; 6) 在P 3中,A 定义如下:
⎪⎩⎪
⎨⎧--=-=-=)9,1,5()6,1,0()
3,0,5(3
21ηηηA A A 其中
⎪⎩⎪
⎨⎧-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(3
21ηηη 求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵; 7) 同上,求A 在1η,2η,3η下的矩阵. 解 1)
A 1ε=(2,0,1)=21ε+3ε
A 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε A 3ε=(0,1,0)= 2ε
故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-001110012
2）取1ε=（1，0），2ε=（0，1）则A 1ε=2
1
1ε+212ε，
A 2ε=
2
1
1ε+212ε
故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2121212
1
又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛10
00，另外，（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=
2
1
1ε+212ε
所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
210210
， 3）因为 )!
1()]
2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n εεεε ，所以A 0110=-=ε A 01)1(εε=-+=x x A )!
1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=
-n n x x x n n x x x n ε
=
)!
1()]
3([)1(----n n x x x {)]2([)1(---+n x x }
=2-n ε
，所以A 在基0ε,1ε, ,1-n ε下的矩阵为A =⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛011010 ，
4）因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε, D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε
，所以D 在给定基下的矩阵为D =⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---00
0000010000100
001000
01a b b a a
b b a a b b a
， 5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛--111101
011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，
故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为
B =X 1
-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101
011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--203022211. 6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--012110301，
所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--012110301,
但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----963110505故
A (1ε,2ε，3ε)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--0121103011
-
=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛----963110505⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---717
172717672
737371 =(1ε,2ε，3ε)⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----7247
187
27727574
72072075 7）因为(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛--0121103011
-
所以A (1η,2η,3η)=(1η,2η,3η)⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛--0121103011
-⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----963110505 =(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---011101532。

8．在P
2
2⨯中定义线性变换A
1
(X )=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛d c b a X, A 2
(X )=X ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛d c b a , A 2
(X )=
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a X ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛d c b a , 求A 1, A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵。

解 因
A 1E 11=a E 11+c E 12, A 1E 12=a E 12+c E 22, A 1E 21=b E 11+d E 21, A 1E 22= b E 21+d E 22, 故A 1在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为
A 1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛d c d c b a b
a 0
0000000 又因
A 2E 11=a E 11+b E 12, A 2E 12= c E 11+d E 12, A 2E 21= a E 21+b E 22, A 2E 22= c E 21+d E 22, 故A 2在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为
A 2=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛d b c a d b c
a 00000000
又因
A 3E 11= a 2
E 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22 A 3E 12= ac E 11+ad E 12+c 2
E 21+cd E 22 A 3E 21= ab E 11+b 2
E 12+ad E 21+bd E 22 A 3E 22 = bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2
E 22 故A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=222
23d bd cd bc cd ad c ac bd b
ad ab bc ab ac a A
9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为
A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛3332
31
232221
131211a a a a a a a a a 1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵; 2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵,其中且; 3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵. 解 1)因
A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε A 2ε=+332εa +222εa 112εa A 1ε=+331εa +221εa 111εa 故A 在基123,,εεε下的矩阵为
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1112
13
212223
3132333a a a a a a a a a B 2)因
A 1ε=111εa +
+)(221
εk k
a 331εa A (k 2ε)=k 112εa +)(222εk a +332εka A 3ε=13a 1ε+k
a 23
(2εk )+333εa 故A 在321,,εεεk 下的矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=3332
31232221
1312112a ka a k a a k a
a ka a B 3)因
A (21εε+)=(1211a a +)(31εε+)+(12112221a a a a --+)2ε+(3231a a +)3ε
A 2ε=12a (21εε+)+(1222a a -)2ε+332εa A 3ε=13a (21εε+)+(1323a a -)2ε+333εa
故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+----+-=3332
3231132312
2212
11222113
1212113a a a a a a a a a a a a a a a a B 10. 设A 是线性空间V 上的线性变换,如果A
ε1
-k ≠0,但A εk =0,求证
ε,A ε,, A ε1-k (k >0)线性无关.
证 设有线性关系
01
21=+++-εεεk k A l A l l
用A 1-k 作用于上式,得 1l A
ε1
-k =0(因A 0=εn 对一切n k ≥均成立) 又因为A
ε1
-k ≠0,所以01=l ,于是有
01232=+++-εεεk k A l A l A l
再用A
2
-k 作用之,得2l A
ε1
-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得
021====k l l l
即证ε,A ε,, A ε1
-k (k >0)线性无关.
11.在n 维线性空间中,设有线性变换A 与向量ε使得A
ε1
-n 0≠但,求证A 在某组下的矩阵是
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛0101010
证 由上题知, ε,A ε,A ε2,, A ε1-n 线性无关,故ε,A ε,A ε2,, A ε1
-n 为线性空间
V 的一组基.又因为
.
A ⋅+⋅+⋅=010εεεA A ε2+⋅+0 A
ε1
-n
A (A ε)=ε⋅0+⋅0 A ε+⋅1 A ε2
+⋅+0 A ε1
-n
………………………………………………… A （A
ε1
-n ）=ε⋅0+⋅0 A ε+⋅0 A ε2+⋅+0 A ε1-n
故A 在这组基下的矩阵为
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛0101010
12． 设V 是数域P 上的维线性空间，证明：V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘
变换.
证 因为在某组确定的基下,线性变换与n 级方阵的对应是双射,而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.
13. A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换,证明：如果A 在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换.
证 设A 在基下n εεε,,,21 的矩阵为A=(ij a ),只要证明A 为数量矩阵即可.设X 为任一非退化方阵,且
(n ηηη,,21)=(n εεε,,,21 )X
则n ηηη,,21也是V 的一组基,且A 在这组基下的矩阵是AX X 1
-,从而即有AX=XA,这说明A
与一切非退化矩阵可交换. 若取
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=n X 211
则由A 1X =1X A 知ij a =0(i ≠j),即得
A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛nn a a a
22
11
再取
.
2X =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0001100001000010
由A 2X =2X A,可得 nn a a a === 2211
故A 为数量矩阵,从而A 为数乘变换.
14.设321,,εεε,4ε是四维线性空间V 的一组基,已知线性变换A 在这组基下的矩阵为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛---21225521312112
01
1) 求A 在基42112εεη+-=,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下 的矩阵; 2) 求A 的核与值域;
3) 在A 的核中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵; 4) 在A 的值域中选一组基, 把它扩充为V 的一组基, 并求A 在这组基下的矩阵. 解 1)由题设,知
(4321,,,ηηηη)=(321,,εεε,4ε)⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛---21110110003
20001 故A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为
B=
AX
X 1-=
1
2111011000320001
-⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---21225521312112
01
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---2111011000320001
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛-----871
03403403163831031034322332
2) 先求A
1
-(0).设∈ξ A
1
-(0),它在321,,εεε,4ε下的坐标为(1χ,432,,χχχ),且在A ε
.
在321,,εεε,4ε下的坐标为(0,0,0,0,),则
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---21225521312112
01⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x =⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛0000
因rank(A)=2,故由 ⎩⎨
⎧
=+++-=++032024321431x x x x x x x
可求得基础解系为 X 1=)0,1,2
3
,2('--,X 2=)1,0,2,1('--
若令
a 1=(321,,εεε,4ε)X 1,a 2=(321,,εεε,4ε)X 2 则a 1, a 2即为A 1
-(0)的一组基,所以
A
1-(0)=L(a 1, a 2)
再求A 的值域A V.因为 A 1ε=43212εεεε++- A 2ε=432222εεε-+ A 3ε=432152εεεε+++ A 4ε3ε=4321253εεεε-++
因rank(A)=2,故A 1ε ,A 2ε, A 3ε, A 4ε发秩也为2,且A 1ε ,A 2ε线性无关,故A 1ε ,A 2
ε可组成A V 的基,从而
A V=L(A 1ε ,A 2ε) 4) 由2)知a 1, a 2是A
1
-(0)的一组基,且知,1ε2ε, a 1, a 2是V 的一组基,又
(,1ε2ε, a 1, a 2)=(321,,εεε,4ε)⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--
-10
00010022310
120
1 故A 在基,1ε2ε, a 1, a 2下的矩阵为
.
B=
1
10
0010022310120
1-⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--
-⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---21225521312112
01
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--
-10
00010022310120
1
=⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-0022002100129002
5
4) 由2)知A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+ 易知A 1ε, A 2ε,43,εε是V 的一组基,且
(A 1ε, A 2ε,43,εε)=(321,,εεε,4ε)⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛--10210121002
10001
故A 在基A 1ε, A 2ε,43,εε下的矩阵为
C=
1
102101210021000
1
-⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---21225521312112
01
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--102
10121
002
10001 =⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛00000000223
1291225
15. 给定P 3
的两组基
⎪⎩⎪
⎨⎧===)1,1,1()0,1,2()1,0,1(3
21εεε ⎪⎩⎪
⎨⎧--=-=-=)1,1,2()1,2,2()1,2,1(3
21ηηη 定义线性变换A : A i ε=i η(i =1,2,3)
1) 写出由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵;
2) 写出在基321,,εεε下的矩阵; 3) 写出在基321,,ηηη下的矩阵. 解 1)由
(321,,ηηη)=(321,,εεε)X
引入P 3的一组基1e =(1,0,0), 2e =(0,1,0), 3e =(0,0,1),则
(321,,εεε)=(1e ,2e ,3e )⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛101110121=(1e ,2e ,3e )A
所以
(321,,ηηη)=(1e ,2e ,3e )⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----111122
221
=(1e ,2e ,3e )B=(1e ,2e ,3e )A 1-B 故由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵为
X= A 1
-B=1
101110121-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----111122
221
=⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
---252112323123232 2)因
A (321,,εεε)=(321,,ηηη)=(321,,εεε)⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
--
-252112323
1
23232 故A 在基321,,εεε下的矩阵为
A=⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
--
-252112323
123232 4) 因
A (321,,ηηη)=A (321,,εεε)X=(321,,ηηη)X
故A 在基321,,ηηη下的矩阵仍为X.
16.证明
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛n λλλ
2
1与⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛n i i
i λλλ
2
1相似,其中(n i i i ,,,21 )是1,2,n , 的一个排列.
证 设有线性变换A ,使
A )21,,,(n εεε =)21,,,(n εεε ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛n λλλ
2
1=)21,,,(n εεε D 1 则A ( ,,21i i εε,n i ε)=( ,,21i i εε,n i ε)⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛n i i
i λλλ
2
1=( ,,21i i εε,n i ε)D 2 于是D 1与D 2为同一线性变换A 在两组不同基下的矩阵,故⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛n λλλ
2
1
与⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛n i i
i λλλ
2
1相似. 17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似. 证 因A 可逆,故A
1
-存在,从而A
1
-(AB)A=( A
1
-A)BA=BA
所以AB 与BA 相似.
18.如果A 与B 相似,C 与D 相似,证明:.0000相似与⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛D B B A 证 由已知,可设B=X 1
-AX, D=Y 1
-CY , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100Y X ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛C A 00⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Y X
00=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛D B 00 这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100Y X =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛Y X
001
-
故⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛D B 00相似. 19设A,B 是线性变换, A 2= A, B 2=B 证明:
1) 如果(A+B )2 =A+B 那么AB=0; 2) 如果, AB=BA 那么(A+B-AB)2=A+B-AB.
证 1)因为A 2= A, B 2=B, (A+B )2 =A+B 由(A+B )2 =(A+B) (A+B)= A 2 +AB+BA+ B 2, 故A+B= A +AB+BA+ B, 即AB+BA=0.
又2AB=AB+AB=AB-BA= A 2B-B 2A= A 2
B+ABA= A (AB+BA)= A0=0 所以AB=0.
2) 因为A 2= A, B 2
=B, AB=BA 所以(A+B-AB)2
= (A+B-AB) (A+B-AB)
= A 2+BA- AB A+ AB+ B 2- AB 2-A 2
B-BAB +ABAB = A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB = A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB = A+B- AB
20. 设V 是数域P 上维线性空间,证明:由V 的全体变换组成的线性空间是2
n 维的.
证 .21221111维的是的一组基，是，，，，，，，
因n P P E E E E E E n n n
n nn n n n ⨯⨯
所以V 的全体线性变换与n
n P
⨯同构,故V 的全体线性变换组成的线性空间是2
n 维的.
21. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换,证明:
3) 在][x P 中有一次数2
n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f ; 4) 如
果
)(,0)(==A g A f ,那么
)(=A d ,这里
.)()()(的最大公因式与是x g x f x d
5) A 可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式.0)()(=A f x f 使
证 1)因为P 上的n 维线性空间V 的线性变换组成的线性空间是2n 维的,所以2
n +1个线性变换A
2
n ,A
1
2-n ,、、、,A,E
一定线性相关,即存在一组不全为零的数011,,,22a a a a n n -使
2n a A 2n +12-n a A 1
2
-n
+1a A+0a E=0
令
11
12
22
2)(a x a x a x a x f n
n n n +++=--,且
.),,2,1,0(22n x f n i a i ≤∂=））（（不全为零，
这就是说,在][x P 中存在一次数2
n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f .即证. 2)由题设知)()()()()(x g x v x f x u x d +=因为0)(,0)(==A g A f 所以)()()()()(A g A v A f A u A d +==0
3)必要性.由1)知,在][x P 中存在一次数2
n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f .即
2n a A 2n +12-n a A 1
2
-n
+1a A+0a E=0
若则,00≠a 011
12
22
2)(a x a x
a x a x f n n n n +++=--即为所求.
若
,
00=a 最小的那一个，则是不为零的系数中下标不全为零，令因j i a n i a ),,2,1,0(2 =
2n a A 2
n +12-n a A 1
2
-n
+1a A+0a E=0因 A 可逆，故存在
右乘等式两边也存在，用1111)()()(,----=j j j A A A A ，
得2n a A
j
n -2+12-n a A
1
2--j n +…+j a E=0
令=)(x f 2n a j
n x
-2
+12-n a 1
2
--j n
x
+…+)0(≠j j a a ，即)(x f 为所求.
充分性.设有一常数项不为零的多项式
011
12
222)(a x a x a x a x f n
n n n +++=--)0(0≠a 使0)(=A f
即0011
1=++++--E a A a A
a A a m m m m 所以E a A a A
a A a m m m m 011
1-=+++-- 于是E A E a A a a m m =⋅++-
-)(1
110
又⋅A E E a A a a m m =++-
-)(1
110
故A 可逆.
22. 如果s A A A ,,,21 是线性空间V 的个两两不同的线性变换,那么在V 中必存在向量a ,使a A a A a A s ,,,21 也两两不同. 证 令
V }{a A A V j
i
ij =∈=
ααα, (s j i ,2,1,=)
因为
ij j i V A A ∈==0,000
故`ij V 非空.又因为s A A A ,,,21 两两不同,所以对于每两个j i A A ,而言,总存在一个
向量β,使ββj i A A ≠
故ij V 是V 的非空真子集 设则,,ij V ∈βα
ββααj i i A A A A ==,
于是
)()(βαβα+=+j i A A
即ij V ∈+βα
又 )()(ααααk A kA kA k A j j i i === 于是ij V k ∈α 故ij V 是V 的真子空间.
1)如果ij V 都是V 的非平凡子空间,在V 中至少有一个向量不属于所有的ij V ,设
),,,2,1,(s j i V ij =∉α则
ααj i A A ≠(s j i ,,2,1, =)
即证: 存在向量α,使αααs A A A ,,,21 两两不同. 2)如果{ij V }中有V 的平凡子空间0
0j i V ,则00j i V 只能是零空间.对于这种00j i V ,只要取,
0≠α
就有ααj i A A ≠,故这样的00j i V 可以去掉.因而问题可归于1),即知也存在向量α使
αααs A A A ,,,21 两两不同.
23
:
,.,证明的子空间中向量的像组成表示由的子空间是的线性变换是有限维线性空间设W AW V W V A
)dim ())0(dim ()dim (1W W A AW =⋂+-
证 因为故上的线形变换也是,W A W A ⋂-)0(1是.的子空间
W 设W A ⋂-)0(1
的维数 为r,W 的维数为s.
今在W A ⋂-)0(1
中取一组基,,,21r εεε 把它扩充成W 的一组基,,,21r εεε s r εε ,1+, 则),,,,(121s r r A A A A A L AW εεεεε +==),(1s r A A L εε +
且s r A A εε,1 +线性无关.所以)dim ())0(dim ()dim (1
W W A AW =⋂+- 24.设:,,证明的两个线性变换维线性空间是V n B A
rank (AB )rank ≥(A )+n B rank -)(
证 在分别为在这组基下对应的矩阵设线性变换中取一组基B A V ,, A,B,则线性变换对应的矩阵为AB AB.
因为B A ,线性变换,的秩分别等于矩阵AB A,B,AB 的秩,所以对于矩阵A,B,AB 有
rank (AB)rank ≥(A)+n rank -)B (
故对于B A ,线性变换,也有AB
rank (AB )rank ≥(A )+n B rank -)(
25.设:,,2
2
证明B B A A ==
1);,A BA B AB B A ==是有相同值域的充要条件与 2) .,B BA A AB B A ==有相同的核充要条件是与 证1)必要性.若
βαβααA B V AV BV B V BV AV =∈=∈∈=使故存在向量则任取,,,, 于是αβββB A A AB ===2
ββα=A 故有的任意性由,
同理可证 A A =β
充分性.若=AB B ,A BA =,任取则有,V AV Aa ⊂∈
BV Aa B BAa Aa ∈==)(
于是BV AV ⊂
同理可证AV BV ⊂,故BV AV =
2)必要性.若),0()0(1
1--=B A ,对任意V ∈β,作向量ββA -,因为
A (ββA -)==-ββ2A A βA -βA =0
所以 ββA -∈),0()0(11--=B A
又B ()ββA -=0=-ββBA B
所以ββBA B =,由β的任意性,故有BA B =
作向量ββA -,则
)(ββB B -=02=-=-ββββB B B B
所以
∈-ββB )0()0(1
1--=A B
又..,,,0)(即证必要性故有的任意性由所以AB A AB A B A ===-βββββ 充分性.若由任取),0(.,1-∈==A a BA B AB A 0)0()()(====B A B BA B ααα
知从而),0(1
-∈B α
)0()0(11--⊂B A
同理可证
)0()0(11--⊂A B
即证 )0()0(1
1--=B A。