沪科版八年级上册数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 三角形内角和定理及推论
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内角和为________；
540°
3 4
720°
(2)如图，从n边形的一个顶点可以引出________条对角(线n－，3把) n边形分成 ________个三角形. n边形的内角和为______________(用含n的代数式表示)； (n－2) (n－2)·180°
(3)请根据上面你所找到的规律计算十二边形的内角和． 解：十二边形的内角和为(12－2)×180°＝1800°.
沪科版八年级上
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 三命题与证明 第3课时三角形内角和定理及推论
核心必知 1 180° 2 互余 3 互余
提示：点击 进入习题
1B 2C 3B 4 见习题 5C
答案显示
6 见习题 7 见习题 8B 9 50°或80° 10 见习题
11 见习题 12 见习题 13 见习题
证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝90°－∠B＝28°， ∴∠FCD＝∠ECB－∠BCD＝16°. ∵∠CDF＝74°， ∴∠CFD＝180°－∠FCD－∠CDF＝90°， ∴△CFD是直角三角形．
12．如图，有一艘渔船上午9时在A处沿正东方向航行，在A处测得灯塔C在北 偏东60°方向上，渔船行驶2h到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东15° 方向上，试求△ABC各内角的度数．
10．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝46°，∠ACB＝80°，延长BC至D，使 ∠CAD＝∠D，求∠BAD的度数．
解：∵∠ACB＝80°， ∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－80°＝100°. 又∵∠CAD＝∠D，∠ACD＋∠CAD＋∠D＝180°， ∴∠CAD＝∠D＝40°. 在△ABD中，∠BAD＝180°－∠ABD－∠D＝ 180°－46°－40°＝94°.
2．【2020·锦州】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分
∠ACB，则∠ADC的度数是( )
A．80° B．90°
C
C．100°
D．110°
3．【2020·吉林】将一副三角板按如图所示的方式摆放， 则∠α的大小为( B )
A．85° B．75° C．65° D．60°
4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为点D，E， ∠AFD＝158°，求∠EDF的度数．
A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2 C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)
【点拨】∵在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，在△A′DE中，∠A′ ＋∠A′DE＋∠A′ED＝180°， ∴∠A＋∠A′＋∠ADA′＋∠AEA′＝360°. ∴2∠A＋180°－∠2＋180°－∠1＝360°. ∴2∠A＝∠1＋∠2.故选B.
解：∵FD⊥BC，∴∠FDC＝90°. ∵∠DFC＝180°－∠AFD＝180°－158°＝22°， ∴∠C＝180°－∠FDC－∠DFC＝180°－90°－22°＝68°. ∵∠B＝∠C，∴∠B＝68°. 在△DBE中，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°. ∴∠BDE＝180°－∠DEB－∠B＝180°－90°－68°＝22°. ∴∠EDF＝180°－∠BDE－∠FDC＝180°－22°－90°＝68°.
(1)如图，从四边形的一个顶点可以引出1条对角线，把四边形分成2个三角形，则四
边形的内角和为________；从五边形的一个顶点可以引出2条对角线，把五边 形分成________个三角形，则五边形的内角和为______3_6_0；°从六边形的一个顶
点可以引出________条对角线，把六边形分成________个三角形，则六边形的 3
【答案】B
9．【亳州蒙城一中期中】已知等腰三角形中有一个内角为80°，则该等腰三
角形的底角为_________________．
50°或80°
【点拨】由于不确定80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的 角是顶角和底角两种情况讨论． 当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝(180°－80°)÷2＝50°； 当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，故它的底角度数是50° 或80°.
5．【2020·攀枝花】如图，平行线AB、CD被直线EF所截，过点B作BG⊥EF于点G
，已知∠1＝50°，则∠B＝( )
A．20°B．30°
C
C．40°D．50°
6．如图，已知在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠B.求证： △ABC是直角三角形．
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＋∠B＝90°， ∵∠1＝∠B，∴∠1＋∠BAD＝∠BAC＝90°， ∴△ABC是直角三角形．
7．【合肥瑶海区期中】如图，已知AB∥CD，AE交CD于点 C，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝37°，求∠D的度数．
解：∵AB∥CD，∠A＝37°， ∴∠DCE＝∠A＝37°. ∵DE⊥AE，∴∠CED＝90°. ∴∠D＝90°－∠DCE＝90°－37°＝53°.
8．【阜阳19中月考】如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部点A′ 处时，∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找出这个规 律，你发现的规律是( )
11．【2020·亳州模拟】如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分 ∠ACB.
(1)求∠ACE的度数；
解：∵∠A＝30°，∠B＝62°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝88°. ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE＝ ∠ACB＝44°.
1 2
(2)若CD⊥AB于点D，∠CDF＝74°，求证：△CFD是直角三角形．
答案显示
1．三角形的内角和等于________．180° 2．直角三角形的两锐角________． 3．有两个角________的三角形是直互角余三角形．
互余
1．一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰B直角三角形
解：由题意可知∠MAC＝60°，∠NBC＝15°，所以∠BAC ＝90°－60°＝30°，∠ABC＝90°＋15°＝105°，所以 ∠C＝180°－30°－105°＝45°.
13．我们知道，三角形三个内角的和是180°，我们可以用对角线(连接多边形 任意不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线)将多边形分成若干个三 角形来计算多边形的内角和.
540°
3 4
720°
(2)如图，从n边形的一个顶点可以引出________条对角(线n－，3把) n边形分成 ________个三角形. n边形的内角和为______________(用含n的代数式表示)； (n－2) (n－2)·180°
(3)请根据上面你所找到的规律计算十二边形的内角和． 解：十二边形的内角和为(12－2)×180°＝1800°.
沪科版八年级上
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 三命题与证明 第3课时三角形内角和定理及推论
核心必知 1 180° 2 互余 3 互余
提示：点击 进入习题
1B 2C 3B 4 见习题 5C
答案显示
6 见习题 7 见习题 8B 9 50°或80° 10 见习题
11 见习题 12 见习题 13 见习题
证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝90°－∠B＝28°， ∴∠FCD＝∠ECB－∠BCD＝16°. ∵∠CDF＝74°， ∴∠CFD＝180°－∠FCD－∠CDF＝90°， ∴△CFD是直角三角形．
12．如图，有一艘渔船上午9时在A处沿正东方向航行，在A处测得灯塔C在北 偏东60°方向上，渔船行驶2h到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东15° 方向上，试求△ABC各内角的度数．
10．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝46°，∠ACB＝80°，延长BC至D，使 ∠CAD＝∠D，求∠BAD的度数．
解：∵∠ACB＝80°， ∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－80°＝100°. 又∵∠CAD＝∠D，∠ACD＋∠CAD＋∠D＝180°， ∴∠CAD＝∠D＝40°. 在△ABD中，∠BAD＝180°－∠ABD－∠D＝ 180°－46°－40°＝94°.
2．【2020·锦州】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分
∠ACB，则∠ADC的度数是( )
A．80° B．90°
C
C．100°
D．110°
3．【2020·吉林】将一副三角板按如图所示的方式摆放， 则∠α的大小为( B )
A．85° B．75° C．65° D．60°
4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为点D，E， ∠AFD＝158°，求∠EDF的度数．
A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2 C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)
【点拨】∵在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，在△A′DE中，∠A′ ＋∠A′DE＋∠A′ED＝180°， ∴∠A＋∠A′＋∠ADA′＋∠AEA′＝360°. ∴2∠A＋180°－∠2＋180°－∠1＝360°. ∴2∠A＝∠1＋∠2.故选B.
解：∵FD⊥BC，∴∠FDC＝90°. ∵∠DFC＝180°－∠AFD＝180°－158°＝22°， ∴∠C＝180°－∠FDC－∠DFC＝180°－90°－22°＝68°. ∵∠B＝∠C，∴∠B＝68°. 在△DBE中，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°. ∴∠BDE＝180°－∠DEB－∠B＝180°－90°－68°＝22°. ∴∠EDF＝180°－∠BDE－∠FDC＝180°－22°－90°＝68°.
(1)如图，从四边形的一个顶点可以引出1条对角线，把四边形分成2个三角形，则四
边形的内角和为________；从五边形的一个顶点可以引出2条对角线，把五边 形分成________个三角形，则五边形的内角和为______3_6_0；°从六边形的一个顶
点可以引出________条对角线，把六边形分成________个三角形，则六边形的 3
【答案】B
9．【亳州蒙城一中期中】已知等腰三角形中有一个内角为80°，则该等腰三
角形的底角为_________________．
50°或80°
【点拨】由于不确定80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的 角是顶角和底角两种情况讨论． 当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝(180°－80°)÷2＝50°； 当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，故它的底角度数是50° 或80°.
5．【2020·攀枝花】如图，平行线AB、CD被直线EF所截，过点B作BG⊥EF于点G
，已知∠1＝50°，则∠B＝( )
A．20°B．30°
C
C．40°D．50°
6．如图，已知在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠B.求证： △ABC是直角三角形．
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＋∠B＝90°， ∵∠1＝∠B，∴∠1＋∠BAD＝∠BAC＝90°， ∴△ABC是直角三角形．
7．【合肥瑶海区期中】如图，已知AB∥CD，AE交CD于点 C，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝37°，求∠D的度数．
解：∵AB∥CD，∠A＝37°， ∴∠DCE＝∠A＝37°. ∵DE⊥AE，∴∠CED＝90°. ∴∠D＝90°－∠DCE＝90°－37°＝53°.
8．【阜阳19中月考】如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部点A′ 处时，∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找出这个规 律，你发现的规律是( )
11．【2020·亳州模拟】如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分 ∠ACB.
(1)求∠ACE的度数；
解：∵∠A＝30°，∠B＝62°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝88°. ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE＝ ∠ACB＝44°.
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(2)若CD⊥AB于点D，∠CDF＝74°，求证：△CFD是直角三角形．
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1．三角形的内角和等于________．180° 2．直角三角形的两锐角________． 3．有两个角________的三角形是直互角余三角形．
互余
1．一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰B直角三角形
解：由题意可知∠MAC＝60°，∠NBC＝15°，所以∠BAC ＝90°－60°＝30°，∠ABC＝90°＋15°＝105°，所以 ∠C＝180°－30°－105°＝45°.
13．我们知道，三角形三个内角的和是180°，我们可以用对角线(连接多边形 任意不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线)将多边形分成若干个三 角形来计算多边形的内角和.