第5章-3 分支限界算法设计基本方法
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问题的解空间：
与回溯法相同，一般用解空间树 解空间树（Solution Space 解空间树 Trees,也称状态空间树）的方式组织。 例如，对于n=3时的0-1背包问题，可用完全二叉树 表示其解空间，如下图所示。
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对解空间树的动态搜索过程
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5.3.1
分支限界法的基本思想
深度优先搜索
ABDHIEJKCFLMGNO
广度优先搜索
ABCDEFGHIJKLMNO
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5
5.3.1
分支限界法的基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费 （最大效益）优先的方式搜索问题的解空间 树。 对已处理的各结点根据限界函数估算目 标函数的可能取值，从中选取使目标函数取 得极值（极大/极小）的结点优先进行广度优 先搜索 不断调整搜索方向，尽快找到解。 特点：限界函数常基于问题的目标函数，适 特点： 用于求解最优化问题。
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广度优先遍历过程
在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点， 在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点， 分别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值； 分别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值； 如果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出目 标函数的界，则将其丢弃， 标函数的界，则将其丢弃，因为从这个结点生成 的解不会比目前已经得到的解更好； 的解不会比目前已经得到的解更好； 否则，将其加入待处理结点表（简称活结点表） 否则，将其加入待处理结点表（简称活结点表） 中。
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（7）在活结点表中选取目标函数值取得极大的结点 优先 ）在活结点表中选取目标函数值取得极大的结点6优先 进行搜索； 进行搜索； 装入背包， （8）在结点 ，将物品 装入背包，因此，背包的重量为 ）在结点8，将物品4装入背包 因此， 12，不满足约束条件，将结点 丢弃；在结点 ，没有将物 丢弃； ，不满足约束条件，将结点8丢弃 在结点9， 装入背包， 品4装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点 相 装入背包 因此，背包的重量和获得的价值与结点6相 目标函数值为65； 同，目标函数值为 ； 是叶子结点， （9）由于结点 是叶子结点，同时结点 的目标函数值是活 ）由于结点9是叶子结点 同时结点9的目标函数值是活 结点表中的极大值 所以，结点9对应的解即是问题的最优 极大值， 结点表中的极大值，所以，结点 对应的解即是问题的最优 搜索结束。 解，搜索结束。
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叶历的深入， 随遍历的深入，活结点表中所估算的目标函数的 界越来越接近问题的最优解。 界越来越接近问题的最优解。 1.得解：当搜到一个叶子结点时，如果该结点的 得解： 得解 当搜到一个叶子结点时， 目标函数值是活结点表中的极值 极值， 目标函数值是活结点表中的极值，则该叶子对应 最优解； 最优解； 2.调界：否则，根据该叶子结点调整目标函数的 调界： 调界 否则，根据该叶子结点调整目标函数的 对最小化，调上界；对最大化，调下界）； 界（对最小化，调上界；对最大化，调下界）； 3.调队列（活结点表）：并且，依次考察活结点 调队列（ ）：并且 调队列 活结点表）：并且， 表中的结点，将超出目标函数界的结点丢弃； 表中的结点，将超出目标函数界的结点丢弃； 然后从活结点表中选取使目标函数取得极值的结 点继续进行扩展。 点继续进行扩展。
w=0, v=0 ub=100 2 w=4, v=40 ub=76 4 × w=11 无效解 6 w=9, v=65 ub=69 8 w=12 无效解 × 9 w=9, v=65 ub=65
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3 w=0, v=0 ub=60 5 w=4, v=40 ub=70 7 w=4, v=40 ub=64
优先队列式分支限界法求解0/1背包问题， 优先队列式分支限界法求解 背包问题， 其搜索空 背包问题 间如上页图所示，具体的搜索过程如下： 间如上页图所示，具体的搜索过程如下： （1）在根结点 ，没有将任何物品装入背包，因此，背包 ）在根结点1，没有将任何物品装入背包，因此， 的重量和获得的价值均为0，根据限界函数计算结点1的目 的重量和获得的价值均为 ，根据限界函数计算结点 的目 标函数值为10× 标函数值为 ×10=100； ； （2）在结点 ，将物品 装入背包，因此，背包的重量为 ， 装入背包， ）在结点2，将物品1装入背包 因此，背包的重量为4， 获得的价值为40，目标函数值为40 获得的价值为 ，目标函数值为 + (10-4)×6=76，将结 × ， 点2加入待处理结点活结点表中；在结点3，没有将物品1 加入待处理结点活结点表中；在结点 ， 没有将物品 加入待处理结点活结点表中 装入背包，因此，背包的重量和获得的价值仍为0， 装入背包，因此，背包的重量和获得的价值仍为 ，目标 函数值为10× ＝ ，将结点3加入活结点表中 加入活结点表中； 函数值为 ×6＝60，将结点 加入活结点表中； （3）在活结点表中选取目标函数值取得极大的结点 优先 ）在活结点表中选取目标函数值取得极大的结点2优先 进行搜索； 进行搜索；
第5章-3 分支限界法
1.分组名单 2.作业 1）简述回溯法的基本思想和主要步骤。 2）比较回溯法与穷举法的异同。 3）简述分支限界法的基本思想和主要步骤。
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学习要点： 学习要点：
• • • • • • •
理解分支限界法的剪枝搜索策略。 掌握分支限界法的算法框架 （1）队列式(FIFO)分支限界法 （2）优先队列式分支限界法 通过应用范例学习分支限界法的设计策略。 （1） 0-1背包问题； （2）装载问题；
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5.3.1
分支限界法的基本思想
每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。 活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生 其所有儿子结点。 在这些儿子结点中，导致不可行解或导致 非最优解的儿子结点被舍弃 其余儿子结点被加入活结点表中。
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5.3.1
0/1背包的分支限界法过程
2. 求解过程
上界ub可用最好情况来代替ub=w*(v1/w1)=10*10=100 目标函数的界[40, 100]，一般解空间树中第i层的各结 点，代表对物1~i的选择，可这样定限界函数：
ub
= V+ (W-w) * (vi+1/wi+1)
已装入价值 剩余容量 剩下物品最大单位价值vi+1/wi+1 的积
分支限界法的基本思想
此后，从活结点表中取下一结点成为当前 扩展结点， 重复上述结点扩展过程，直到找到所需的 解或活结点表为空时为止。
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5.3.1
分支限界法的基本思想
常见的两种分支限界法
（1）队列式(FIFO)分支限界法 队列式(FIFO)分支限界法 队列式(FIFO) 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一 个节点为扩展节点。 （2）优先队列式分支限界法 优先队列式分支限界法 按照优先队列中规定的优先级选取优先级 最高的节点成为当前扩展节点。
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0/1背包的分支限界法过程
3.小结 从0/1背包问题的搜索过程可看出：与回溯法相 比，分支限界法可根据限界函数不断调整搜索 方向，选择最可能得最优解的子树优先进行搜 索 找到问题的解。
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优先队列式分支限界法求解最大化问题的一般过程
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0/1背包的分支限界法过程
1. 问题描述
容量w=10 物品 1 2 3 4 重(w) 4 7 5 3 价(v) 40 42 25 12 价/重(v/w) 10 6 5 4
直观的，解(1,0,0,0)，价值为40，可作为0/1背包的下界。
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5.3.1
分支限界法的基本思想
分支限界法与回溯法的区别：
（1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空 求解目标： 求解目标 间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法 的求解目标则是找出满足约束条件的一个解， 或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下 的最优解。 搜索方式的不同： （2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方 搜索方式的不同 式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先 或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。
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（ 4）在结点4，将物品2装入背包， 因此，背包的重量为 ） 在结点 ， 将物品 装入背包， 因此， 装入背包 11，不满足约束条件，将结点 丢弃；在结点 ，没有将物 丢弃； ，不满足约束条件，将结点4丢弃 在结点5，没有将物 装入背包， 品2装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点 相 装入背包 因此，背包的重量和获得的价值与结点2相 目标函数值为40 同，目标函数值为 + (10-4)×5=70，将结点 加入活结点 × ，将结点5加入活结点 表中； 表中； （5）在活结点表中选取目标函数值取得极大的结点 优先 ）在活结点表中选取目标函数值取得极大的结点5优先 进行搜索； 进行搜索； 装入背包， （6）在结点 ，将物品 装入背包，因此，背包的重量为 ， ）在结点6，将物品3装入背包 因此，背包的重量为9， 获得的价值为65，目标函数值为65 + (10-9)×4=69，将结 获得的价值为 ，目标函数值为 × ， 点 6加入活结点表中； 在结点7，没有将物品3装入背包， 加入活结点表中； 在结点 ， 没有将物品 装入背包， 加入活结点表中 装入背包 因此，背包的重量和获得的价值与结点5相同 相同， 因此 ， 背包的重量和获得的价值与结点 相同 ， 目标函数 值为40 加入活结点表中； 值为 + (10-4)×4＝64，将结点 加入活结点表中； × ＝ ，将结点6加入活结点表中
1.确定一个合理的限界函数，目标函数的界 确定一个合理的限界函数， 确定一个合理的限界函数 [down, up] 2.广度优先遍历解空间树 广度优先遍历解空间树 3.依次从活结点表中选取使目标函数的值取 依次从活结点表中选取使目标函数的值取 得极值的结点成为当前扩展结点 4.重复上述过程，直到找到最优解。 重复上述过程， 重复上述过程 直到找到最优解。
1．根据限界函数确定目标函数的界[down, up]； ．根据限界函数确定目标函数的界 ； 2．将待处理结点活结点表初始化为空； ．将待处理结点活结点表初始化为空； 3．对根结点的每个孩子结点 执行下列操作 ．对根结点的每个孩子结点x执行下列操作 3.1 估算结点 的目标函数值 估算结点x的目标函数值 的目标函数值value; 3.2 若(value>=down)，则将结点 加入活结点表中； 加入活结点表中； ，则将结点x加入活结点表中 4．循环直到某个叶子结点的目标函数值在活结点表中最大 ． 4.1 i=活结点表中值最大的结点； 活结点表中值最大的结点； 活结点表中值最大的结点 4.2 对结点 的每个孩子结点 执行下列操作 对结点i的每个孩子结点 的每个孩子结点x执行下列操作 4.2.1 估算结点 的目标函数值 估算结点x的目标函数值 的目标函数值value; 4.2.2 若(value>=down)，则将结点 加入活结点表中； 加入活结点表中； ，则将结点x加入活结点表中 4.2.3 若(结点 是叶子结点且结点 的value值在活结点表中最大 ， 结点x是叶子结点且结点 值在活结点表中最大)， 结点 是叶子结点且结点x的 值在活结点表中最大 则将结点x对应的解输出 算法结束； 对应的解输出， 则将结点 对应的解输出，算法结束； 4.2.4 若(结点 是叶子结点但结点 的value值在活结点表中不是最大 ， 结点x是叶子结点但结点 值在活结点表中不是最大)， 结点 是叶子结点但结点x的 值在活结点表中不是最大 则令down=value，并且将活结点表中所有小于 的结点删除； 则令 ，并且将活结点表中所有小于value的结点删除； 的结点删除
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优先队列式分支限界法求解0/1背包问题 优先队列式分支限界法求解0/1背包问题 0/1
4个物品的重量分别为 7, 5, 3)，价值分别为 个物品的重量分别为(4, 个物品的重量分别为 ，价值分别为(40, 42, 25, 12)，背包容量 ，背包容量W=10。 。 价重比（ 价重比（10,6,5,4） ） 1
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问题的解空间：
与回溯法相同，一般用解空间树 解空间树（Solution Space 解空间树 Trees,也称状态空间树）的方式组织。 例如，对于n=3时的0-1背包问题，可用完全二叉树 表示其解空间，如下图所示。
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对解空间树的动态搜索过程
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分支限界法的基本思想
深度优先搜索
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广度优先搜索
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5.3.1
分支限界法的基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费 （最大效益）优先的方式搜索问题的解空间 树。 对已处理的各结点根据限界函数估算目 标函数的可能取值，从中选取使目标函数取 得极值（极大/极小）的结点优先进行广度优 先搜索 不断调整搜索方向，尽快找到解。 特点：限界函数常基于问题的目标函数，适 特点： 用于求解最优化问题。
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广度优先遍历过程
在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点， 在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点， 分别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值； 分别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值； 如果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出目 标函数的界，则将其丢弃， 标函数的界，则将其丢弃，因为从这个结点生成 的解不会比目前已经得到的解更好； 的解不会比目前已经得到的解更好； 否则，将其加入待处理结点表（简称活结点表） 否则，将其加入待处理结点表（简称活结点表） 中。
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（7）在活结点表中选取目标函数值取得极大的结点 优先 ）在活结点表中选取目标函数值取得极大的结点6优先 进行搜索； 进行搜索； 装入背包， （8）在结点 ，将物品 装入背包，因此，背包的重量为 ）在结点8，将物品4装入背包 因此， 12，不满足约束条件，将结点 丢弃；在结点 ，没有将物 丢弃； ，不满足约束条件，将结点8丢弃 在结点9， 装入背包， 品4装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点 相 装入背包 因此，背包的重量和获得的价值与结点6相 目标函数值为65； 同，目标函数值为 ； 是叶子结点， （9）由于结点 是叶子结点，同时结点 的目标函数值是活 ）由于结点9是叶子结点 同时结点9的目标函数值是活 结点表中的极大值 所以，结点9对应的解即是问题的最优 极大值， 结点表中的极大值，所以，结点 对应的解即是问题的最优 搜索结束。 解，搜索结束。
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叶历的深入， 随遍历的深入，活结点表中所估算的目标函数的 界越来越接近问题的最优解。 界越来越接近问题的最优解。 1.得解：当搜到一个叶子结点时，如果该结点的 得解： 得解 当搜到一个叶子结点时， 目标函数值是活结点表中的极值 极值， 目标函数值是活结点表中的极值，则该叶子对应 最优解； 最优解； 2.调界：否则，根据该叶子结点调整目标函数的 调界： 调界 否则，根据该叶子结点调整目标函数的 对最小化，调上界；对最大化，调下界）； 界（对最小化，调上界；对最大化，调下界）； 3.调队列（活结点表）：并且，依次考察活结点 调队列（ ）：并且 调队列 活结点表）：并且， 表中的结点，将超出目标函数界的结点丢弃； 表中的结点，将超出目标函数界的结点丢弃； 然后从活结点表中选取使目标函数取得极值的结 点继续进行扩展。 点继续进行扩展。
w=0, v=0 ub=100 2 w=4, v=40 ub=76 4 × w=11 无效解 6 w=9, v=65 ub=69 8 w=12 无效解 × 9 w=9, v=65 ub=65
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3 w=0, v=0 ub=60 5 w=4, v=40 ub=70 7 w=4, v=40 ub=64
优先队列式分支限界法求解0/1背包问题， 优先队列式分支限界法求解 背包问题， 其搜索空 背包问题 间如上页图所示，具体的搜索过程如下： 间如上页图所示，具体的搜索过程如下： （1）在根结点 ，没有将任何物品装入背包，因此，背包 ）在根结点1，没有将任何物品装入背包，因此， 的重量和获得的价值均为0，根据限界函数计算结点1的目 的重量和获得的价值均为 ，根据限界函数计算结点 的目 标函数值为10× 标函数值为 ×10=100； ； （2）在结点 ，将物品 装入背包，因此，背包的重量为 ， 装入背包， ）在结点2，将物品1装入背包 因此，背包的重量为4， 获得的价值为40，目标函数值为40 获得的价值为 ，目标函数值为 + (10-4)×6=76，将结 × ， 点2加入待处理结点活结点表中；在结点3，没有将物品1 加入待处理结点活结点表中；在结点 ， 没有将物品 加入待处理结点活结点表中 装入背包，因此，背包的重量和获得的价值仍为0， 装入背包，因此，背包的重量和获得的价值仍为 ，目标 函数值为10× ＝ ，将结点3加入活结点表中 加入活结点表中； 函数值为 ×6＝60，将结点 加入活结点表中； （3）在活结点表中选取目标函数值取得极大的结点 优先 ）在活结点表中选取目标函数值取得极大的结点2优先 进行搜索； 进行搜索；
第5章-3 分支限界法
1.分组名单 2.作业 1）简述回溯法的基本思想和主要步骤。 2）比较回溯法与穷举法的异同。 3）简述分支限界法的基本思想和主要步骤。
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学习要点： 学习要点：
• • • • • • •
理解分支限界法的剪枝搜索策略。 掌握分支限界法的算法框架 （1）队列式(FIFO)分支限界法 （2）优先队列式分支限界法 通过应用范例学习分支限界法的设计策略。 （1） 0-1背包问题； （2）装载问题；
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分支限界法的基本思想
每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。 活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生 其所有儿子结点。 在这些儿子结点中，导致不可行解或导致 非最优解的儿子结点被舍弃 其余儿子结点被加入活结点表中。
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0/1背包的分支限界法过程
2. 求解过程
上界ub可用最好情况来代替ub=w*(v1/w1)=10*10=100 目标函数的界[40, 100]，一般解空间树中第i层的各结 点，代表对物1~i的选择，可这样定限界函数：
ub
= V+ (W-w) * (vi+1/wi+1)
已装入价值 剩余容量 剩下物品最大单位价值vi+1/wi+1 的积
分支限界法的基本思想
此后，从活结点表中取下一结点成为当前 扩展结点， 重复上述结点扩展过程，直到找到所需的 解或活结点表为空时为止。
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5.3.1
分支限界法的基本思想
常见的两种分支限界法
（1）队列式(FIFO)分支限界法 队列式(FIFO)分支限界法 队列式(FIFO) 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一 个节点为扩展节点。 （2）优先队列式分支限界法 优先队列式分支限界法 按照优先队列中规定的优先级选取优先级 最高的节点成为当前扩展节点。
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0/1背包的分支限界法过程
3.小结 从0/1背包问题的搜索过程可看出：与回溯法相 比，分支限界法可根据限界函数不断调整搜索 方向，选择最可能得最优解的子树优先进行搜 索 找到问题的解。
南京信息工程大学计算机与软件学院
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优先队列式分支限界法求解最大化问题的一般过程
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0/1背包的分支限界法过程
1. 问题描述
容量w=10 物品 1 2 3 4 重(w) 4 7 5 3 价(v) 40 42 25 12 价/重(v/w) 10 6 5 4
直观的，解(1,0,0,0)，价值为40，可作为0/1背包的下界。
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分支限界法的基本思想
分支限界法与回溯法的区别：
（1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空 求解目标： 求解目标 间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法 的求解目标则是找出满足约束条件的一个解， 或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下 的最优解。 搜索方式的不同： （2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方 搜索方式的不同 式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先 或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。
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（ 4）在结点4，将物品2装入背包， 因此，背包的重量为 ） 在结点 ， 将物品 装入背包， 因此， 装入背包 11，不满足约束条件，将结点 丢弃；在结点 ，没有将物 丢弃； ，不满足约束条件，将结点4丢弃 在结点5，没有将物 装入背包， 品2装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点 相 装入背包 因此，背包的重量和获得的价值与结点2相 目标函数值为40 同，目标函数值为 + (10-4)×5=70，将结点 加入活结点 × ，将结点5加入活结点 表中； 表中； （5）在活结点表中选取目标函数值取得极大的结点 优先 ）在活结点表中选取目标函数值取得极大的结点5优先 进行搜索； 进行搜索； 装入背包， （6）在结点 ，将物品 装入背包，因此，背包的重量为 ， ）在结点6，将物品3装入背包 因此，背包的重量为9， 获得的价值为65，目标函数值为65 + (10-9)×4=69，将结 获得的价值为 ，目标函数值为 × ， 点 6加入活结点表中； 在结点7，没有将物品3装入背包， 加入活结点表中； 在结点 ， 没有将物品 装入背包， 加入活结点表中 装入背包 因此，背包的重量和获得的价值与结点5相同 相同， 因此 ， 背包的重量和获得的价值与结点 相同 ， 目标函数 值为40 加入活结点表中； 值为 + (10-4)×4＝64，将结点 加入活结点表中； × ＝ ，将结点6加入活结点表中
1.确定一个合理的限界函数，目标函数的界 确定一个合理的限界函数， 确定一个合理的限界函数 [down, up] 2.广度优先遍历解空间树 广度优先遍历解空间树 3.依次从活结点表中选取使目标函数的值取 依次从活结点表中选取使目标函数的值取 得极值的结点成为当前扩展结点 4.重复上述过程，直到找到最优解。 重复上述过程， 重复上述过程 直到找到最优解。
1．根据限界函数确定目标函数的界[down, up]； ．根据限界函数确定目标函数的界 ； 2．将待处理结点活结点表初始化为空； ．将待处理结点活结点表初始化为空； 3．对根结点的每个孩子结点 执行下列操作 ．对根结点的每个孩子结点x执行下列操作 3.1 估算结点 的目标函数值 估算结点x的目标函数值 的目标函数值value; 3.2 若(value>=down)，则将结点 加入活结点表中； 加入活结点表中； ，则将结点x加入活结点表中 4．循环直到某个叶子结点的目标函数值在活结点表中最大 ． 4.1 i=活结点表中值最大的结点； 活结点表中值最大的结点； 活结点表中值最大的结点 4.2 对结点 的每个孩子结点 执行下列操作 对结点i的每个孩子结点 的每个孩子结点x执行下列操作 4.2.1 估算结点 的目标函数值 估算结点x的目标函数值 的目标函数值value; 4.2.2 若(value>=down)，则将结点 加入活结点表中； 加入活结点表中； ，则将结点x加入活结点表中 4.2.3 若(结点 是叶子结点且结点 的value值在活结点表中最大 ， 结点x是叶子结点且结点 值在活结点表中最大)， 结点 是叶子结点且结点x的 值在活结点表中最大 则将结点x对应的解输出 算法结束； 对应的解输出， 则将结点 对应的解输出，算法结束； 4.2.4 若(结点 是叶子结点但结点 的value值在活结点表中不是最大 ， 结点x是叶子结点但结点 值在活结点表中不是最大)， 结点 是叶子结点但结点x的 值在活结点表中不是最大 则令down=value，并且将活结点表中所有小于 的结点删除； 则令 ，并且将活结点表中所有小于value的结点删除； 的结点删除
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优先队列式分支限界法求解0/1背包问题 优先队列式分支限界法求解0/1背包问题 0/1
4个物品的重量分别为 7, 5, 3)，价值分别为 个物品的重量分别为(4, 个物品的重量分别为 ，价值分别为(40, 42, 25, 12)，背包容量 ，背包容量W=10。 。 价重比（ 价重比（10,6,5,4） ） 1