层次分析法（详解）

第六章层次分析法
决策是人们选择或进行判断的一种思维活动，在人们的实践活动中，常常要对某些系统的重要性作出恰当的评价，以便列出它们的轻重缓急，从而集中解决重要的问题。

有些决策是简单易断的，而有些决策则是复杂困难的，因此常常先把复杂问题分解成因素，然后把这些因素按支配关系分组形成有序的递阶层次结构，并衡量各方面的影响，最后综合人的判断，以决定决策诸因素相对重要性的先后优劣次序，这就是层次分析法的基本思路。

层次分析法的(Analytic Hierarchy Process 简记为AHP)是美国著名的运筹学家T.L.Saaty 教授于70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法。

该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用。

6.1 层次分析法的基本原理
层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理。

下面分别予以介绍。

1.递阶层次结构原理。

一个复杂的结构问题可分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等。

每一个因素称为元素。

按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系。

具有这种性质的层次称为递阶层次。

例如，选拔队员参加数学建模比赛的层次结构如下图6.1所示：
图6.1 队员参赛的层次结构图
其中Y1：接受能力；Y2：反映能力；Y3：自愿程度；
Y4：计算机应用能力；Y5：写作能力；
Y11：掌握新知识的能力；Y12：建模能力；
Y21：想象能力；Y22：洞察能力；
Y31：建模兴趣；Y32：主动程度；Y33：对建模的认识
Y41：使用数学软件的能力；Y41：计算机语言编程能力；
Y51：中文写作能力；Y52：英文表达能力
至于复杂系统的层次结构图，请参看有关的文献。

2．测度原理。

决策就是要从一组已知方案中选择理想的方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的。

然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常
常难于定量测度。

因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化。

通常，社会、经济系统的测度具有以下的属性特点：
(1) 社会、经济系统中测度对象的属性大多具有相对性质，无法确定统一的标度。

(2) 测度对象的环境时常变化，即使有一种统一尺度，由于环境的变化也会使其失去常规意义。

(3) 社会、经济系统缺少必要的测度工具，往往需要人的判断。

针对这些特点，层次分析法提供了测度决策因素的基本方式，这种方式充分利用人的经验和判断，采用相对标度进行两两比较，从而能够统一对有形与无形、可定量与不可定量的因素进行测度。

在某种程度上，层次分析法解决了社会、经济系统某些现象的测度和建模问题，提出了决策思维的一种新方法。

3．排序原理。

层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题。

这里不妨设由元素两两比较得到的重要性测度表示为判断矩阵：
n n ij a A ⨯=)(
显然，判断矩阵具有性质：(1)0>ij a ；(2)1
)(-=ji ij a a . 称满足性质(1)和(2)的方阵为正的互反阵。

若一个n 阶正的互反阵A 满足：
n k j i a a a ik
jk ij ,...,1,,=∀=∙
则称A 为一致性矩阵。

在排序原理中，通常不能保证判断矩阵为一致性矩阵，但有一个正的互反阵是一致性的充要条件。

在判断矩阵A 为一致性矩阵时，通常由
ωλωmax =A
来确定权系数T n A A A ))(),...,(()(1ωωω=, 其中λ
max 为
A 的最大特征值，通常称为主特征
值，而ω是相应的特征向量，通常称为主特征向量，其分量满足1)(1
=∑=A n
i i
ω，它们可用
Matlab 命令计算得到。

这是排序的特征根方法。

特征根方法的合理性是基于正矩阵的Perron 定理。

由此定理知，正的互反矩阵存在唯一的正实数的最大特征根，它所对应的特征向量可以由全为正的分量组成，经归一化后，上述特征向量是唯一的。

6.2 层次分析法的一般步骤
运用层次分析法建立系统的数学模型时，大体上可分为以下四个步骤（AHP 算法）： 1) 分析系统中各因素间的关系，建立系统的递阶层次结构。

递阶层次结构的建立是层次分析法中关键的一步。

一般来说，将问题的预定目标作为目标层，中间的层次一般是准则层(可包含子准则层)，最低一层为决策的方案或人选等，参见图6.1。

通常，递阶结构的层次数与问题的复杂程度以及所要分析的详尽程度是分不开的。

2) 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较的判断矩阵（或成对比矩阵），作出权重分析。

在建立递阶层次结构后，上、下层次之间的元素隶属关系就已确定。

假定上一层次的元素C k 作为准则，对下一层次的因素y 1，。

，
y n 有支配关系，采用两两比较赋予元素y 1，。

，y n 对C k 的权重。

每次取两个元素y i 和y j ,用a ij 表示i y 与j y 对C k 的影响之比，全比较结果可用判断矩阵A=( a ij )n ×n 表示。

Saaty 比较尺度的取值范围可以是1, 2, …, 9及其1，1/2, …, 1/9，这是因为人们在进行定性成对比较时常有5种明显的等级（根据心理学的研究结果，对更细的等级分类则难以辨别），见下表6-1。

表6-1 尺度a 的含义
例如，在选拔队员参加数学建模比赛的模型中，“接受能力”和“自愿程度”相比，“接受能力”明显重要，则其标度为5，而“自愿程度”相对于“接受能力”，其标度为1/5。

判断矩阵中的数值多半是根据专家意见而给出的，而衡量判断矩阵的合格标准是它是否具有一致性。

由于客观事物的复杂性和人的认识的多样性，完全一致的判断往往是不现实的，一般只需近似地满足一致性即可。

在给出判断矩阵后应进行一致性检验，其方法如下：
a) 计算一致性指标C •I 。

公式为
C ·I =
1
max --n n λ
其中n 为判断矩阵A 的阶数，λmax 为
A 的最大特征值。

b) 查询平均随机一致性指标R •I .
表6-2Saaty 的一致性指标R ·I
c) 计算一致性比例C •R 。

公式为
C ·R =
I
R I
C ⋅⋅ 理论说明：当C •R < 0.1时，一般认为判断矩阵A 的一致性可以接受；否则就需要重新进行成对比较，对A 加以调整，使之具有满意的一致性。

同样以选拔队员参加数学建模比赛的模型为例，对Y1~Y5进行成对比较，可得判断矩阵，并由此计算得到相对权重(见表6-3).
表6-3 准则层各指标的相对权重
用Matlab 计算得到λ
max =5.2771,
相应的特征向量为( 0.4783, 0.8308, 0.0794, 0.2636,
0.0726 )T , 归一化后特征向量即相对权重为 (0.2773, 0.4817, 0.0460, 0.1528, 0.0422 )T
, C •I =0.0693 , 查表得R ·I =1.12, 从而C •R =0.0619。

因C •R < 0.1，满足一致性指标，故判断矩阵是可行的。

3) 计算各层元素对于系统目标的总排序权重（即合成权重），并进行组合一致性检验。

为了得到递阶层次结构中每一层次中所有元素相对于总目标层的权重，应当把第2步的结果适当组合、计算，并求出总判断一致性检验。

这一过程由目标层向准则层（包含子准则层）逐步进行，最后得出最低层相对于目标层的相对权重和整个模型的一致性检验。

若已算出第k –1层m 个元素相对于总目标的组合排序权重向量为
W k-1 =(ω1k-1, ω2k-1,…, ωm k-1)T 第k 层在第k-1层第j 个元素作为准则下元素的排序权重向量为 P j k
=( P 1j k
, P 2j k
,…, P nj k
)T
第k 层对第k-1层各元素的排序为
P k
=( P 1 k
, P 2 k
, …，P m k
)
则第k 层n 个元素相对于总目标的组合排序权重为
W k = P k • W k-1
更一般地，有排序的组合权重公式：
W k
= P k
• P k-1
… P 3
•W 2
3≤k ≤n
关于组合一致性检验问题，也必须逐层计算。

若第k 层的一致性指标为
)()(2)(1,...,,k n k k CI CI CI ，随机一致性指标为)
()(2)(1,...,,k n
k k RI RI RI , 定义 ],...,,[)1()1(2)1(1)(---=k m k k k CI CI CI CI W k-1；],...,,[)
1()1(2)(1)(---=k n k k k RI RI RI RI W k-1
则第k 层对第一层的组合一致性比率为 )()
()
1()
(k k k k RI
CI CR
CR
+=- 当CR k < 0.1时, 就认为递阶层次结构在第k 层水平以上的所有判断通过一致性检验。

否则就需要重新调整判断矩阵元素的取值。

4) 模型的决策。

层次分析法的最终结果是得到相对于总目标层的各决策方案的优先顺序。

在整个递阶层次结构所有判断的总的一致性指标达到满意时，则可以利用模型进行决策。

6.3 城市空气质量分析
背景及问题的提出
环境问题是当前世界各国普遍关注的问题之一，是21世纪人类面临的重大挑战。

在社会的高速发展中，在人们不断的创造物质财富，精神财富的同时，人们忽略的自己赖以生存的环境。

人们只知道肆意地向大自然索取，却不知道回报。

大自然发怒了，它开始了向人类的报复。

温室效应，大气污染，臭氧空洞，森林锐减，酸雨蔓延，土地荒漠化，水质污染，生物多样化和遗传多样性减少，气候现象变化异常……生态破坏和环境污染不仅给经济发展和人民生活带来损失，更严重的是危害人民身体健康，并贻害子孙后代，破坏了人类赖以健康持久地生存的基本条件。

随着社会经济的快速发展，工业化水平的提高，人类活动对空气的污染越来越严重，尤其是在城市集中了大量的工厂、车辆、人口。

空气质量因为车辆、船舶、飞机的尾气、工业企业生产排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧等的原因，逐渐开始恶化。

空气污染威胁着人类的日常生活，危害人体健康，给人们的工作带来不便，并影响或危害各种生物的生存，直接
或间接地损害设备、建筑物……
空气中极其微少的污染物，都能对人体健康产生极大的影响，导致各种疾病的发生，甚至夺去人的生命。

从1873～1973 年这100 年间，全世界已发生过19 起重大空气污染事件，例如：
1930年12 月，在比利时马斯河谷工业区有害气体和粉尘污染空气，短短一周内就有60 多人死亡。

1948 年10 月，美国宾夕法尼亚州多诺拉镇烟雾事件。

由于空气污染致使43% 的居民急呼吸道疾病。

1952 年12 月，英国伦敦光化学烟雾事件，两个月内死亡人数高达12000 人！
1955 年以后，日本四日市被硫酸雾笼罩。

1964 年该市市民哮喘病大发作，有人因气喘病而死亡。

另一方面，亚洲是世界上发展相对比较落后的地区，人口众多，发展缓慢，为了加速经济的发展，各个国家大肆的对自然进行开发利用，对资源的利用量比较大，但同时对资源的有效利用率不高，对能源废弃物处理不够恰当充分，而且对环境污染给社会，给人类带来的影响认识不够清楚充分。

这样不仅损失了好多能源，还给环境带来了巨大的污染，尤其是空气污染。

亚洲虽然国家众多，城市众多，但是不同的国家引起空气污染的污染物种类和污染指数不同，所以各个国家的污染严重程度不同。

而且城市空气污染是多种不同污染物综合作用的结果。

那么给出亚洲11个城市的空气质量调查情况（见图表6-4），如何根据所给数据，组建数学模型科学的对11个城市空气污染严重程度排名呢。

表6-4 11个城市空气质量
数据来源WHO UNEP1992
说明：
非常严重污染，超过WHO指标100%以上。

!! 中度严重污染，超过WHO 指标，达到100%以下。

! 低度污染，符合WHO指标或少量超过。

SO2二氧化硫，SPM悬浮颗粒物，NOх氮氧化物，CO一氧化碳。

WHO世界卫生组织
UNEP联合国环境规划署
以上摘自《全球环境展望2000》，联合国环境规划署，中国环境科学出版社2000。

数学建模
（1）假设
在上面的表格中，我们可以看到有许多城市SO2，SPM ，NO х，CO 的各项指数都是相同的。

虽然!,!!,只是实际数据与WHO 标准的比较所得到的，而这些原始数据并不一定完全相同，但是为了简化问题，我们在这里做如下假设。

①表格中的数据具有权威性，值得相信，具有使用价值。

②不同城市的!,!!, 所代表的污染程度相同，不再加以区分。

这样问题就由11个城市的排名问题简化成6个城市的排名问题。

新的表格如下表6-5。

表6-5 6个城市的空气质量
（2）符号说明
Z ——目标， P ——污染因素， C ——排序城市，
P1——SO2， P2——SPM ， P3——NO х， P4——CO ，
C1——曼谷， C2——北京， C3——加尔各答， C4——雅加达， C5——上海， C6——东京。

（3）建模
① 将研究目标（Z ）、因素（P ）、对象（C ）按相关关系分成最高层、中间层和最低层。

层次结构图如下图6.2：
最高层Z ：
中间层P ：
最低层：
图6.2 层次结构图
② 给出SO2，SPM ，NO х，CO 两两成对比较的判断矩阵A 。

再进行层次单排序及其一致性检验。

判断矩阵A 的给出主要是依据SO2，SPM ，NO х，CO 在空气污染中的重要程度及对人群的影响。

本章未附录中列出了SO2，SPM ，NO х，CO 各自的性质，来源以及危害，加以比较。

在研究中发现二氧化硫亦会导致死亡率上升，尤其是在悬浮颗粒物的协同作用下。

1989 年，研究人员对北京的两个居民区作了大气污染与死亡率的相关值研究。

研究结果表明，大气中二氧化硫的浓度每增加1倍，总死亡率增加 ll%；总悬浮颗粒物浓度每增加1倍，总死亡率增加4%。

由此可以说明二氧化硫的影响较颗粒物的影响大很多。

SO2，SPM ，NO х都会引起呼吸系统疾病，而且SO2和NO х的水溶物还是酸雨的主要成分。

所以SO2和NO х对空气质量的影响比SPM 的影响大。

再从SO2和NO х的来源来比较，可以看出城市中的SO2和NO 的污染水平相当。

SPM 的污染水平次之，但也是紧随其后。

而SO2，SPM ，NO х，CO 中CO 对环境的影响最小。

据此给出SO2，SPM ，NO х，CO 两两成对比较的判断矩阵。

由Perron-Frobenions 定理，非负矩阵存在正的最大模特征值，对应着正的特征向量。

借助Matlab 软件进行求取最大模特征根及相应特征向量的计算（计算过程见程序清单），再将所求的特征向量单位化后得到的就是因素P 对目标Z 相对重要性的权重，记为W 。

因为CI/RI<0.1，所以此排序有满意的一致性，这就是说W 可以真正反映P ：{P1，P2，P3，P4}在目标Z
中所占的比重。

③ 给出最低层对中间层的各个因素的判断矩阵并进行分析。

由于各个城市只存在污染程度的不同，所以只需给出 !,!!,之间的关系即可。

我所给出的关系是 !/!=1,!!/!!=1,/=1,/!=5,/!!=4,!!/!=3。

在这个关系的基础上，给出了最低层C ：{C1，C2，C3，C4，C5，C6}对于中间层P ：{P1，P2，P3，P4}各个因素的判断矩阵，并用MA TLAB 进行了类似的计算，显示出了对P1，P2，P3，P4 的权重。

结果如下，从结果中我们清楚地看到对这四个因素的排序都有满意的一致性，真正的反映了C 在P1，P2，P3，P4中所占的比重。

P1 C
λmax=6.0881 CI=0.0176 RI=1.24 CI/RI=0.0142 CR ＜0.1
λmax=6.0000
CI=0.0000
RI=1.24
CI/RI=0.0000
CR＜0.1
λmax=6.0000
CI=0.0000
RI=1.24
CI/RI=0.0000
CR＜0.1
λmax=6.0000
CI=0.0000
RI=1.24
CI/RI=0.0000
CR＜0.1
④层次总排序。

即C层对目标Z的总排序。

方法是将P——C所得到的四个经过单位化的特征向量作为列向量构成6×4矩阵，和由P对目标Z的权量构成的4×1矩阵做乘法，结果即是11个城市的空气污染严重程度的权重向量（见表6-6），那么数值较大的数所对应的城市空气污染程度就比较严重。

表6-6 11个城市的空气污染程度的权重向量
总排序一致性的检验：
CR=（0.3849*0.0176+0.1428*0+0.3849*0+0.0879*0）/1.24=0.005463 <<0.1
此结果有说明总排序有非常满意的一致性。

3 结果分析和模型讨论
从模型层次总排序的结果，我们很清楚的看到C对目标Z的权重C2>C4>C1>C5>C3>C6。

那么C1——C6所对应的城市的空气污染程度也有同样的排序。

由此我们得到了11城市的污染严重程度排序，结果如下：
①北京汉城
②雅加达
③曼谷马尼拉
④上海
⑤加尔各答德里卡拉奇孟买
⑥东京
那么这个模型的结论从另一个侧面反映了所给的原始数据所代表的实际情况。

结论显示北京和汉城的空气污染程度在11个国家里最严重。

对于北京从实际出发，我们可以找到一点答案。

首先，中国是亚洲人口最多的国家，而且北京作为中国的首都，政治文化的中心，必然是人口积聚的中心。

人口密集，交通拥挤，工业生产规模愈来愈大，能流物流高度集中，使得空气污染日益加剧。

其次，问题的数据来自于1992年，当时的中国发展还比较落后，而且进行改革开放也才初见成效。

对环境污染的认识还很粗浅，对环境污染的治理也不够彻底，治理方法还比较初等。

除此以外，还有一个不容忽视的因素，我国大气污染物的主要来源主要是煤，当时城市中的能源消耗也主要是煤，燃煤排放的污染物占燃烧的96%。

在众多因素的影响下，北京当时的环境水平还不是很高，与北京这座历史名城成为世界级都市还有很大差距。

那么近年来北京变化比较大，到处高楼耸立，绿树成荫，工厂，汽车所排放的气体都要符合一定的标准，对环境污染的治理也卓见成效，随着科技的进步，一些新的能源发挥着巨大的作用，北京的环境正发生着巨大的变化。

但是这个模型也有不是很另人满意的地方，虽然要解决的是11个城市的空气污染严重程度的排名，但是受数据的限制，只是粗略的排出另外六个层次，那么位于同一层次的城市还需要更多的数据，更多的背景加以数学处理和讨论。

6.4 层次分析法在求解某些优化问题中应用
众所周知，对于通常的优化问题，目前已有成熟的方法求解。

然而，这些优化问题一旦具有如下特性之一，如：①问题中存在一些难于度量的因素；②问题的结构在很大程度上依赖决策者的经验；③问题的某些变量之间内部存在相关性；④需要加入决策者的经验、偏好等因素，那么，若此时我们仍然单纯依靠构造一个优化的数学模型来求解往往是行不通的。

请看下例应用实例：
例假设某人在制定食镨时有三类食品可供选择：肉、面包和蔬菜。

这三类食品所含营养成分及单价如表6-7所示。

表6-7 肉、面包和蔬菜所含营养成分及单价
该人体重为55kg，每天对各类营养的最低需求为：
维生素A7500 国际单位（IU）
维生素B2 1.6338 mg
热量8548.5 kJ
考虑应如何制定食镨可使在保证营养需求的前提下支出最小？
若单纯考虑问题的条件，容易建立下列线性规划模型：
设分别选择肉、面包和蔬菜各x
1, x
2
, x
3
, 则有
min f = 0.0275x1 + 0.006x2 + 0.007x3
s.t. 0.3527 x1 + 25.0 x3≥7500
0.0021 x1 + 0.0006 x2 + 0.002x3 ≥ 1.6338 (LP1)
11.9300x1 + 11.5100 x2+ 1.04 x3 ≥8548.5
x1, x2, x3, ≥0
用Matlab优化工具箱求解，得最优解x*= (0.0000, 687.5267, 610.6420)T；最优值f*=8.3997。

即不吃肉，选面包687.53g、蔬菜610.64g，每日最低支出为8.40元。

显然，在实际生活当中，以上的方案很难被人接受，因为它不能照顾到人们对食物种类的偏好。

当然，我们可以结合偏好加入一些约束，如至少安排肉140g（即x
1
≥140）等。

一个较有效的思路是把这个问题用层次分析法来求解。

使用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素。

下面结合层次分析法来重新求解上例。

1. 建立如图6.3所示的层次结构.
第一层
第二层
第三层
第四层
图6.3 层次结构图
2. 根据偏好建立如下两两比较判断矩阵
W D1D2λmax=2
D1 1 3 C·I1= 0
C·R1=0< 0.1
D21/3 1 主特征向量ω=（0.75, 0.25 ）T 故第二层元素排序总权重为w1=( 0.75, 0.25)T
D1A B2Q λmax=3
A 1 1 2 C·I11= 0；R·I11= 0.58
B2 1 1 2 C·R11=0
Q 1/2 1/2 1 主特征向量ω= ( 0.4, 0.4 , 0.2 )T 故相对权重P12=( 0.4, 0.4, 0.2, 0 )T
注：第三层的价格D3与第二层的价格因素D2是一对一的关系，因此第三层可以看做有四个元素：维生素A、维生素B2、热量Q及支出D2。

容易得到
C·I21=0；R·I21=0；相对权重P22=( 0, 0, 0, 1 )T
3. 第三层组合一致性检验问题：
因为C·I2= ( C·I11C·I21) w1=0；R·I2=( R·I11R·I21) w1=0.435。

于是有
C·R2= C·R1+C·I2/ R·I2=0 < 0.1
故第三层所有判断矩阵通过一致性检验，从而得到第三层元素维生素A、维生素B2、热量Q及支出D3的总权重为
w2=P2 w1 = ( P12P22 ) w1= ( 0.3, 0.3, 0.15, 0.25 )T
求第四层元素关于总目标W的排序权重向量时，用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵，可以用原始的营养成分及单价的数据得到。

注意到单价对人们来说希望最小，因此应取各单价的倒数，然后归一化。

其他营养成分的数据直接进行归一化计算，得到下表6-8。

表6-8 各营养成分数据的归一化
此表的数据即为矩阵P3，可计算最终的第四层各元素的综合权重向量为
w3= P3 w2 =( 0.2376 0.2293 0.5331 )T
此结果表明，按这个人的偏好，肉、面包和蔬菜的比例取0.2376 ：0.2293 ：0.5331较为合适。

引入参数变量k，令x1=0.2376 k，x2=0.2293 k，x3=0.5331 k，代入（LP1），则得到
min f = 0.0116 k
s.t. 13.4113 k ≥7500
0.0017 k ≥1.6338 (LP2)
6.0282 k≥8548.5
k ≥0
容易求得(LP2)的解为k=1418.1，故得到
最优解x* = (336.9350, 325.1650, 755.9767)T；最优值f*=16.4497.
即肉336.94g，面包325.17g，蔬菜755.98g，每日的食品费用为16.45元。

显然，根据个人偏好建立的判断矩阵不同，得到的结果也会不同。

如果认为上面的支出费用太高，可以适当降低第二层的营养权重。

例如取
W D1D2
D1 1 2
D21/2 1
类似地可计算得到
最优解x* = (309.1877, 357.0697, 721.2158)T；最优值f*=15.6936
即肉309.19g，面包357.07g、蔬菜721.22g，每日的食品费用为15.70元。

总之，对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题，用层次分析方法来处理比较适用。

附录。