信号与系统2-3

∴ yzs (t) = g(t) ∗δ (t) − 2g(t) ∗δ (t − 2) + g(t) ∗δ (t − 3) = g(t) − 2 g(t − 2) + g(t − 3) = (2e−2t −1)ε (t) − 2[2e−2(t−2) −1]ε (t − 2) +[2e−2(t −3) −1]ε (t −3)
线性系统为
Kn N( p) N( p) K1 K2 = = + +⋯+ 其中 H( p) = D( p) ( p − λ1)( p − λ2 )⋯( p − λn ) p − λ1 p − λj
n
零输入响应 零状态响应 全响应
yzi (t) = ∑Cje j ε (t)
j =1
λt
yzs (t) = h(t) ∗ f (t)
y(t) = yzi (t) + yzs (t) =∑Cj e j ε (t) + h(t) ∗ f (t)
j =1 n
λt
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第二章第3讲
9
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例 2.14
p +3 , 已知 p2 + 3 p + 2
例 2.13
计算。 利用卷积的微积分性质 f (t) = f1(−1) (t) ∗ f 2′(t) = f1′(t) ∗ f2(−1) (t) 计算。
f1 (t)
f 2 (t)
1 2
1
0
f1 (t)
(−1)
1
t
0
1
2
3
t
1 2
f (t) = f1(−1) (t) ∗ f2′(t)
f2′(t)
(1) 2
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几条结论
f (t) = f1 (t) ∗ f 2 (t)
f(t)的开始时间等于 1(t)和f2(t)的开始时间之和； f(t)的结束 的开始时间等于f 和 的开始时间之和； 的开始时间等于 的开始时间之和 的结束 时间等于f 和 的结束时间之和。 时间等于 1(t)和f2(t)的结束时间之和。 f(t)的持续时间等于 的结束时间之和 的持续时间等于 f1(t)和f2(t)的持续时间之和。 的持续时间之和。 和 的持续时间之和 两个宽度不同的矩形波其卷积波形为梯形波。梯形波平顶 两个宽度不同的矩形波其卷积波形为梯形波。 宽度为两矩形波宽度之差， 宽度为两矩形波宽度之差，梯形波的高度为宽度小的矩形 波面积乘以宽度大的矩形波的高度。 波面积乘以宽度大的矩形波的高度。 两个宽度相同的矩形波其卷积波形为三角波。 两个宽度相同的矩形波其卷积波形为三角波。三角波的高 度为一个矩形波面积乘以另一矩形波的高度。 度为一个矩形波面积乘以另一矩形波的高度。 卷积积分的变量为τ 的函数是关于τ 的常数， 卷积积分的变量为τ，t 的函数是关于τ 的常数，可以被提 出到卷积积分之外。 出到卷积积分之外。
f (τ ) = x(.)ε (τ −1)
h(t −τ ) = w(.)ε (t −τ + 3)
t +3 1
∫
∞
−∞
(.)ε (τ −1)ε (t −τ + 3)dτ = [∫
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(.)dτ ] (t + 2) ε
= (积分结果)ε (t + 2)
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2
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= [e
−t
=2e
(
∫
t
0
e
0.5τ
dτ ]ε (t) −[e
−t
−0.5t
− e ε (t) − 2 e
)
(
∫
t
2
e0.5τ dτ ]ε (t − 2)
−0.5t
−e
−(t −1)
)ε (t − 2)
3
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卷积积分的性质
卷积的代数性质
交换律： 交换律：ƒ1(t)∗ƒ2(t)=ƒ2(t)∗ƒ1(t) ∗ ∗ 分配律： 分配律：ƒ1(t)∗[ƒ2(t)+ƒ3(t)]=ƒ1(t)∗ƒ2(t)+ƒ1(t)∗ƒ3(t) ∗ ∗ ∗ 结合律： 结合律：[ƒ1(t)∗ƒ2(t)]∗ƒ3(t)=ƒ1(t)∗[ƒ2(t)∗ƒ3(t)] ∗ ∗ ∗ ∗
∴ yzs (t) = g(t) − 2 g(t − 2) + g(t −3)
1
0 −1
1
2
3
t
= (2e−2t −1)ε (t) − 2[2e−2(t−2) −1]ε (t − 2) +[2e−2(t−3) −1]ε (t −3)
y 解二：利用卷积性质： 解二：利用卷积性质： zs (t) = h(t) ∗ f (t) = g′(t) ∗ f (t) = g(t) ∗ f ′(t) ∵ f ′(t) = δ (t) − 2δ (t − 2) +δ (t − 3)
0
1
0
0
1
2
3
4
t
1
t
3
1
2
t
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6
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与冲激函数的卷积
f (t) f (t)
*
0
δ (t)
=
t
f (t)
0
t
0
t
δ (t −t1)
f (t) ∗δ (t −t1)
*
0
=
0
t
t1
t
0
t1
t
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加法器： 加法器：
f2 (t)
数乘器： 数乘器：
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f (t)
k
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kf (t)
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例 2.17
卷积的微分与积分性质
微分性质： 微分性质：f ′(t) = f1(t) ∗ f2′(t) = f1′(t) ∗ f2 (t) 积分性质： 积分性质：f (−1) (t) = f1(t) ∗ f 2(−1) (t) = f1(−1) (t) ∗ f 2 (t) f 微积分性质： 微积分性质： (t) = f1(−1) (t) ∗ f 2′(t) = f1′(t) ∗ f 2(−1) (t)
例 2.12
线性非时变系统的输入信号f(t)和冲激响应 线性非时变系统的输入信号 和冲激响应h(t)由下 和冲激响应 由下 列各式给出，试求系统的零状态响应。 列各式给出，试求系统的零状态响应。
f (t) = e−0.5t [ε (t) − ε (t − 2)]
解 yzs (t) = f (t) ∗ h(t) =
ha (t)
f (t)
ha (t) ha (t)
∑
hb (t)
y(t)
y(t) = h(t) = hb (t) ∗[ha (t) ∗δ (t) +δ (t) + ha (t) ∗ha (t) ∗δ (t)] = hb (t) ∗[ha (t) + δ (t) + ha (t) ∗ ha (t)] = hb (t) ∗[δ (t) + δ (t −1) + δ (t − 2)] = ε (t) − ε (t − 3) + ε (t −1) − ε (t − 4) + ε (t − 2) − ε (t − 5)
t
应用(1),(3)两个性质的条件是 ∫ f1′(τ )dτ = f1 (t) 必须成立 两个性质的条件是 应用 −∞
lim 即必须有； 否则不能应用。 即必须有； −∞ f1 (t) = f1 (−∞) = 0 否则不能应用。 t→
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h(t) = h (t) + h2 (t) 1
f (t)
h1(t)+ h2(t)
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y(t)
12
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例 2.16
hb (t) = ε (t) − ε (t − 3) 试求系统的冲激响应。 试求系统的冲激响应。
解：冲激响应为
如图所示系统，它由几个子系统组成。 如图所示系统，它由几个子系统组成。各子系统的冲激响应分 别为： 别为：ha (t) = δ (t −1) ，
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例 2.15
已知某线性系统单位阶跃响应为 g(t) = (2e−2t −1)ε (t) ,试利用卷 试利用卷 f (t) 积的性质求如图信号激励下的零状态响应。 积的性质求如图信号激励下的零状态响应。 解一：利用非时变特性： 解一：利用非时变特性： f (t) = ε (t) − 2ε (t − 2) + ε (t − 3)
与冲激函数的卷积
f (t)
δ (t −t1 )
*
0
=
−t1
t
0
t1
t
−t1
0
t1
t
δ (t + t1 )
f (t)
δT (t)
*
0
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⋯ ⋯
−T
⋯ ⋯ =⋯ ⋯
0
⋯ ⋯
−T
0
t
T
2T
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t
T
2T
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t
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2.6 线性系统的时域求解
y(t)=H(p)f(t)
卷积积分的性质
时移性质
若ƒ1(t)∗ƒ2(t)=ƒ(t)，则有ƒ1(t-t1)∗ƒ2(t-t2)=ƒ(t-t1-t2)， ∗ ， ∗ ，
含有冲激函数的卷积
ƒ(t)=ƒ(t)∗δ ， ƒ(t-t0)=ƒ(t)∗δ 0)， ∗δ(t)， ∗δ(t-t ， ∗δ ∗δ ƒ(t)∗δ ∗δ'(t)=ƒ'(t), ƒ(t)∗δ ∗δ''(t)=ƒ"(t), … ∗δ ∗δ
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13
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系统的模拟图表示
f (t) df (t) dt f (t) pf (t)
f1(t)
基本模拟单元： 基本模拟单元： 积分器： 积分器：
∫
∫
t
−∞
f (τ )dτ
f (t)
∫
p−1 f (t)
f (t)
Σ
f1(t) + f2 (t)
∴
yzi (t) = 4e−t − 3e−2t
t −τ t
t ≥0
t ≥0
1 1 −2t −2τ −t 零状态响应： 零状态响应： yzs (t) = h(t) ∗e(t) = ∫ 2e dτ −∫ e dτ = 2 − 2e − + e 0 0 2 2
∴
5 −2t 3 −t y(t) = yzi (t) + yzs (t) = + 2e − e ε (t) 2 2
系统的转移算子为 H( p) = 试求全响应。 试求全响应。
f (t) = ε (t), y(0− ) =1, y′(0− ) = 2 ，
解：将转移算子按部分分式展开有： H( p) = 将转移算子按部分分式展开有： 冲激响应为 零输入响应： 零输入响应：
p +3 2 1 = − ( p +1)( p + 2) p +1 p + 2
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1
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卷积的解析计算
门函数的表示
ε (t)ε (1−t)
1
ε (t +1)ε (3− t)
1
ε (τ −1)ε (t −τ + 3)
1
0
1
t
−1
0
3
t
0
1
t +3
τ
f (t) = x(.)ε (t −1) h(t) = w(.)ε (t + 3)
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11
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系统的方框图表示
H(p)
f (t)
y(t) f (t)
h1(t) h1(t)∗ h2(t) ∗ h1(t) h2(t)
h(t)
yzs (t) = h(t) ∗ f (t)
y(t)
子系统串联： 子系统串联： f (t) 等效于： 等效于：
f (t)
y(t)
yzs (t) = h1(t) ∗h2 (t) ∗ f (t)
y(t) h(t) = h1(t) ∗h2 (t)
yzs (t) = h1(t) ∗ f (t) + h2 (t) ∗ f (t)
Σ
子系统并联： 子系统并联： f (t) h2(t) 等效于： 等效于：
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y(t)
h(t) = e−t ε (t)
∞
∫
∞
−∞
e−0.5τ [ε (τ ) −ε (τ − 2)]e−(t −τ )ε (t −τ )dτ
−∞
=∫ e
−∞
∞
−0.5τ −(t −τ )
e
ε (τ )ε (t −τ )dτ − ∫ e−0.5τ e−(t −τ )ε (τ − 2)ε (t −τ )dτ
−t
与阶跃函数的卷积
即：f (t) ∗ε (t) = ∫−∞ f (τ )dτ 利用卷积积分的性质来计算卷积积分， 利用卷积积分的性质来计算卷积积分， 可使卷积积分的计算大大简化， 可使卷积积分的计算大大简化， 下面举例说明。 下面举例说明。
t
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第二章第3讲
5
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h(t) = (2e−t − e−2t )ε (t)
yzi (t) = C1e−t + C2e−2t
−1
t ≥0
C1 1 1 1 2 1 1 4 C = −1 − 2 2 = −1 −12 = − 3 2