高等数学第11章 微分方程习题详解

2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1） xy 2 y ， y 5x 2 ； （2） y y 0 ， y 3sin x 4cos x ； （3） y 2 y y 0 ， y x 2 e x ； （4） ( xy x) y x( y)2 yy 2 y 0 ， y ln( xy) ． 解 （1）将 y 10 x 代入所给微分方程的左边，得左边 10 x 2 ，而右边＝2 (5 x 2 ) 10 x 2 左边，所以 y 5x 2 是 xy 2 y 的解． （ 2 ） 将 y 3 cosx 4 sin x ， y 3sin x 4cos x 代 入 所 给 微 分 方 程 的 左 边 ， 得 左 边 右 ( 3 sin x 4 cos x ) (3 sin x 4 cos x ) 0边，所以 y 3 sin x 4 co x s是 所 给 微 分 方 程 y y 0 的解． （3）将 y x 2 e x ， y 2 x e x x2 e x ， y 2e x 4 x e x x2 e x 代入所给微分方程的左边，得 左边 (2e x 4 x e x x2 e x ) 2(2 x e x x2 e x ) x2 e x 2e x 0 （右边） ， 所以 y x 2 e x 不是所给微分方程 y 2 y y 0 的解． （4）对 y ln( xy) 的两边关于 x 求导，得 1 y y ， x y xyy y xy ． 即 再对 x 求导，得 yy x( y)2 xyy y y xy ， 即
即
(3 y 2 1) 6 C e 2 ．
由定解条件 y
x 0
1
1
x2
1 ，知
(3 1) 6 C ，即 C 2 6 ，
故所求特解为
1
1
(3 y 2 1) 6 2 6 e 2 ，即 3 y 2 1 2e3 x ．
（6）将方程两边同除以 ( x2 3)sin y 0 ，得 2x cos y dx dy 0 ， 2 x 3 sin y 两端积分，得 2x cos y x2 3dx sin y dy C1 ， 积分后得 ， ln( x2 3) ln(sin y) ln C （其中 C1 ln C ） 从而有
x 0
1．
C 02 52 25
所以，所求函数为 y 2 x2 25 ． （2） y C2 e2 x 2(C1 C2 x)e2 x (2C1 C2 2C2 x)e2 x ，将 y
2x
x 0
0 ， y
x 0
1 分别代入
y (C1 C2 x)e 和 y (2C1 C2 2C2 x)e ，
（3）原方程可化成
( x 1)
分离变量，得
dy 2 y2 ， dx
两端积分，得 即
1 2 dy dx ， y2 x 1 1 2ln( x 1) C ， y
y
是原方程的通解． （4）分离变量，得
1 2ln( x 1) C
y x dy dx ， 1 y x 1
2
( ( x y x ) y x 2y )
2
， y y 2 y 0
所以 y ln( xy) 是所给微分方程 ( xy x) y x( y) yy 2 y 0 的解． 3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件． （1） x2 y 2 C ， y x0 5 ； （ 2） y (C1 C2 x)e2 x , y x0 0 ， y 解 （1）将 x 0 ， y 5 代入微分方程，得
第十一章 微分方程习题详解
第十一章 微分方程
习 题 11-1 1．判断下列方程是几阶微分方程？
dy 3 （1） （ 2） (7 x 6 y)dx ( x y)dy 0 ； y tan t 3t sin t 1 ； dt （3） x( y)2 2 yy x 0 ； （4） xy 2( y)4 x2 y 0 ． 解 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所 以有， （1）一阶微分方程； （ 2）一阶微分方程； （3）三阶微分方程； （ 4）三阶微分方程．
B(0, 2 y) ，则点 M ( x, y) 就是该切线 AB 的中点．于是有 y 2y ，即 y ，且 y(2) 3 ， y 2x x 分离变量后，有 1 1 dy dx ， y x 积分得 ln y ln C ln x ， 即 C y ． x
4
第十一章 微分方程习题详解
故所求的微分方程为
2 xy y 0 ．
2
第十一章 微分方程习题详解
习 题 11-2
1．求下列微分方程的通解或特解： （1） xy y ln y 0 ； （ 2） cos x sin ydx sin x cos ydy 0 ； （3） y xy 2( y 2 y) ； （5） yy 3xy 2 x ， y 解 （1）分离变量，得
这样便可得所求的微分方程为
xy 2 y xy ．
（4）由 ( y C1 ) C2 x 两边对 x 求导，得
2
2( y C1 ) y C2 ，
将 C2
( y C1 ) 代入上式，并化简得 x
2
2 xy y C1 ，
对上式两边再对 x 求导，得
2 y 2 xy y ，
2 e x 9e x 0 ， ( 2 9)e x 0 ．
而 e x 0 ， 因 此 必 有 2 9 0 ， 即 3 或 3 ， 从 而 当 3 ， 或 3 时 ， 函 数 y e3 x , y e3 x 均为方程 y 9 y 0 的解． 5．消去下列各式中的任意常数 C, C1 , C2 ，写出相应的微分方程． （1） y Cx C 2 ；
两边积分，得
y ln(1 y) x ln( x 1) ln C ，
即
e y x C (1 y)( x 1)
3
是原方程的通解． （5）分离变量，得
y 3y 1
2dy xdx ，两端积分，得1 1 ln(3 y 2 1) x 2 ln C ， 6 2
x x
（2） y x tan x C ；
（3） xy C1 e C2 e ； （4） ( y C1 )2 C2 x ． 解 注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独立常 数的式子对应于二阶微分方程． （1）由 y Cx C 2 两边对 x 求导，得 y C ， 代入原关系式 y Cx C 2 ，得所求的微分方程为
x 0
（4） x(1 y)dx ( y xy)dy 0 ；
1；
（ 6） 2 x sin ydx ( x2 3)cos ydy 0 ， y
x 1

． 6
1 1 dy dx ， y ln y x
两端积分，得
ln(ln y) ln x ln C ，
即
ln y Cx ，
C
故有 v
1 ， 200
200 ． 10000kt 1 设子弹穿过木板的时间为 T 秒，则
0.1
T
0
200 dt 10000kt 1
T
200 ln(10000kt 1) 10000k 0 1 ln(10000kT 1) ， 50k 又已知 t T 时， v v1 80 米/秒，于是 200 ， 80 10000kT 1 从而， kT 0.00015 ， 为此有 T 0.1 ln(1.5 1) ， 50 0.00015 所以 0.1 0.00075 ， T 0.0075 0.0008 （秒） ln 2.5 0.9162 故子弹穿过木板运动持续了 T 0.0008 （秒） ． 4．求下列齐次方程的通解或特解：
y
化简得
y y x x ， x x
2
xy y x2 y 2 ．
（3）由 xy C1 e x C2 e x 两边对 x 求导，得
y xy C1 e x C2 e x ，
两边再对 x 求导，得
y y xy C1 e x C2 e x ，
2x
得
C1 0 ， C2 1 ，
1
所以，所求函数为 y x e2 x ． 4．能否适当地选取常数 ，使函数 y e x 成为方程 y 9 y 0 的解． 解 满足 即 因为 y e x ， y 2 e x ，所以为使函数 y e x 成为方程 y 9 y 0 的解，只须
所以原方程的通解为
y eCx ． 注 该等式中的 x 与 C 等本应写为 | x | 与 | C | 等， 去绝对值符号时会出现 号； 但这些 号 可认为含于最后答案的任意常数 C 中去了，这样书写简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁 讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理． （2）原方程分离变量，得 cos y cos x dy dx ， sin y sin x 两端积分，得 ln(sin y) ln(sin x) ln C ， 即 ln(sin y sin x) ln C ， 故原方程的通解为 sin y sin x C ．
（1） xy y y 2 x 2 0 ； （3） ( x3 y3 )dx 3xy 2 dy 0 ； （5） x 2 （ 2） ( x2 y 2 )dx xydy 0 ；
( y)2 xy y ． （2）由 y x tan( x C ) 两边对 x 求导，得 y tan( x C ) x sec2 ( x C ) ，
即
y tan( x C ) x x tan 2 ( x C ) ．
而
y tan( x C ) ，故所求的微分方程为 x
1
1
1
x2
2
( x2 3)sin y C ，
代入初始条件 y
x 1

，得 6
C 4sin 2． 6
因此，所求方程满足初始条件的特解为 ( x2 3)sin y 2 ， 即 2 ． y arcsin 2 x 3 2．一曲线过点 M 0 (2,3) 在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方程． 解 设曲线的方程为 y y( x) ， 过点 M ( x, y) 的切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A(2 x,0) 及
由定解条件 y x2 3 ，有
C 6， 6 故 y 为所求的曲线． x 3．一粒质量为 20 克的子弹以速度 v0 200 （米/秒）打进一块厚度为 10 厘米的木板， 然后穿过木板以速度 v1 80 （米 /秒）离开木板．若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方 成正比（比例系数为 k） ，问子弹穿过木板的时间． 解 依题意有 dv m kv 2 ， v t 0 200 ， dt 即 1 k 2 dv dt ， v m 两端积分得， 1 k k ， t C t C （其中 20 克＝ 0.02 千克） v m 0.02 代入定解条件 v t 0 200 ，得