一次函数重点题型分类剖析

⼀次函数重点题型分类剖析
⼀次函数重点题型分类
⼀. 定义型
例1. 已知函数是⼀次函数，求其解析式。

解：由⼀次函数定义知
∴⼀次函数的解析式为y=-6x+3。

注意：利⽤定义求⼀次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。

如本例中应保证m-3≠0。

⼆. 点斜型
例2. 已知⼀次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。

解：⼀次函数的图像过点(2, -1)，
即k=1。

故这个⼀次函数的解析式为y=x-3。

变式问法：已知⼀次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1，求这个函数的解析式。

三. 两点型
例3.已知某个⼀次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。

解：设⼀次函数解析式为y=kx+b
由题意得
∴这个⼀次函数的解析式为y=2x+4
四. 图像型
例4. 已知某个⼀次函数的图像如图所⽰，则该函数的解析式为__________。

解：设⼀次函数解析式为y=kx+b由图可知⼀次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2)
有∴这个⼀次函数的解析式为y=-2x+2
五. 斜截型
例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平⾏，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

解析：两条直线
当k1=k2，b1≠b2时，
直线y=kx+b与直线y=-2x平⾏，
⼜直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2
六. 平移型
例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

解析：设函数解析式为y=kx+b，
直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平⾏
直线y=kx+b在y轴上的截距为b=1-2=-1，故图像解析式为
七. 实际应⽤型
例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。

解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20
∴所求函数的解析式为Q=-0.2t+20（）
注意：求实际应⽤型问题的函数关系式要写出⾃变量的取值范围。

⼋. ⾯积型
例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三⾓形⾯积等于4，则直线解析式为__________。

解：易求得直线与x轴交点为
所以，所以|k|=2 ，即
∴直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4
九. 对称型
若直线与直线y=kx+b关于
（1）x轴对称，则直线的解析式为y=-kx-b
（2）y轴对称，则直线的解析式为y=-kx+b
（3）直线y=x对称，则直线的解析式为
（4）直线y=-x对称，则直线的解析式为
（5）原点对称，则直线的解析式为y=kx-b
例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。

解：由（2）得直线l的解析式为y=-2x-1
⼗. 开放型
例10. 已知函数的图像过点A(1, 4)，B(2, 2)两点，请写出满⾜上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。

解：
（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得y=-2x+6
（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可
以是双曲线，解析式为
（3）其它（略）
⼗⼀. ⼏何型
例11. 如图，在平⾯直⾓坐标系中，A、B是x轴上的两点，，，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为(0, 3)。

（1）求图像过A、B、C三点的⼆次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图像过点E、F的⼀次函数的解析式。

解：（1）由直⾓三⾓形的知识易得点A(-3√3, 0)、B(√3, 0)，由待定系数法可求得⼆次函
数解析式为，对称轴是x=-√3
（2）连结OE、OF，则、。

过E、F分别作x、y轴的垂线，垂⾜
为M、N、P、G，易求得E 、F ，由待定系数法可求得⼀次函数解
析式为
⼗⼆. ⽅程型
例12. 若⽅程x2+3x+1=0的两根分别为，求经过点P 和Q
的⼀次函数图像的解析式
解：由根与系数的关系得
点P(11, 3)、Q(-11, 11)设过点P、Q的⼀次函数的解析式为y=kx+b
则有
解得
故这个⼀次函数的解析式为
⼗三. 综合型
例13. 已知抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D在双曲线
上，直线y=kx+c经过点D和点C(a, b)且使y随x的增⼤⽽减⼩，a、b满⾜⽅程
组，求这条直线的解析式。

解：由抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D 在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：
y1=-7x2+14x-12，顶点D1(1, -5)及y2=-27x2+18x-18
顶点D2
解⽅程组得
即C1(-1, -4)，C2(2, -1)
由题意知C点就是C1(-1, -4)，所以过C1、D1的直线是；过C1、D2的
直线是
函数问题1
已知正⽐例函数，则当k≠0时，y随x的增⼤⽽减⼩。

解：根据正⽐例函数的定义和性质，得k<0。

函数问题2
已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是⼀次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的⼤⼩关系是（）
A. x1>x2
B. x1
C. x1=x2
D.⽆法确定
解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。

根据⼀次函数的性质“当k>0时，y随x的增⼤⽽增⼤”，得x1>x2。

故选A。

函数问题3
⼀次函数y=kx+b满⾜kb>0，且y随x的增⼤⽽减⼩，则此函数的图象不经过（）
A. 第⼀象限
B. 第⼆象限
C. 第三象限
D. 第四象限
解：由kb>0，知k、b同号。

因为y随x的增⼤⽽减⼩，所以k<0，从⽽b<0。

故⼀次函数y=kx+b的图象经过第⼆、三、四象限，不经过第⼀象限。

故选A .
函数问题4
⼀个弹簧，不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正⽐例。

如果挂
上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最⼤总长为23cm，求⾃变量x的取值范围.
分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核⼼是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，⽽⾃变量的取值范围则可由最⼤总长→最⼤伸长→最⼤质量及实际的思路来处理.
解：由题意设所求函数为y=kx+12
则13.5=3k+12
解之，k=0.5
∴y与x的函数关系式为y=0.5x+12
由题意，得：23=0.5x+12x=22
解之，x=22
∴⾃变量x的取值范围是0≤x≤22
函数问题5
某学校需刻录⼀些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校⾃刻，除租⽤刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校⾃⼰刻费⽤较省？
此题要考虑X的范围
解:设总费⽤为Y元，刻录X张
则电脑公司：Y1=8X 学校：Y2=4X+120
当X=30时，Y1=Y2
当X>30时，Y1>Y2
当X<30时，Y1
函数问题6
（1）y与x成正⽐例函数，当y=5时，x=2.5，求这个正⽐例函数的解析式.
（2）已知⼀次函数的图象经过A（－1，2）和B（3，－5）两点，求此⼀次函数的解析式.
解：（1）设所求正⽐例函数的解析式为y=kX
把y=5，x=2.5代⼊上式得，5=2.5k
解之，得k=2
∴所求正⽐例函数的解析式为y=2X
（2）设所求⼀次函数的解析式为y=kx+b
∵此图象经过A（－1，2）、B（3，－5）两点，此两点的坐标必满⾜y=kx+b ，将x=-1 、y=2和x=3、y=-5 分别代⼊上式，得2=-k+b,-5=3k+b
解得k=-7/4,b=1/4
∴此⼀次函数的解析式为y=-7x/4+1/4
点评：（1）不能化成带分数.（2）所设定的解析式中有⼏个待定系数，就需根据已知条件列⼏个⽅程.
函数问题7
拖拉机开始⼯作时，油箱中有油20升，如果每⼩时耗油5升，求油箱中的剩余油量Q（升）与⼯作时间t（时）之间的函数关系式，指出⾃变量t的取值范围，并且画出图象.
分析：拖拉机⼀⼩时耗油5升，t⼩时耗油5t升，以20升减去5t升就是余下的油量.
解：函数关系式：Q=20-5t，其中t的取值范围：0≤t≤4。

图象是以（0，20）和（4，0）为端点的⼀条线段（图象略）。

点评：注意函数⾃变量的取值范围.该图象要根据⾃变量的取值范围⽽定，它是⼀条线段，⽽不是⼀条直线.
函数问题8
已知⼀次函数的图象经过点P（－2，0），且与两坐标轴截得的三⾓形⾯积为3，求此⼀次函数的解析式.
分析：从图中可以看出，过点P作⼀次函数的图象，和y轴的交点可能在y轴正半轴上，也可能在y轴负半轴上，因此应分两种情况进⾏研究，这就是分类讨论的数学思想⽅法.
解：设所求⼀次函数解析式为
∵点P的坐标为（－2，0）
设函数图象与y轴交于点B（0，m）
根据题意，SΔPOB=3
∴|m|=3
∴⼀次函数的图象与y轴交于B1（0，3）或B2（0，－3）
将P（－2，0）及B1（0，3）；或P（－2，0）及B2（0，－3）的坐标代⼊y=kx+b 中，得
-2k+b=0，b=3；或-2k+b=0，b=-3。

解得k=1.5，b=3；或k=-1.5，b=-3。

∴所求⼀次函数的解析式为y=1.5x+3或y=-1.5-3。

点评：（1）本题⽤到分类讨论的数学思想⽅法.涉及过定点作直线和两条坐标轴相交的问题，⼀定要考虑到⽅向，是向哪个⽅向作.可结合图形直观地进⾏思考，防⽌丢掉⼀条直线.（2）涉及⾯积问题，选择直⾓三⾓形两条直⾓边乘积的⼀半，结果⼀定要得正值.[3]
【考点指要】
⼀次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和⽤待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点.它常与反⽐例函数、⼆次函数及⽅程、⽅程组、不等式综合在⼀起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，⼤约占有8分左右.解决这类问题常⽤到分类讨论、数形结合、⽅程和转化等数学思想⽅法.
函数问题9
如果⼀次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。

解：如图⽰
【考点指要】
此题主要考察了学⽣对函数性质的理解，若k>0，则y随x的增⼤⽽增⼤；若k<0，则y随x的增⼤⽽减⼩。

综合测试
1. 若正⽐例函数y=kx的图象经过⼀、三象限，则k的取值范围是（）
A.k≠0
B.k<0
C.k>0
D.k为任意值
2. ⼀根蜡烛长20cm，点燃后每⼩时燃烧5cm，燃烧时剩下的⾼度y（cm）与燃烧时间x（⼩时）的函数关系⽤图象表⽰为（）
3. （北京市）⼀次函数y=x+3 的图象不经过的象限是（）
A. 第⼀象限
B. 第⼆象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【综合测试答案】
1. C
2. y=20-5x
3. D。