数理统计练习题

第八章 统 计 分 析
三、典型题解
例1：某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表.
饲喂不同饲料的鱼的增重 （单位：10g ）
饲料
鱼的增重（x ij ）
合计.i x 平均.i x A 1 31.9 27.9 31.8 28.4 35.9 155.9 31.18 A 2 24.8 25.7 26.8 27.9 26.2 131.4 26.28 A 3 22.1 23.6 27.3 24.9 25.8 123.7 24.74 A 4
27.0 30.8
29.0
24.5
28.5
139.8
27.96
合计
..x =550.8
解：这是一个单因素等重复试验，因素数4s =，重复数05n =.各项平方和及自由度计算如下：
220/550.8/(45)15169.03C T n s ==⨯=
总平方和 2
22231.927.928.5T ij S x T C =∑∑-=+++-
67.19903.151697.15368=-=
组间平方和
2
22220
1
1(155.9131.4123.7139.8)5
15283.315169.03114.27
A j
S x C C n =
-=+++-=-=∑ 组内平方和 199.67114.2785.40E T A S S S =-=-= 总自由度 0154119T f n s =-=⨯-= 处理间自由度 1413A f s =-=-= 处理内自由度 19316E T A f f f =-=-=
用A S 、E S 分别除以A f 和E f 便得到处理间均方A MS 及处理内均方E MS .
/114.27/338.09/85.40/16 5.34
A A A E E E MS S f MS S f ======
因为/38.09/5.347.13A E F MS MS ===；根据13A f f ==，216E f f ==，查表得
F ＞F 0.01(3，16) =5.29,，表明四种不同饲料对鱼的增重效果差异极显著，用不同的饲料饲喂，
增重是不同的.
例2：抽测5个不同品种的若干头母猪的窝产仔数，结果见下表，试检验不同品种母猪平均窝产仔数的差异是否显著.
五个不同品种母猪的窝产仔数
品种号 观 察 值x ij (头/窝) x i.
.i x
1 8 13 1
2 9 9 51 10.2 2 7 8 10 9 7 41 8.2
3 13 1
4 10 11 12 60 12 4 13 9 8 8 10 48 9.6
5 12
11
15 14
13
65
13 合计
T =265
解：这是一个单因素试验，因素数5s =，重复数05n =.现对此试验结果进行方差分析如下：
计算各项平方和与自由度
220/265/(55)2809.00C T sn ==⨯=
2
2222222222
.0
(8131413)2809.00
2945.002809.00136.0011(5141604865)2809.00
52882.202809.0073.20
T ij A j
S x C S x C n =-=++++-=-==
-=++++-=-=∑∑∑ 136.0073.2062.80E T A S S S =-=-=
0155124,1514,24420T A E T A f sn f s f f f =-=⨯-==-=-==-=-= 列出方差分析表，进行F 检验
不同品种母猪的窝产仔数的方差分析表
变异来源 平方和 自由度 均方 F 值
品种间 73.20 4 18.30 5.83 误差 62.80 20 3.14 总变异
136.00
24
根据14A f f ==，220E f f ==查临界F 值得：F 0.05(4,20) =2.87,F 0.05(4,20) =4.43，因为F ＞
F 0.01(4,20)，表明品种间产仔数的差异达到1%显著水平.
例3：以A 、B 、C 、D 4种药剂处理水稻种子，其中A 为对照，每处理各得4个苗高观察值(cm)，其结果如下表，试分解其自由度和平方和.
水稻不同药剂处理的苗高(cm )
药 剂
苗高观察值
总和i T
平均i y
A 18 21 20 13 72 18
B 20 24 26 22 92 23
C 10 15 17 14 56 14
D 28 27 29 32
116
29
T =336
=y 21
解：计算各项平方和与自由度
20T C n s ===⨯2
336705644
2
T ij S y C C =-=+++-=∑∑ 222182132602
201
()()k
T i i S n y y T n C C =-=-=+++-=∑∑2222729256116/4504
或 A S =⨯-+-+-+-=22224[(1821)(2321)(1421)(2921)]504
2
2
21
1
1
1
()k n nk k
E ij i ij
i T A S y y y T n S S =-=-=-=-=∑∑∑∑60250498
进而可得均方：
T MS ==602/1540.13 A MS ==504/3168.00 E MS ==98/128.17
总方差自由度44115T f =⨯-=，药剂间自由度413A f =-=，药剂内自由度
15312E f =-=
例4：为研究雌激素对子宫发育的影响，现有4窝不同品系未成年的大白鼠，每窝3只，随机分别注射不同剂量的雌激素，然后在相同条件下试验，并称得它们的子宫重量，见下表，试作方差分析.
各品系大白鼠不同剂量雌激素的子宫重量(g)
品系(A )
雌激素注射剂量(mg/100g)(B )
合计x i. 平均.i x B 1(0.2)
B 2(0.4)
B 3(0.8)
A 1 106 116 145 367 122.3 A 2 42 68 115 225 75.0 A 3 70 111 133 314 104.7 A 4
42 63 87 192 64.0 合计x .j 260 358 480 1098 平均j x .
65.0
89.5
120.0
解：这是一个双因素单独观测值试验结果.A 因素(品系)有4个水平，即a =4；B 因素(雌激素注射剂量)有3个水平，即b =3，共有a ×b =3×4=12个观测值.方差分析如下：
计算各项平方和与自由度
22/1098/(43)100467.0000C T ab ==⨯=
2
22222
22222
222.(1061166387)100467.0000
113542100467.000013075.000011(367225314192)100467.00003
106924.6667100467.00006457.6667
11(260358480)100467.00004
T ij A j
B j
S x C S x C b S x C a =-=++++-=-==
-=+++-=-==
-=++-∑∑∑∑ 106541.0000100467.00006074.0000
=-=
13075.00006457.66676070000543.3333143111,14131312,11326e T A B T A B e T A B S S S S f ab f a f b f f f f =--=--==-=⨯-==-=-==-=-==--=--=
列出方差分析表，进行F 检验
方差分析表
变异来源
平方和 自由度 均方 F 值
A 因素(品系) 6457.6667 3 2152.5556 23.77
B 因素(剂量)
6074.0000 2 3037.0000 33.54
误差 543.3333 6 90.5556
总变异
13075.0000
11
根据13A f f ==，26E f f ==查临界F 值，F 0.01(3,6)=9.78；根据12B f f ==，26E f f ==查临界F 值，F 0.01(2,6)=10.92.
因为A 因素的F 值23.77＞F 0.01(3,6)，差异极显著；B 因素的F 值33.54＞F 0.01(2,6)，差异极显著.说明不同品系和不同雌激素剂量对大白鼠子宫的发育均有极显著影响.
例5：某职校在招收在职生时，为考察年龄与工龄对成绩（百分制）的影响，各取两个水平进行重复试验，得数据如下表所示
试用方差分析法确定，招收在职生的最佳年龄与工龄（） 解：这是双因素等重复试验的方差分析，待检验假设
0112:0H αα==，0212:0H ββ==
0311122122:0H γγγγ====
因为2r =，2s =，2t =，经计算得
2
2
111
1137630137116.8513.2r s t
T ijk i j k S x T rst
====-
=-=∑∑∑ 22
111137205137116.888.2r A i i S T T st rst
==-=-=∑
22
111137124137116.87.2s A i j S T T rt rst ==-=-=∑
22
1111()153.295.457.8r s AB
ij A B i j S T T S S t rst
===---=-=∑∑ 360E T A B AB S S S S S =---=
列出方差分析表：
因为
0.05(1,16) 4.49 3.942A F F =>=， 0.05(1,16) 4.490.322B F F =>=
， 0.05(1,16) 4.49 2.583AB F F =>=，
所以年龄、工龄以及交互作用对学习成绩都无显著影响.但从平均成绩来看，25岁以下平均成绩为84.9分，25岁以上平均成绩为80.7，所以，以招收25岁以下者较优.
例6：发电机的寿命与制造材料及使用地点的温度有关，今选取三种不同的材料及两种不同的温度做重复试验，的数据如下表
试在0.05α=下，检验不同材料，不同温度及交互作用对寿命的影响.
解：解：这是双因素等重复试验的方差分析，待检验假设
01123:0H ααα===，0212:0H ββ== 03111221223132:0H γγγγγγ======
因为3r =，2s =，3t =，经计算得
2
2
111132334r
s
t
T ijk i j k S x T rst
====-
=∑∑∑ 22
1111872r A i i S T T st rst
==-=∑
22
11123378s A i j S T T rt rst ==-=∑
22
1111()1092r s AB
ij A B i j S T T S S t rst
===---=∑∑ 1993E T A B AB S S S S S =---=
列出方差分析表：
因为
0.05(2,12) 3.89 3.942A F F =<=， 0.05(1,12) 4.75164.85B F F =<=， 0.05(2,12) 3.89 3.29AB F F =>=，
所以材料及温度对寿命的影响显著，交互作用对寿命影响不显著.
例7：在某个地区抽取了9家生产同类产品的企业，其月产量和单位产品成本的资料如表8-1，建立月产量x 和单位产品成本y 之间的直线方程.并估计当月产量x=10（千件）时，单位产品成本的数值.
222
93332.953.7613ˆ 6.46()9370.6553.7n xy x y b
n x x -⋅⨯-⨯===--⨯-∑∑∑∑∑ 5.97x =，68.11y =，ˆ68.11( 6.46) 5.97106.68a
y bx =-=--⨯= 所以回归方程为：ˆ106.68 6.46y x =-
当10x =（千件），ˆ106.68 6.4642.08y
x =-=（元）. 例8：为研究某一化学反应过程中，温度()x C ο对产品得率(%)Y 的影响，测得数据如下：
（1） 求变量Y 关于x 的线性回归方程. （2） 2
σ的无偏估计.
（3） 检验回归方程的回归效果是否显著（取0.05α=）. 解： （1）10n =，经计算得
10
1
10101010
2
21
1
1
1
1450, 673, 218500, 47225, 101570i
i i i
i
i i i i i i x
y x y x y ==========∑∑∑∑∑
21
2185001450825010
1
10157014506733985
10xx xy S S =-
⨯==-⨯⨯=
故得
ˆ0.48303xx xy
S b
S ==，11
ˆ67314500.48303 2.739351010
a
=⨯-⨯⨯=- 于是得到回归直线方程
ˆ 2.739350.48303y
x =-+ 或写成
ˆ67.30.48303(145)y
x =+- （2）由以上计算计算结果得
2
221
111
()472256731932.110
n
n yy i i i i S y y n ===-=-⨯=∑
∑
又已知3985xy
S =，ˆ0.48303b
=，故 2
ˆ7.23ˆ0.9082
yy xy S bS
n σ-===-
（3）待检验假设0: 0H b =，1: 0H b ≠
由（1）和（2）知2ˆˆ0.48303, 8250, 0.9xx b
S σ===.查表得 0.0520.025(2)(8) 2.3060t n t -==
假设0: 0H b =的拒绝域为
|| 2.3060t =
现在
||46.25 2.3060t =
=> 故拒绝0: 0H b =，认为回归效果是显著的.
例9：某商品的需求量（单位：件）y 与价格x （单位：元）的统计资料如下所示
求需求函数的回归方程.
解：画散点图，根据散点图选择曲线类型b y ax -=来描绘需求量y 与价格x 的关系
经变换，得''ln ln ln y y a b x x αβ==-=+ 利用最小二乘法的α和β的估计值
ˆ9.1206α
=， ˆ0.6902β=-
所以ˆ
ˆ9141.685a
e α
==，ˆˆ0.6902b β=-=. 故需求回归方程为：0.6902
ˆ9141.658y
x -=，将
y 与ˆy
的值加以对比如下：
可见y 与ˆy
数据相近，效果较好. 四、练习题
1.把下面的方差分析表填写完整，
方差来源 平方和 自由度 修正（方差）
组间 131.37 （1） （3） 组内 （2） 15 （4） 总和
332.48
19
临界值
参考答案：（1）4（2）201.11（3）32.84（4）13.41
2.一批由相同材料织成的布料，使用染整工艺1B ，2B ，3B ，分别处理后进行强度试验，实测数据（单位：2/kg m ）为：
工艺1B ：0.94 0.86 0.90 1.26 1.04 工艺2B ：1.28 1.72 1.60 1.60
工艺3B ：1.02 0.86 1.00 1.22 1.33 1.10
试分析不同染整工艺下布料强度的差异显著性？(0.1α=) 参考答案：0.10.7615(2,11) 2.86F F =<=，不显著.
3.为考察苗猪品种对增重的影响，今选择1A ，2A ，3A 等3个品种各5头发育良好体重相等的苗猪作实验，在同等条件下喂养一段时间后重新过磅，其实际增重（单位：kg ）为：
工艺1A ：129 122 140 140 129 工艺2A ：123 135 124 104 114 工艺3A ：147 131 138 150 124
试问猪的品种对增重的影响是否显著？(05.0=α) 参考答案：0.14.0064(2,12) 2.81F F =>=，显著.
4.设四名工人操作机器321,,A A A 各一天, 其日产量如表8.7所示, 问不同机器或不同工人对日产量是否有显著影响(0.1α=)?
参考答案：0.19.3183(3,6) 3.29A F F =>=，显著；
0.11.8992(2,6) 3.46B F F =<=，不显著
5.下面给出了在某5个不同地点，不同时间空气中的颗粒状物（以mg/m 3
计）的含量的数据：
试在水平05.0=下检验， 在不同时间的颗粒状物含量的均值有无显著差异. 参考答案：0.0510.722(3,12) 3.49A F F =>=，显著；
0.113.239(4,12) 3.26B F F =>=，显著
6.在某种金属材料的生产过程中, 对热处理温度(因素B )与时间(因素A )各取两个水平, 产品强度的测定结果(相对值)如下表所示. 在同一条件下每个实验重复两次. 设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同. 各样本独立. 问热处理温度, 时间以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响 (取0.05α=)?
参考答案：0.050.0959(1,4)7.71A F F =<=，不显著；
0.10.1432(1,4)7.71B F F =<=，不显著 0.050.0107(1,4)7.71AB F F =<=，不显著
7.为了保证某零件镀铬的质量, 需重点考察通电方法和液温的影响. 通电方法选取三个水平:1A (现行方法), 2A (改进方案一), 3A (改进方案二); 液温选取两个水平:1B (现行温度), 2B (增加10℃); 每个水平组合进行两次试验, 所得结果如表(指标值以大为好). 问通电方法、液温和它们的交互作用对该质量指标有无显著影响()01.0=α?
参考答案：0.050.9773(2,6) 5.14A F F =<=，不显著；
0.050.0909(1,6) 5.99B F F =<=，不显著 0.050.0227(1,6) 5.99AB F F =<=，不显著
8．某地高校教育经费（x ）与高校学生人数（y ）连续6年的统计资料如下：
要求：（1）建立议程回归直线方程，估计教育经费为500万元的在校学生数； （2）计算估计标准误差.
参考答案：（1）Y=-17.92+0.096X ， 29.84338（2）2
ˆ0.8649σ
= 9. 以下是子代和父代受教育年限的抽样调查
求：（1）子代受教育年限（Y ）关于父代受教育年限（X ）的回归直线.
（2）2
σ的无偏估计.
（3）判断该结论是否具有推论意义（0.05α=）.
参考答案：（1）Y=3+0.6X ，（2）2
ˆ0.93σ
=（3）0025|| 3.928(3) 3.1824t t =>=，显著. 10. 设对某产品的价格P 与供给量S 的一组观察数据如下表：
据此求：（1）该产品的价格P 关于供给量S 的回归直线.
（2）2
σ的无偏估计.
（3）是否具有推论意义？（0.05α=）.
参考答案：（1）Y=-0.1754+6.2281X ，（2）2
ˆ11.84σ=（3）0025||0.3722(6) 2.4469t t =<=，
不显著.
11.以下是生活期望值与个人成就的抽样调查
求：（1）回归直线 （2）2
σ的无偏估计.
（3）是否具有推论意义（0.05α=）.
参考答案：（1）Y=0.2668+0.8748X ，（2）2
ˆ 5.089σ=（3）0025||0.2703(6) 2.4469t t =<=，
不显著.
12.我国在1981-1988年的八年间，全国居民人均消费水平y （元）和年份x 有如下统计数据
以1,2,...8t =表示1981，1982，……，1988年度， 试建立y 对年度(1980)t x =-的经验回归方程.
参考答案：选用曲线类型(1980)b x y A ae -=+，任选240A =得0.5062(1980)2408.6020x y e -=+。