实验五 基于MATLAB的IIR滤波器结构和窗函数

实验五 基于MATLAB 的IIR 滤波器结构和窗函数
一、实验目的：
1． 熟悉IIR 滤波器的基本结构和函数语言的实现方法； 2． 了解窗函数的性能和特点；
3． 学会利用MA TLAB 函数绘制窗函数的幅频特性。

二、实验原理：
1. IIR 滤波器的结构
IIR 滤波器有三种实现结构：直接型、级联型和并联型。

一般来说，滤波器是用系统函数的有理函数形式（或直接型结构）描述的，本实验将学习用MA TLAB 函数进行各种结构形式的转换，会设计数字滤波器，并利用设计的滤波器进行信号的处理。

IIR 直接型结构由两个行矢量b 和a 描述，并由filter 函数调用实现，格式为y=filter （b,a,x ）。

IIR 级联型结构的系统函数可以表示为有限个实系数二阶有理分式之积，可调用函数[z,p,k]=tf2zp(b,a)将系统函数以零极点增益表示，其中z 表示零点，p 表示极点，k 表示增益，然后调用用函数sos=zp2sos(z,p,k)将其转换为二阶分式之积。

IIR 并级联型结构的系统函数通常表示为有限个实系数一阶或二阶有理分式之和，这种形式在MA TLAB 中通过调用[r,p,k] = residuez(b,a)函数来实现。

模拟滤波器的设计调用函数见课本第147页。

2. 典型的窗函数
（a ）矩形窗(Rectangle Window)
)
()(n R n w N =
其频率响应和幅度响应分别为：
2
1)
2/s i n ()2/s i n ()(--=
N j j e
N e
W ω
ω
ωω，
)2/sin()2/sin()(ωωωN W R =
在matlab 中调用w=boxcar(N)函数，其中N 为窗函数的长度，而返回值w 为一个N 阶的向量，它的元素由窗函数的值组成。

‘w=boxcar(n)’ 等价于‘w=ones(1,n)’。

（b ）三角形窗(Bartlett Window)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
-≤<----≤≤-=1
2
1,
1222
10,
12)(N n N N n N n N n n w
其频率响应为：2
12])
2/sin()4/sin([2)(--=N j j e
N N e
W ωω
ωω
在matlab 中调用w=triang(N)函数，N 为窗函数的长度。

w=triang(N-2)等价于
bartlett(N)。

（c ）汉宁(Hanning)窗，又称升余弦窗
)
()]1
2cos(
1[2
1)(n R N n n w N --=
π
其频率响应和幅度响应分别为：
)]
1
2()1
2([25.0)(5.0)()()]}1
2()1
2([25.0)(5.0{)()2
1(-+
+--
+==-+
+--+=---N W N W W W e
W e
N W N W W e
W R R R a
j N j R R R j πωπωωωωπωπωωωω
ω
在matlab 中调用w=hanning(N)函数，N 为窗函数的长度
（d ）汉明(Hamming)窗，又称改进的升余弦窗
)
()]1
2cos(
46.054.0[)(n R N n n w N --=π
其幅度响应为：)]1
2()1
2([23.0)(54.0)(-+
+--
+=N W N W W W R R R πωπωωω
在matlab 中调用w=hamming(N)函数，N 为窗函数的长度
（e ）布莱克曼(Blankman)窗，又称二阶升余弦窗
)
()]1
4cos(
08.0)1
2cos(
5.042.0[)(n R N n N n n w N -+--=ππ
其幅度响应为：
)]
1
4()1
4([04.0)]
1
2()1
2([25.0)(42.0)(-+
+--
+-++--
+=N W N W N W N W W W R R R R R πωπωπωπωωω
在matlab 中调用w=blackman(N)函数，N 为窗函数的长度
（f ）凯泽(Kaiser)窗
1
0,)
()
)]1/(21[1()(02
0-≤≤---=
N n I N n I n w ββ
其中：β是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来，β越大，过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。

I0(·)是第一类修正零阶贝塞尔函数。

在matlab 中调用w=kaiser(N, beta)，函数N 为窗函数的长度，beta 为窗函数的参数。

三、实验内容：
1．实现下面系统的级联型结构和并联型结构：
3
2
1
2
1
6
13
16113
23
53)(------
+
+
++
=
z
z
z
z z z H 。

解：级联型： clear all
b=[3,5/3,2/3]; a=[1,1/6,1/3,-1/6];
[b,a] = eqtflength(b,a); %制造b ，a 长度相等； [z,p,k]=tf2zp(b,a); sos=zp2sos(z,p,k); 运行结果为sos =
3 0 0 1 -1/3 0 1 5/9 2/9 1 1/2 1/2 可得级联型系统函数为
2
1
2
1
1
2
12
11929513113)(-----+
+
++-
=z
z
z z z
z H
并联型：
b=[3,5/3,2/3]; a=[1,1/6,1/3,-1/6]; [b,a] = eqtflength(b,a); [r,p,k]=residuez(b,a); R1=[r(1),r(2)]
P1=[p(1),p(2)]
[b1,a1]=residuez(R1,P1,0) [b2,a2]=residuez(r(3),p(3),0) 运行结果为
r = 1/2 - 1012/1785i ，1/2 + 1012/1785i ，2 p = -1/4 + 506/765i ， -1/4 - 506/765i ，1/3 k = []
b1 =1 1 0 a1 =1 1/2 1/2 b2 =2 0 a2 =1 -1/3
其中R1为共轭复数留数所构成的向量，P1为共轭复数极点所构成的向量，用函数
[b1,a1]=residues(R1,P1,0)可获得对应的实系数二阶分式的分子、分母多项式系数，b1,a1为有理分式的分子分母多项式系数向量。

可得并联型系统函数为
2
1
1
1
2
121113112)(----+
+
++-
=
z
z
z z
z H 2 矩形窗
N=16;
w=boxcar(N); nn=0:(N-1); figure stem(nn,w) axis([0 20 0 1]) [H,W]=freqz(w,1); figure
plot(W/pi,abs(H))
四、作业：
（1）画出三角形窗、汉宁窗、汉明窗和布莱克曼窗的时域和频域图，并对比他们的主瓣宽度，得出你的结论。