神奇的对数恒等式、万能的换底公式！最全对数性质硬科普！

神奇的对数恒等式、万能的换底公式！最全对数性质硬科普！

我们从小学习数学运算的顺序是这样的：

①首先学习加法运算，然后学习加法运算的逆运算—减法运算；

a+b=c，c-b=a；

②其次学习乘法运算，然后学习乘法运算的逆运算—除法运算；

a×b=c，c÷b=a；

③再次学习乘方运算，然后学习乘方运算的逆运算—开方运算；

a^n=b，(n)√(b)=a；

③最后学习指数运算，然后学习指数运算的逆运算—对数运算。

a^n=b，log(a,b)=n。

值得注意的是，从逻辑上看，显然应该是先有指数，再有对数。然而，现实的历史发展却恰恰相反，对数确实是早于指数先出现的，这也成为数学史上的一个珍闻。今天我们就来认识一下对数。

对于指数运算：a^b=N；a称为底数，a＞0且a≠1；N称为幂，N＞0；b称为指数。

等价于对数运算：log(a,N)=b；a称为底数；N称为真数；b称为对数。

a^b=N↔log(a,N)=b

a＞0且a≠1，N＞0。

例如：2^3=8↔log(2,8)=3

根据对数定义，很容易得出以下结论：

log(a,a)=1，log(a,1)=0，log(a,a^2)=2

log(a,1/a)=-1，log(a,√a)=1/2

另外，还有以下两个定义：

①底数为10的对数称为常用对数，表示为：log(10,N)=lg(N)

②底数为自然常数e的对数称为自然对数，表示为：log(e,N)=ln(N)

接下来我们来复习对数的基本运算法则：

①log(a,M×N)=log(a,M)+log(a,N)

②log(a,M/N)=log(a,M)-log(a,N)

证明：log(a,M)=x，log(a,N)=y

M=a^x，N=a^y

M×N=(a^x)×(a^y)=a^(x+y)

M/N=(a^x)/(a^y)=a^(x-y)

log(a,M×N)=x+y=log(a,M)+log(a,N)

log(a,M/N)=x-y=log(a,M)-log(a,N)，证毕！

③推论：log(a,M1×M2×…×Mn)

=log(a,M1)+log(a,M2)+…+log(a,Mn)

④log(a,M^n)=n×log(a,M)

证明：

log(a,M^n)=log(a,M×M×…×M)

【n个M】

=log(a,M)+log(a,M)+…+log(a,M)

【n个log(a,M)】

=n×log(a,M)，证毕！

⑤log(a^b,M)=(1/b)×log(a,M)

证明：log(a^b,M)=x

M=(a^b)^x=a^(b×x)

b×x=log(a,M)

log(a^b,M)=x=(1/b)×log(a,M)

证毕！

⑥log(a^b,M^n)=(n/b)×log(a,M)

证明：log(a^b,M^n)

=n×log(a^b,M)

=n×[(1/b)×log(a,M)]

=(n/b)×log(a,M)，证毕！

⑦log(a,a^n)=n

⑧log(a^n,a)=1/n

证明：

log(a,a^n)=n×log(a,a)=n×1=n

log(a^n,a)=(1/n)×log(a,a)=(1/n)×1=1/n

证毕！

基本公式就先介绍到这里，接下来我们来讨论今天的主题：对数恒等式与换底公式。

我们首先来证明对数恒等式。

对数恒等式：a^[log(a,N)]=N

证明：log(a,N)=x，a^x=N

a^x=a^[log(a,N)]=N，证毕！

对数恒等式

对数恒等式a^[log(a,N)]=N有着非常重要的应用，利用这个恒等式，可以将任何正数x表示成指数与对数相结合的形式，而指对数的底数a可以为任何不等于1的正数。

x=a^[log(a,x)]=2^[log(2,x)]

=10^[lg(x)]=e^[ln(x)]

尤其是利用x=e^[ln(x)]的变换，可以很容易地求出一些复杂函数的导出，例如幂指函数f(x)=x^x。

f(x)=x^x={e^[ln(x)]}^x=e^[x×ln(x)]

具体求导的过程，我们下节课再讲。

接下来我们来证明换底公式。

换底公式：

log(a,N)=log(m,N)/log(m,a)

证明：log(a,N)=x，a^x=N

log(m,N)=log(m,a^x)=x×log(m,a)

log(a,N)=x=log(m,N)/log(m,a)

证毕！

换底公式

换底公式最强大之处在于可以将对数的底数换成任意底数。

log(a,b)=log(2,b)/log(2,a)

=lg(b)/lg(a)=ln(b)/ln(a)

利用换底公式

log(a,b)=lg(b)/lg(a)，我们进一步可以推出：

①log(a,b)×log(b,c)=log(a,c)

证明：log(a,b)×log(b,c)

=[lg(b)/lg(a)]×[lg(c)/lg(b)]

=lg(c)/lg(a)=log(a,c)，证毕！

②log(a,b)×log(b,a)=1

证明：log(a,b)×log(b,a)

=log(a,a)=1，证毕！

在计算器还没有普及之前，人们正是利用换底公式来计算对数值。我们首先制作了常用对数表，然后就可以将任何一个对数换底为常用对数，通过查表即可计算出对数值。

例如：log(2,3)=lg(3)/lg(2)

≈0.4771/0.3010≈1.585

常用对数表

另外，利用对数表，我们也可以很快比较两个指数的大小。

例如：比较2^300和3^200的大小

lg(2^300)=300×lg(2)≈300×0.3010=90.3

lg(3^200)=200×lg(3)≈200×0.4771=95.42

lg(2^300)＜lg(3^200)，2^300＜3^200

好了，今天就先聊到这里，大家下来后可以再自行证明以上公式，加深理解。