新人教版必修2高中物理圆周运动问题

圆周运动问题
●高考趋势展望
圆周运动问题涉及物体的匀速圆周运动、竖直面内的圆周运动、天体的圆周运动、带电粒子在磁场或复合场中的圆周运动，这些都是高考的热点问题.
从近年来高考对圆周运动问题的考查看，常常结合万有引力定律考查天体的圆周运动，结合有关电学内容考查带电粒子在磁场或复合场中的圆周运动.
●知识要点整合
1.对于做匀速圆周运动的物体，只存在改变速度方向的向心加速度，其所受到的所有外力的合力即为产生向心加速度的向心力.对于做变速圆周运动的物体，不仅存在改变速度方向的向心加速度，还存在改变速度大小的切向加速度，其中产生向心加速度的向心力应为物体所受各力沿半径方向分力的矢量和.
2.在重力场中沿竖直轨道做圆周运动的物体，在最高点最易脱离圆轨道.对于沿轨道内侧和以细绳相连而做圆周运动的物体，轨道压力或细绳张力恰为零——即只有重力充当向心力时的速度，为完成圆周运动在最高点的临界速度.其大小满足
方程：mg =m R
v
2
临,所以v 临=Rg .对于沿轨道外侧或以硬杆支持的物体，在最高点
的最小速度可以为零.
3.研究天体运动〔包括研究人造地球卫星的运动〕的基本方法，是把天体的运
动看做匀速圆周运动，天体间的万有引力提供所需要的向心力.即：G r
v m r Mm 2
2 =mr
ω2.另外，一般不考虑天体自转因素的影响，而认为物体在某天体表面的重力，大
小等于天体对物体的万有引力，即：mg =G
2
R Mm
. 4.根据不同的需要，可以发射各种不同轨道的卫星〔如极地卫星、太阳同步卫星、地球同步卫星等〕，对于任何轨道的人造地球卫星，地球总位于其轨道中心.对于地球同步卫星，其轨道平面只能和赤道平面重合，且只能发射到特定的高度，以特定的速率运行.
●精典题例解读
［例1］如图1-5-1，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动.现给小球一初速度，使它做圆周运动.图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，那么杆对球的作用力可能是
图1-5-1
A.a 处为拉力，b 处为拉力
B.a 处为拉力，b 处为推力
C.a 处为推力，b 处为拉力
D.a 处为推力，b 处为推力
[解析] 因改变小球速度方向的向心力总是指向圆心的，故在最低点a 处，无论小球速度大小如何，杆提供的只能是拉力，且拉力应大于重力，才能合成指向圆心的向心力.而在最高点b 处，重力的方向是指向圆心的，可充当向心力.当小球需要的向心力刚好等于重力时〔即在b 处球速v b =Rg 时——R 为圆轨道半径〕，杆处于自由状态，既不产生拉力，也不产生推力.当小球需要的向心力小于重力时〔即当v b ＜Rg 时〕，球对杆产生挤压作用，杆产生沿半径向外的推力.而当球需要的向心力大于重力时〔即当v b ＞Rg 〕，球有离心运动趋势而拉伸杆使杆产生对球的拉力.总之，杆在a 处提供的只能是拉力，而在b 处，那么可能提供拉力、推力或不提供任何作用力.因此，正确答案为A 、B.
小结：在解答竖直面内的圆周运动问题时，对球在最高点的临界情况，要注意两类模型的区别：绳和杆，绳只能提供拉力，而杆既能提供拉力又能提供支持力.
［例2］采用不同的方法可以估计银河系的质量.按某种估计认为：在距银河系中心R =3×109R 0(R 0是地球的公转半径)范围内聚集的质量M 1=1.5×1011M 0〔M 0是太阳的质量〕.同时离银河系中心距离R 处有一颗星球绕银河系中心运转的周期T =3.75×108年.假设计算时可认为银河系的质量聚集在其中心，那么银河系“暗含着的质量〞，即半径为R 的球体内未被发现的天体质量约为M 0的多少倍？
[解析] 根据天体的圆周运动求质量，其依据就是万有引力提供向心力，即
G r T
m r Mm 22
24π=
所以，根据该式只能求出圆心处天体的质量：
M =2
324GT r π 星球绕银河系做圆周运动的向心力由银河系对其的万有引力提供，即：2
R m GM 星银=m 星
R 〔T π2〕2
地球环绕太阳做圆周运动的向心力由太阳对地球的万有引力提供，假设设地球公转周期为T 0，那么有：
2
002
0)2(T R m R m GM π地地=
所以M 银=030
2
83
092030232
0)1075.3()103(1M R R M R T R T ⨯⨯⨯==1.92×1011M 0.
因而银河系“暗含的质量〞为：
ΔM =M 银-M 1=1.92×1011M 0-1.5×1011M 0 =4.2×1010M 0. 小结：求解天体的圆周运动问题的依据就是万有引力提供向心力，其基本方程有
G ⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧=m a
r
T m r m r v m r Mm 222224πω ［例3］如图1-5-2所示，细线一端系住一质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动.假设球带正电q ,空间有竖直向上的匀强电场E ，为使小球能做完整的圆周运动，在最低点A 小球至少应有多大的速度？
图1-5-2
[解析] 求解此题的关键是找出带电粒子在复合场中做圆周运动的“等效最高点〞，以便求出小球在“等效最高点〞的临界速度，进一步求出小球在最低点A
的速度.
由于m 、q 、E 的具体数值不详，故应分别讨论如下：
（1） 假设qE ＜mg ，那么等效重力场的方向仍向下，等效重力加速度g ′
=m
qE mg -.因此在最高点的临界速度
v B =m
R
qE mg g R )(-=
'.
由动能定理，得：
mg ′·2R =21mv A 2-2
1
mv B 2
整理，得：v A =m qE mg R /)(5-.
〔2〕假设qE ＞mg ,那么等效重力场的方向向上，等效重力加速度g ′=
E
mg
qE -.在该等效重力场中小球轨迹“最高点〞〔实际为问题中的最低点—即A 点〕的临界
速度为v A =g R '=m R mg qE /)(-.
●应用强化训练
1.一小球用轻绳悬挂在某固定点，现将轻绳水平拉直，然后由静止释放小球，那么小球由静止开始运动至最低位置的过程中
①小球在水平方向的速度逐渐增大 ②小球在竖直方向的速度逐渐增大 ③到达最低点时小球线速度最大 ④到达最低点时绳中的拉力等于小球重力
正确的选项是
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④
[解析] 小球由释放摆至最低点的过程中，轻绳拉力始终有水平分力存在，因此小球水平方向始终存在加速度，所以其水平方向速度越来越大，即①对.而竖直方向轻绳拉力的分量越来越大，由小于重力变为大于重力，其竖直方向加速度先减小至零，再反向增大，所以竖直方向的速度先增大后减小，故知②、④错.另由小球下摆过程中机械能守恒，摆至最低点时，重力势能最小，动能最大，所以最低点线速度最大，即③对.正确选项为A.
[答案] A
2.由上海飞往洛杉矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中，如果保持飞行速度的大小和距离海面的高度不变，那么以下说法正确的选项是
A.飞机做的是匀速直线运动
B.飞机上的乘客对座椅压力略大于地球对乘客的引力
C.飞机上的乘客对座椅压力略小于地球对乘客的引力
D.飞机上的乘客对座椅的压力为零
[解析] 因地球为球形，飞机飞行中实际在绕地心做圆周运动，其加速度——向心加速度总是向下指向地心，乘客随飞机运动亦有指向地心向下的加速度，处于失重状态，故对座椅的压力小于其重力，即答案C 对.
[答案] C
3.〔2003年北京春季，20〕在地球〔看作质量均匀分布的球体〕上空有许多同步卫星，下面的说法中正确的选项是
A.它们的质量可能不同
B.它们的速度可能不同
C.它们的向心加速度可能不同
D.它们离地心的距离可能不同
[解析] 同步卫星离地球高度、运行速度、向心加速度均是确定的值.所以B 、C 、D 皆错，A 对.
[答案] A
4.如图1-5-3所示，两半径不同而内壁光滑的半圆轨道固定于地面，一个小球分别从与球心在同一水平高度的A 、B 两点从静止开始自由下滑，通过轨道最低点时
图1-5-3
①小球对两轨道的压力相同 ②小球对两轨道的压力不同 ③小球的向心加速度不相等 ④小球的向心加速度相等
正确的选项是
A.①④
B.②③
C.①③
D.②④
[解析] 设轨道半径为R ，那么由机械能守恒可得小球到达最低点时速度
v =gR 2，由牛顿第二定律，得：F -mg =m R v 2,所以F =mg +m R
v 2
=3mg .可见，小球对轨
道的压力与轨道的半径无关，同样最低点处小球的向心加速度也与轨道半径无关，
恒为2g .
[答案] A
5.如图1-5-4所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直面内做圆周运动，那么
图1-5-4
A.当小球运动到最高点a 时，线的张力一定最小
B.当小球运动到最低点b 时，小球的速度一定最大
C.当小球运动到最高点a 时，电势能一定最小
D.小球在运动过程中机械能守恒
[解析] 小球所受电场力方向竖直向上，与重力方向相反，但由于电场力和重力的大小关系不确定，所以小球所受“等效重力〞的方向不确定，因而小球在哪点速度最大，线的弹力最大，是不确定的.另由电场力做功和电势能变化的关系可知，小球在最高点时电势能一定最小.
[答案] C
6.赤道地区地面附近的重力加速度g =9.780 m/s 2，地球赤道半径R =6378 km ，地球自转周期T =24 h.试根据以上数据计算通讯卫星离地的高度和运行速度.
[解析] 地球对通讯卫星的万有引力是通讯卫星做圆周运动的向心力.设通讯卫星质量为m ，离地高度为h ，地球质量为M ，那么由牛顿第二定律，得：
22
24)()(T
h R m h R GMm π+=+
又物体在地球表面的重力近似等于地球对物体的万有引力，
即：mg =2
R
GMm
联立以上两方程解得：
h =R g T R -32
224π
=3
2
22314
.34780.9)243600()106378(⨯⨯⨯⨯⨯ m-6378×103 m
=3.58×107 m
所以v =T
h R )
(2+π
=24
360010)58.36378.0(14.327⨯⨯+⨯⨯ m/s
=3.07×103 m/s.
[答案] 3.58×107 m ；3.07×103 m/s
7.如图1-5-5所示，A 、B 分别为竖直固定光滑轨道的最低点和最高点.质量为
m 的小球通过A 点的速率为25 m/s ，试求它通过B 点速率的最小值.
图1-5-5
[解析] 由机械能守恒定律知，轨道半径越大，小球通过B 点速率越小，但小球能通过最高点的速率应受圆周运动规律的制约，当小球通过最高点重力恰好充当向心力时，其对应的速度即为所求.
设轨道半径为R 时小球恰通过B 点的速率为v ，那么由机械能守恒定律，得：
21mv 2+2mgR =2
1
mv 02 又因：mg =m R
v 2
解得：v =2 m/s [答案] 2 m/s
8.如图1-5-6所示，长为1 m 的轻杆可绕距右端0.6 m 的O 轴在竖直平面内无摩擦地转动.质量均为m =20 g 的A 、B 两球分别固定在杆的两端.现将杆由水平位置释放问轻杆转到竖直位置时两球速度各多大？杆对轴的作用力如何？
图1-5-6
[解析] 两球系统在转动过程中机械能守恒，即：
mg ·OB -mg ·OA =21mv B 2+2
1mv A 2
又
OB
OA
v v B A =
代入数据解得：v A =1.1 m/s,v B =1.66 m/s 分别对A 、B 两球应用牛顿第二定律，得：
F B -mg =m ·OB v
B 2
F A +mg =m ·OA
v
A 2
解得：F B =0.29 N,F A =-0.14 N ，“-〞号说明杆对A 的作用力为支持力. 所以杆对轴的作用力大小为：
F N =F A ′+F B ′=|F A |+F B =0.43 N,方向向下.
[答案] v A =1.1 m/s,v B =1.66 m/s ；杆对轴的作用力大小为0.43 N ，方向竖直向下
9.如图1-5-7所示，在竖直平面内，一光滑圆环固定于一水平向右的匀强电场中，在最低点有一个初速度为v 0、质量为m 、带电量为+q 的小球，qE =mg .试求：
图1-5-7
〔1〕为使小球能完成圆周运动而不脱离圆环，圆环的半径R 最大为多大？
〔2〕小球在运动过程中的最大速率.
[解析] 〔1〕等效重力的大小：mg ′=mg qE mg 2)()(22=+,等效重力的方向为右偏下45°，最易脱离轨道处在圆环上偏左45°处.设恰不脱离轨道时轨道半径为R ，那么有：
mg ′=m R
v 2
由动能定理，得：
-mg ′R (1+cos45°)=21mv 2-2
1
mv 02
解得：R =g
v )223(2
+
〔2〕小球在环的右偏下45°处时速率最大.由动能定理，得：
mg ′R (1-cos45°)= 21mv m 2-21
mv 02
所以，v m =)45cos 1(22
0︒-'+R g v =
7
2
515-v 0
[答案] 〔1〕v 02/(32+2)g 〔2〕
7
2
515-v 0 10.1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国Max Planck 学会的一个研究组宣布了他们的研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞〞.所谓“黑洞〞，它是某些天体的最后演变结果.
〔1〕根据长期观测发现，距离某“黑洞〞6.0×1012 m 的另一个星体〔设其质量为m 〕以2×106 m/s 的速度绕“黑洞〞旋转，求该“黑洞〞的质量M ；〔结果要求两位有效数字〕
〔2〕根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式为v =
R
GM
2,其中引力常量G =6.67×10-11 N ·kg -2,M 为天体质量，R 为天体半径，且逃逸速度大于真空中光速的天体叫“黑洞〞.请估算〔1〕中“黑洞〞的可能最大半径.〔结果只要求一位有效数字〕
[解析] 〔1〕设“黑洞〞质量为M ，天体质量为m ，它们之间的距离为r ，根据万有引力等于向心力，有
r
v m r GMm 2
2
=,
M =11
12
2621067.6100.6)102(-⨯⨯⨯⨯=G r v kg
=3.6×1035 kg.
〔2〕设“黑洞〞的可能半径为R ，质量为M ，依题意，须满足R
GM
2＞c ,即有R ＜
2
2c GM
, 所以“黑洞〞的可能最大半径
R max =2
835
11)103(106.31067.62⨯⨯⨯⨯⨯- m
=5×108 m.
[答案] (1)3.6×1035 kg (2)5×108 m。