储油罐问题

储油罐的变位识别与罐容表的标定
摘要
本文针对储油罐的变位识别和罐容表标定问题，通过积分、几何计算、非线性拟合对问题进行了讨论，给出了储油罐变位参数的确定以及罐容表的标定方法。

在问题一中，我们讨论了当储油罐无变位时的体积公式，用积分的方法求出油面高度为h时的储油量（体积），并且根据实验值对模型进行修正，当储油罐以角纵向倾斜变位时，通过体积相等假设，根据几何关系求出关于h的表达式，代入修正后的体积公式；当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。

代入附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。

根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。

由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格），从而验证了模型的正确性。

对于问题二中的储油罐，储油罐中的油液体积分为中间圆柱形和两边球冠体两部分，我们先将问题进行简化考虑，得出了储油罐水平卧放时油量与浮油子高度的函数关系；再考虑储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）的一般情况。

当储油量与油位高度的数据已知时，可以通过非线性拟合对α和β的值进行求解。

但是从附件二中得不到变位后的初始储油量，只有储油量的差值，所以我们将初始储油量也作为一个需要拟合的量，引入了枚举法，通过对α和β进行枚举，得到最优的变位参数α和β以及初始储油量。

将用初始储油量计算出的储油量作为在该过程中，我们进行近似处理，得到了每一种情形下实际储油罐罐内储油量与油位高度的函数关系。

最后根据变为参数变位时，得到油位高度间隔为10cm的罐容表示定值。

关键词:变为识别，微元法，非线性规划
一、问题的重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，我们可以采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

由上所述，用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.1°的纵向变位两种情况做了实验。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

进一步利用实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、模型假设
1．忽略温度及气压等条件对汽油的密度的影响的影响；
2．忽略注油口、出油口、游浮子所占体积；
3．不考虑储油罐的厚度；
4.油的挥发速度很慢，忽略因油的挥发而造成储油量的减少；
5.储油罐在偏移的过程中，油位探针始终与油罐底面垂直。

三、问题分析
问题一中用小椭圆储油罐分别对罐体无变位和纵向倾斜进行实验，研究变位对罐容表的影响，因此我们分别建立变位前和变位后的罐容表读数与罐内油体积的函数关系式，借助高等数学积分的方法，求出储油量与油高读数的函数关系式，并对倾斜的储油罐进行容量标定。

问题二是一个求实际储油罐变位参数的问题，由于平位时储油罐内液体的体积是一个比较规则的立体图形，因此可以用三重积分的方法求出平位时不同高度时液体体积的理论值，即罐容表的理论值，然后再利用积分的方法求出罐内液体体积与纵向偏移角度、横向偏移角度的关系,建立一个体积与变位参数的关系模型，用这个关系模型求出的相关数据和题中给出的数据进行对比，利用最小二乘法实际的变位参数。

四、符号说明
h油位高度；
V表示储油罐中油的体积；
S表示柱体底面积；
L表示储油罐圆柱体部分的长度；
a表示任一椭球截面的长半轴；
b表示任一椭球截面的短半球
1
a表示油浮子在圆柱体高方向上投影至两端的较小值;
1
h表示储油罐接地一端油面到地面得距离;
0;
h表示球冠高
b表示球冠底半径;
α表示纵向倾斜角度;
β表示横向倾斜角度;
r 为弓形所在圆的半径； h 2为弓形的高。

五、模型的建立与求解
问题一：
当储油罐体无变位时，储油罐内的油所占空间为柱体，
V S L =
其中S 为柱体底面面积，L 为柱体的长度。

2h
b
S x dy -=⎰
22
22
1x y a b +=
22221x y x a b +=⇒=由
h
b S -=⎰
221
(arcsin )2
a h S
b b b b π=
+ ()dV S z dz =
2
2()1(arcsin 2L
V S z dz
a h
b L h b b b b π=-⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦
⎰ 利用Matlab 代人附件1实验数据中的各高度得到储油罐中的理论油量V 。

由附件1实验数据中进油量、出油量及储油罐罐内油量初值可以得到储油罐中的
实际储油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差。

进油后理论储油量与实际储油量随高度的变化规律如图2所示：
图2
出油后理论储油量与实际储油量随高度的变化规律如图3所示：
图3
（1）当油浮子的高度在10tan h h z α≤≤-时，截面面积为：
(
(1tan 01221()tan()tan()1arcsin 2h z S z a
h z b b h z b a b b b b α
ααπ-==--⎛--⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎜⎠ 所以油罐体积为：
(
(1
11tan 10
tan 10
tan 2210
()()tan()tan()1arcsin 2h h h V f h S z dz
a
h z b b
h z b a b b b b αα
α
ααπ===--⎛--⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎜⎠⎛⎜⎠⎰ 因为1tan h h a α=-，1tan tan h a z b
t b
αα+--=令
11tan 2113/222
111(arcsin )tan 2
tan tan arcsin tan tan()tan()111tan()23h a b
b
b V ab t dt h a b h a b ab b b h a b h a b ab b b απααααααπα-+--=+⎛+-+-⎛⎫ =+ ⎪ ⎝⎭⎝⎛⎫⎛⎫+-+-⎛⎫⎛⎫ ⎪+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎜⎠ （2）当油浮子的高度在1tan 2tana l h b a α<<-时，截面面积为：
(
(1tan 01221()tan()tan()1arcsin 2h z S z a
h z b b h z b a b b b b α
ααπ-==--⎛--⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎜⎠ 所以油罐装油的体积为：
()0
01arcsin 2L
L
V S z dz
ab dz ααααπ=⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎜⎠⎰112
h+a tan()-ztan()-b h+a tan()-ztan()-b b b
将α11h=h -a tan()，t αα=1h+a tan()-ztan()-b
令
b
1
1(h+a tan(a)-Ltan(a)-b)/B
h+a tan(a)-b)/b 1(h)arcsin()2t dt πα⎛⎫+
⎪⎝
⎭⎛⎜
⎠2(-ab V =tan() 1tan(),
h a b
q b
ααα+-=
1h+a tan()-Ltan()-b p=
b
23
3
3
2
1
1
V(h)sin()sin()tan()3
3
1tan()3ab q q p p ab αα⎛=-
++
⎝⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（3）当油浮子的高度L tan 2b h α<≤时，其中，1122tan ,
tan .
h h h h b a h l h αα∆=-=-+⎧⎨=-∆⎩，
此时截面面积为：
(
(2tan 01221()()tan()()tan()1arcsin 2h z S z a h z a b b h z a b a b b b b α
ααπ-==---⎛---⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎜⎠所以油罐装油的体积为：
1tan()2tan()
tan()
()L h b a L
V h z ααα-+-=⎰s(z)d
111()tan()()tan()22tan()3tan()
,,h z a b h L a b h a b L p q b b b
αααα------+-
-==
令
t=
223
3
1()arcsin()tan()21
1
sin()sin()tan()3
3
q
p ab V h t dt ab q q p p παα-⎛⎫=+
⎪⎝⎭
⎛=-
+ ⎝⎛⎜⎠
由附录实验数据中进油量、出油量及储油罐罐内油量初值可以得到储油罐的实际油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差。

图4
图5
根据模型一，对系统误差进行修正后，我们可以计算求得模型所需的罐容表，详见下表。

表1
问题二：
1.当储油罐水平放置无横向与纵向倾斜时，设油高为h，建立空间直角坐标系，如图：
图6
储油罐中储油的体积V 是圆柱体中储存油的体积与两端的球罐体中油的体积之和，根据储油罐的对称性，两端的球罐体中油的体积是相等的。

用垂直于z 轴 的平面截储油罐，根据截面法求体积公式可求出储油的体积。

00h b ≤≤当时
对于圆柱体部分：2200()y b b +-=2截面圆的方程为x
2200()y b b x +-=⇒=2由x
2
2000022
0000
0()212sin 241(sin 2
h
s z y b b arc b b h b h b b arc b b ππ=⎡⎤⎫⎛⎫-⎢⎥=+⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎭⎣⎦
⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭⎰
截面
102
2
0000000
0()1(sin 2
L v s z dz
h b L h b L b arc b L b π=⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭⎰体积 对于两端的球罐体，根据对称性，两端的球罐体储油体积相等，如图所示：
图7
根据几何关系可得：
22
222
3030
3
R =(R )2h b h b R h +-+⇒=
用平面z z =截球罐体，设截得小圆半径为1r ，根据几何关系得：
22'2'1()r R d z d =-+⇒=
)
2
22
1
1R -
r z
r ==截面圆的油高为'h ，'10()h r b h =-
-
'
'221
111
1()21(sin 2
h z h r h r r arc r r π=⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭⎰
截面 S 3h R =
)
)
33
33
33
33
20
2
2
2
2
2()
2(
2sin
R-
h
h h
b
h
h h
b
h
h h
b
h
h h
b
S z dz
h b
R z arc dz
z dz
π
-
-
-
-
=
=-
⎛⎫
⎪
⎛⎫
+-
⎪
⎝⎭
+
⎛
⎜
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜⎜
⎠
⎛⎜
⎠
⎰
V
积分解得：
)
323
23
33
23
3
32
arctan
263
2
arctan
3
h h R R
hR h
V h R
h R h
R
ππ⎛⎫
-+
==----
⎛⎫
-
+
)
12
3
2
2223
000
2
4
33
4
2arctan arctan
3
V V V
h
hR hL
L b R b R
π
π
=+
=-+
⎡⎤
+-++
⎢⎥
⎣⎦
2．若考虑纵向倾角α。

由于实际储油罐相当于圆柱体与球冠体组成，故用垂
直于油罐的平面切割油罐，与罐中的油相交，所截的平面为弓形。

已知，劣弧弓形的面积公式为：
21
cos(
r h
S r r h
r
-
-
=--（1）
优弧弓形的面积公式为：
21
(cos)(
h r
S r h r
r
π-
-
=-+-（2）
其中r为弓形所在圆的半径；h为弓形的高。

所以罐中油的体积微元为：21
[cos (r h
dv r r h dx r
--=--
图8
为了保证罐内油体积的一般性，我们先对图8所示情况进行求解。

则：
V V V V =++ⅠⅡⅢ（3）
对于第二部分的体积的求解，可类比模型一中的方法的第二部分体积的微元为
21
1111(2tan tan )
[cos (2tan tan )
R H x dv R R H x R dx
αααα--+-=---+（4）
故其体积为：
82111101(2tan tan )[cos (2tan tan )
R H x V R R H x R dx
αααα--+-=---+⎰Ⅱ（5）
对于第一部分体积可用下图求解油高：1H GT =。

图9
图中:
R OA =，1R AI =，2R MN =，1CI =，2221(1)R R R --= ⇒ 1.625R =
2222(1)R R R x =--+ ⇒ 2R =1H MT MG =-，1MG R BQ PQ =--，2tan BQ H α=+，tan PQ x α= 所以，121(2tan tan )H R R H x αα=---- （6）
则：21
21
2212
[cos
(R H dv R R H dx R --=--Ⅰ 然后再利用下图确定积分区间[0，1x ]：
图10
图中 CM 即为所要求解的1x 。

CI=1 OI=R-1 IQ=()12tan R H α-+ KI=(R-1)tan α 所以KN=KQ cos α=()()1[1tan 2tan ]cos R R H ααα-+-+=OP
EQ=PE-PN+NQ NQ=KQ sin α
OK=PN=1
cos R α
-
联立以上各式可得：
()()111
cos 1tan 2tan sin }cos R x R R H ααααα
-=+-+-+⎡⎤⎣⎦ （7）
1
21
21
2
2102
[cos (x R H V R R H dx R --=--⎰Ⅰ （8） 对于第三部分的体积，方法与第一部分的体积求解相似。

其体积为：
（8）式中：
()()211
cos 1tan 6tan sin }cos R x R R H ααααα
-=-----⎡⎤⎣⎦ （
9）
3R =（10），()2316tan tan H R R H x αα=--++ （11）
所以：
1
21
21
2210
22tan 21
1tan 10
1
1[cos ((2tan tan )
[cos (2tan tan x H R H V R R H dx R R H x R R R H x dx αααααα-+--=---+-+-
--+
⎰⎰
下面再对横向偏移角β进行分析研究
图11
图中 0h 为罐容表的读数，所以真实液面高度为:
10111cos ()cos cos H R h R R R βββ=+-+-
即：011()cos H h R R β=-+ （12）
所得的体积关系式只需将上述体积关系式中的H 换为式(12)，即可得出。

经以上分析,我们得到模型二如下:
()()()()()()()()1
1
2
32132tan tan 1200
81230
001847523000()(), 06tan (), 6tan 1.53tan ()V(,,)H x x x x x x x fvol x dx fvol x dx H fvol x dx fvol x dx fvol x dx H fvol x dx fvol x dx fvol x dx fvol x dx fvol x dx h α
α
ααααβ++≤≤++≤≤-++++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当当()()()()()11
212
1812475630
00,
1.53tan 1.57tan ,
x x
x x x H fvol x dx fvol x dx fvol x dx fvol x dx R dx ααπ-≤≤+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当()()()12tan 12tan 7112000
1.57tan 32tan 28()(),32tan 3H x H fvol x dx R fvol x dx fvol x dx H α
α
ααπα+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎪⎪⎪+≤≤-⎪
⎡⎤⎪+-+⎢⎥⎪⎣⎦-≤≤⎩
⎰⎰⎰当 当⎪
⎪
罐容表标定值
H(mm) V （L ） H （mm ） V(L) 0 46.40662 1500 30232.31 100 354.5192 1600 33046.07 200 1061.754 1700 35855.97 300 2214.65 1800 38646.71 400 3691.607 1900 41402.87 500 5419.525 2000 44108.69 600 7356.6 2100 46747.98 700 9471.698 2200 49303.87 800 11739.27 2300 51758.56 900 14137.18 2400 54092.97 1000 16645.5 2500 56286.15 1100 19245.85 2600 58314.42 1200 21920.95 2700 60149.79 1300 24654.29 2800 61756.69 1400
27429.93
2900
63083
表2
6模型的评价
优点：
1）本文借助高等数学微积分的思想，建立罐体在变位前后标定罐容表的数学模型，得出罐内储油量与油位高度及变位参数的函数关系式，理论基础成熟，可信度较高。

2）该模型以微积分为基础，简单易懂，运用多种拟合方法使结果更加精确，又
011()cos H h R R β=-+
有相应的软件（Matlab软件）支持，算法简单，容易推广。

缺点:
在数值计算中存在误差，并且模型二中的β值的稳定性不是很好。

7参考文献
【1】姜启源，数学模型（第三版）.高等教育出版社，2003
【2】石辛民，基于MATLAB的实用数值计算.清华大学出版社，2006
【3】黄永建，MATLAB语言在运筹学中的应用，湖南大学出版社，2005
【4】李致荣，椭圆柱体卧式油罐容积的计算，《数学的实践与认识》，1977，2-117-26。

附录:
无变位进油
无变位出油：
变位出油：
变位进油：。