数模作业4(讨论题)

姓名：晏福刚学号：20102183 班级：数学一班一、问题描述
某部门现有资金10万元，五年内有以下投资
项目供选择：
项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；
项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；
项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；
项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；
问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大？
二、问题分析
本题为投资组合问题，且属于数学规划问题。

其中项目A前4年每年初都可以进行投资但只能在第二年末才能收回本利息。

B、C在五年中只能进行投资一次，分别在第三年、第四年初进行投资均在第五年末收回且有金额限定。

D项目每年初进行投资，每年末就能收回本利息。

并且在本题中并没有涉及到风险的问题，所以不考虑有损失。

在此题中首先目标是使第五年末的本息最大，约束条件为总的金额及个项目投资金额的限制。

三、模型假设
①假设每项投资不存在风险，不会出现损失。

②在投资中一旦投资，就在上面题中所说的时间收回本利息，不考虑中途撤销资金投资的情况。

四、符号假设
x1i 第i年用于A项目的投资金额
x2 第三年用于B项目的投资金额
x3 第二年用于C项目的投资金额
x4j 第j年用于D项目的投资金额
五、模型建立
1.约束条件和目标函数的建立
首先假设第i年用于投资A项目的资金为x1i(i=1、2、3、4)。

第三年投资B 项目的资金为x2（由于B项目投资条件的限定在五年内只能进行一次投资）。

第2年投资C项目的金额为x3。

D项目第i年投资金额为x4j(j=1、2、3、4、5)。

那么五年内的投资情况及收益情况将如下表所示：
第一年第二年第三年第四年第五年收益
A x11 x12 x13 x14 0 x14(1+15%)
B 0 0 x2 0 0 x2(1+25%)
C 0 x3 0 0 0 x3(1+15%)
下面对上述表格进行具体的表述：
总的资金为10万。

（以下单位均为：万元）
第一年初：可投资金额：10万可投资项目：A、D项目
A的投资金额：x11（将在第二年末收回）D的投资金额：x41
则必有x11+x41=10
第一年错误！未指定书签。

末：收回D项目的本利息：x41*(1+6%)
第二年初：可投资金额：x41*(1+6%) 可投资项目：A、C、D项目
A的投资金额：x12 （将在第三年末收回）C的投资金额：
x3（将在第五年末收回且x3<3）
D的投资金额：x42
则必有x12+x3+x42=x41(1+6%)
第二年末：收回第一年A项目的本利息：x11(1+15%) 第二年D的本利息：x42(1+6%)
总的收回：x11(1+15%) +x42(1+6%)
第三年初：可投资金额：x11(1+15%) +x42(1+6%) 可投资项目：A、B、D项目
A的投资金额：x13（将在第四年末收回）B的投资金额：
x2（将在第五年末收回且x2<4）
D的投资金额：x43
则必有x13+x2+x43= x11(1+15%) +x42(1+6%)
第三年末：收回第二年A项目的本利息：x12(1+15%) 第三年D项目的本利息：x43(1+6%) 总的收回x12(1+15%) +x43(1+6%) 第四年初：可投资金额：x12(1+15%) +x43(1+6%) 可投资项目：A、D项目
A的投资金额：x14（第五年末收回）D的投资金额：
x44
则必有x14+x44= x12(1+15%) +x43(1+6%)
第四年末：收回第三年A项目的本利息：x13(1+15%) 第四年D项目的本利息：x44(1+6%) 总的收回x13(1+15%) +x44(1+6%) 第五年初：可投资金额：x13(1+15%) +x44(1+6%) 可投资项目：D 项目
D的投资金额：x45=x13(1+15%) +x44(1+6%)
第五年末：收回C项目的本利息:x3(1+40%) B项目本利息：x2(1+25%) 第四年A项目的本利息：x14(1+15%) 第五年D项目的本利
息;[ x13(1+15%) +x44(1+6%)]*(1+6%)
则五年的本息总额为：
y= x3(1+40%)+ x2(1+25%)+ x14(1+15%)+[ x13(1+15%) +x44(1+6%)]*(1+6%)
由以上分析整个模型的目标函数为：
Max y= x3(1+40%)+ x2(1+25%)+ x14(1+15%)+[ x13(1+15%) +x44(1+6%)]*(1+6%)
整理得Max y=1.4x3+1.25x2+1.15x14+1.219x13+1.1236x44 约束条件整理为：
x11+x41=10
x12+x3+x42=x41(1+6%)
x13+x2+x43= x11(1+15%) +x42(1+6%)
x14+x44= x12(1+15%) +x43(1+6%)
x3<3
x2<4 (所有变量均大于0)
首先将上述约束条件转化为x11=10-x41 ①
x3=1.06x41-x12-x42<3 ②
x2=1.15x11+1.06x42-x13-x43<4 ③
x14+x44-1.15x12-1.06x43=0 ④将①带入③得x2=1.06x42-1.15x41-x43-x13+11.5<4 ⑤将②⑤式带入目标函数得
Max y= 0.0465x41-1.4x12-0.075x42-0.031x13-1.25x43+1.15x14+1.1236 x44+14.3750;
由以上转换整个模型变为以下线性规划模型：
Max y= 0.0465x41-1.4x12-0.075x42-0.031x13-1.25x43+1.15x14+1.1236 x44+14.3750;
S.t.
1.06x41-x12-x42-3<0;
1.06x42-1.15x41-x43-x13+7.5<0;
x14+x44-1.15x12-1.06x43=0;
x41>0;
x12>0;
x42>0;
x13>0;
x43>0;
x14>0;
x44>0;
六、模型求解
以上模型为线性规划模型，我们可以用Lingo或者Matlab软件进行求解
Lingo程序如下：
model:
max=
0.0465*x41-1.4*x12-0.075*x42-0.031*x13-1.25*x43+1.15*x14+
1.1236*x44+14.3750;
1.06*x41-x12-x42-3<0;
1.06*x42-1.15*x41-x43-x13+7.5<0;
x14+x44-1.15*x12-1.06*x43=0;
x41>0;
x12>0;
x42>0;
x13>0;
x43>0;
x14>0;
x44>0;
end
求解结果为：
Global optimal solution found.
Objective value: 14.37500
Total solver iterations: 2
Variable Value Reduced
Cost
X41 6.521739 0.000000
X12 3.913043 0.000000
X42 0.000000 0.3036000E-01
X13 0.000000 0.000000
X43 0.000000 0.000000
X14 4.500000 0.000000
X44 0.000000 0.2640000E-01
Row Slack or Surplus Dual
Price
1 14.37500
1.000000
2 0.000000 0.7750000E-01
3 0.000000 0.3100000E-01
4 0.000000
1.150000
5 6.521739 0.000000
6 3.913043 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
10 4.500000 0.000000
11 0.000000 0.000000
七、结果分析
由以上结果第五年获得的最大本利息为： 14.37500 其中当
X41=6.521739 X12=3.913043 X42=0.000000
X13=0.000000 X43=0.000000 X14=4.500000
X44=0.000000 时，取得最大值。

再由
x11=10-x41 x3=1.06x41-x12-x42 x2=1.15x11+1.06x42-x13-x43
x14+x44-1.15x12-1.06x43=0 我们可以算出其他变量的值，进而得到使得五年后
本利息最大的投资策略。

具体如下表（以上值按四舍五入计算保留四位，单位：
万元）：
第一年第二年第三年第四年第五年
A 3.4783 3.9130 0 4.5000 0
B 0 0 4.0000 0 0
C 0 3.0000 0 0 0
D 6.5217 0 0 0 0
即最有投资策略为：第一年分别投资A项目3.4783万元 D项目6.5217万元
第二年分别投资A项目3.9130万元 C项目3万元
第三年只投资B项目4万元第四年只投资A项目4.5万元。