一元二次方程应用题(面积问题)1

练习：
7.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠 墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该 怎么设计?
解:设苗圃的一边长为xm, 则
x(18 x) 81 化简得，x2 18x 81 0
(x9)2 0 x1 x2 9
答:应围成一个边长为9米的正方形.
解：设截去正方形的边长x厘米，
则图中虚线部分长等于_6_0__2_x_厘米，
宽等于___4_0_-_2_x__厘米
依题意得：60- 2x40- 2x 800
解得：x1 10, x2 40 经检验, x2 40不合题意,应舍去.
x 10
答：截去正方形的边长为10厘米。
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长 为（8－2x）m, 宽为 （5－2x）m,得
8
x x
5
（8－2x）
x
１８m2
x
例1.镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
A
D
解:设小路宽为x米，则
(20 2x)(15 2x) 24615 20
化简得，2x2 35x 123 0 B
C
(x 3)(2x 41) 0

x1

3,
x2


41 2
(舍去）
答:小路的宽为3米.
3：有一长方形空地，长42米，宽30米，准备 在中间开辟花圃，四周修建等宽的林荫小道， 使小道的面积和花圃面积相等，求小道的宽。 （只列方程，不求解）
二 、有关“动点”的面积问题
1)关键—— 以静代动
把动的点进行转换,变为线段的长度,
2)方法—— 时间变路程
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度;
3）常找的数量关系——
面积，勾股定理， 由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,
是解这类问题的关键.
例5 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
x 30 x 花圃
分析：由题意可知，1 花圃的面积为长 方形空地的面积的 2 ，花圃为原长 x 方形裁去小道后剩余的长方形
x 42
解：设小道的宽为x,根据题意得：
（42－2x)(30 －2x)= 1 ×42 ×30
2
练习：
4.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
挖2条和4条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证 余下的耕地面积为9600 m2，那么水渠应挖多宽？
162 162
64 （1）
64 （2）
解：设水渠的宽为xm,列方程得：
（162—2x）（64-4x)=9600，解得 x1 =1，x2 =96
（不合题意，舍去）。答：水渠的宽为1m.
分析：这类问题的特 点是，挖渠所占面积 只与挖渠的条数和渠 道的宽度有关，而与 渠道的位置无关，为 了研究问题方便可分 别把东西和南北方向 的渠道移动到一起 （最好靠一边），如 图（2）所示。那么 剩余可耕的长方形土 地的长为（1622x)m,
宽为（64-4x)m
6. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利 用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有 一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面 积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
【解析】(1)设宽AB为x米， 则BC为(24-3x)米，这时面积 S=x(24-3x)=-3x2+24x (2)由条件-3x2+24x=45 化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3 ∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8 ∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
根据题意，得 1 2x (6 x) 8
D
C
2
整理，得 x2 6x 8 0
解这个方程，得 x1 2, x2 4
Q
0 x 6 所以2秒或4秒后⊿ PBQ的
面积等于8cC中,AB=BC=8cm, 动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点
例3. 如图，在长为40米，宽为22米的 矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂 直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪 的面积为760平方米，道路的宽应为多 少？
40米
22米
[例4] 学校要建一个面积为150平方米的长 方形自行车棚，为节约经费，一边利用 18米长的教学楼后墙，另三边利用总长 为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长 和宽.
一元二次方程的应用 之面积问题
预习指导 1、一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为8m， 宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为18m 2，则花边多 宽?
2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮， 要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长 方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边 长。
解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为x米，则与教
学
楼后墙平行的那条边长为
(352x)米，根据题意，得
解x(得x351x215x)12155,0x2 10.
2
当
时，352x2018不合题意，舍去；
当x10时，352x15. 符合题意.
答：自行车棚的长和宽分别为15米和10米.
几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
D
C
Q
A
B
P
5、等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿
AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别
交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积
等于16cm2?
A
RP
CQ
B
一、常见的图形有下列几种：
例1.镜框有多宽?
长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为
18m2 ，则镜框多宽?
审
解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形
图案的长为（8-2x）m宽, 为 （5-2xm）,得
设
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18
列
即2X2 － 13 X ＋ 11＝0
解
解得X1＝1，
X2＝5.5(不合题意)
答:镜框的宽为1m.
CQ
B
练习1 有一块长4米，宽3米的长方形空地， 现要在空地中央建一个长方形花坛，四周是 等宽的草坪，使花坛面积是草坪面积的两倍， 求花坛的长和宽.(精确到0.1米)
练习：
2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外
围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为
246m2,求小路的宽度.
P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别
交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行
四边形PQCR的面积等于16cm2?
解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x
根据题意得：x8-x 16
整理得：x2 8x 16 0
A RP
解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
3、学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约
经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米
的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.
4、在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以
1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的
速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，
解:设道路宽为x米，则
(32 2x)(20 x) 570
化简得，x2 36x 35 0 (x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
练习5：（探究性题）一块矩形耕地大小尺寸如图
（1）所示，要在这块土地上沿东西和南北方向分别
答
例2．如图，一块长和宽分别为60厘米和40 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个 相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水 槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正 方形的边长。
例2．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相 等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形 的边长。