河南省普通高中2015-2016学年上学期高一上学期数学期末试卷及答案

河南省普通高中2015-2016学年上期终结性评价测试
高一数学试题
一、选择题（共8道小题，每道小题4分，共32分.请将正确答案填涂在答题卡上） 1．已知全集
{}{}{}()====N M C ，N M U U 则3,2,2.1,0,4,3,2,1,0
A. {}2
B. {}3
C. {}432，，
D. {}43210，，，。

2. 函数()lg(31)f x x =-的定义域为 （ ） A ．R B ．1
(,)3-∞ C ．1[,)3+∞ D ．1(,)3
+∞ 3．已知函数 f (x )＝x 2＋1，那么f (a ＋1)的值为( )． A ．a 2＋a ＋2
B ．a 2＋1
C ．a 2＋2a ＋2
D ．a 2＋2a ＋1
4．函数||2x y =的大致图象是 （ ）
5．已知函数()则，x x x x x f ⎩
⎨
⎧>+-≤+=1,31
,1f(2) =
A.3 B,2 C.1 D.0 6．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
那么函数f (x )一定存在零点的区间是 （ ） A. (－∞，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，+∞) 7．国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：
如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km 的某地，他应付的邮资是( ). A ．5.00元
B ．6.00元
C ．7.00元
D ．8.00元
8．如果函数2(1)2y x a x =+-+在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥9 B ．a ≤－3 C ．a ≥5 D ．a ≤－7
二、填空题（共6道小题，每道小题4分，共24分。

请将正确答案填写在答题表中）
9．已知函数()y f n =，满足(1)2f =，且(1)3()f n f n n ++=∈，N ，则 (3)f 的值为_______________.
103log 21
lg
3100
-的值为_________________. 11．若奇函数()f x 在(,0)-∞上是增函数，且(1)0f -=，则使得()0f x >的x 取值范围 是__________________.
12．函数23()log (210)f x x x =-+的值域为_______________.
13．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a ，则通过3块玻璃板后的强度变为________________.
14．数学老师给出一个函数()f x ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质 甲：在(,0]-∞上函数单调递减； 乙：在[0,)+∞上函数单调递增；
丙：在定义域R 上函数的图象关于直线x =1对称； 丁：(0)f 不是函数的最小值.
老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确. 那么，你认为_________说的是错误的.
三、解答题（分4道小题，共44分） 15．（本题满分12分）已知函数2
1
()1
f x x =
-. （1）设()f x 的定义域为A ，求集合A ；
（2）判断函数()f x 在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明
16．（本题满分12分）有一个自来水厂，蓄水池有水450吨. 水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同
时蓄水池又向居民小区供水，t 小时内供水量为. 现在开始向池中注水并同时向居民供水. 问多少小时后蓄水池中水量最少?并求出最少水量。

17．（本题满分12分）已知函数1()(01)x f x a a a -=>≠且 （1）若函数()y f x =的图象经过P （3，4）点，求a 的值； （2）比较1
(lg
)( 2.1)100
f f -与大小，并写出比较过程； （3）若(l
g )100f a =，求a 的值.
18．（本题满分8分）集合A 是由适合以下性质的函数f (x )构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数12,x x ，都有12121
[()()]()22
x x f x f x f ++>.
（1）试判断f (x )= x 2及g (x )=log 2x 是否在集合A 中，并说明理由； （2）设f (x )∈A 且定义域为(0，+∞)，值域为(0，1)，()1
12
f >，试求出一个满足以上条件的函数f (x )的解析式.
河南省普通高中2015-2016学年上期终结性评价测试
高一数学参考答案及评分标准
一、选择题（每道小题4分，共40分）
二、填空题（每道小题4分，共24分）
三、解答题（共44分）
15． 解：（1）由2
10x -≠，得1x ≠±，
所以，函数21
()1f x x =
-的定义域为{|1}x x ∈≠±R ……………………… 4分 （2）函数21
()1
f x x =-在(1,)+∞上单调递减. ………………………………6分
证明：任取12,(1,)x x ∈+∞，设12x x <， 则210,x x x ∆=-> 1212212222
2112()()11
11(1)(1)
x x x x y y y x x x x -+∆=-=-=----…………………… 8分 121,1,x x >>
22
121210,10,0.x x x x ∴->->+>
又12x x <，所以120,x x -< 故0.y ∆< 因此，函数21
()1
f x
x =
-在(1,)+∞上单调递减. ………………………12分 说明：分析y ∆的符号不具体者，适当扣1—2分.
16．解：设t 小时后蓄水池内水量为y 吨， …………………………………… 1分 根据题意，得
45080y t =+- ……………………………………… 5分
……………………………………… 10分
=5
t =时，y 取得最小值是50. …………………………… 11分 答：5小时后蓄水池中的水量最少，为50吨. …………………………… 12分
x =，从而2
80450y x =-+.
②未写出答，用“所以，5小时后蓄水池中的水量最少，为50吨”也可以. 未答者 扣1分.
17．解：⑴∵函数()y f x =的图象经过(3,4)P
∴3-1
4a
=，即24a =. ……………………………………… 2分
又0a >，所以2a =. ……………………………………… 4分 ⑵当1a >时，1
(lg
)(2.1)100
f f >-; 当01a <<时，1
(lg
)(2.1)100
f f <-. …………………………………… 6分 因为，31
(lg
)(2)100
f f a -=-=， 3.1(2.1)f a --= 当1a >时，x
y a =在(,)-∞+∞上为增函数，
∵3 3.1->-，∴3
3.1a a -->.
即1
(lg
)(2.1)100
f f >-. 当01a <<时，x
y a =在(,)-∞+∞上为减函数，
∵3 3.1->-，∴3
3.1a a --<.
即1
(lg
)(2.1)100
f f <-. ……………………………………… 8分 222450
45050
=-+=-+=+
⑶由(lg )100f a =知，lg 1100a a -=. 所以，lg 1
lg 2a a
-=（或lg 1log 100a a -=）.
∴(lg 1)lg 2a a -⋅=.
∴2
lg lg 20a a --=， ……………………………………… 10分 ∴lg 1a =- 或 lg 2a =，
所以，1
10
a =
或 100a =. ……………………………………… 12分 说明：第⑵问中只有正确结论，无比较过程扣2分.
18．解：（1）()f x A ∈，()g x A ∉. ……………………………………… 2分 对于()f x A ∈的证明. 任意12,x x R ∈且12x x ≠，
2222
2121212121122212()()2()()222241
()04
f x f x x x x x x x x x x x f x x ++++-+-=-=
=-> 即
1212()()()22
f x f x x x
f ++>. ∴()f x A ∈ …………………………… 3分
对于()g x A ∉，举反例：当11x =，22x =时，
1222()()11
(log 1log 2)222g x g x +=+=，
122221231
()log log log 2222x x g ++==>=， 不满足
1212()()()22
g x g x x x
g ++>. ∴()g x A ∉. ……………………… 4分 ⑵函数2()3x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，当(0,)x ∈+∞时，值域为(0,1)且21(1)32f =>.…… 6分
任取12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，则
12
121122122121222
22222
22()()1222()2222333122221222023333233x x x x x x x x x x f x f x x x f +⎡⎤
++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥
-=+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦⎧⎫⎡⎤
⎡
⎤⎡⎤
⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=-⋅⋅+=->⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎣
⎦
⎣⎦⎩
⎭
即
1212()()()22f x f x x x f ++>. ∴2()3x
f x A ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
. ………………… 8分 说明：本题中()f x 构造类型()x
f x a =1(1)2a <<或()k
f x x k
=+(1)k >为常见.。