结构力学-1结构的极限荷载讲诉

2019/1/18
03:16:54
3
第 13章 结构的极限荷载
二、材料的应力——应变关系
在塑性设计中，通常假设材料为理想弹塑性， 其应力与应变关系如下：
?
?s A
CB
?
?s A
CB
o
εs ε
ε
D
P
εs
ε
a) 理想弹塑性模型
ε
o εs D
b) 弹塑性硬化模型
2019/1/18
03:16:54
4
第 13章 结构的极限荷载
2019/1/18
03:16:54
24
第 13章 结构的极限荷载
16.5 多跨连续梁的极限荷载计算
条件：梁在每一跨度内为等截面； 荷载的作用方向相同，并按比例增加。
结论：连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构；如图 (a)、(b) 不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构。如图 (c)
连续梁极限荷载的计算方法： 1）对每一单跨破坏机构分别求
3. 讨论
如果 M u? ? 3M u
图(a) 、图(b) 所示的破坏机构都 能实现。此时，A、B、D三个截面 都出现塑性铰。
2019/1/18
可得极限荷载
03:16:54
FPu
?
9
Mu l
19
第 13章 结构的极限荷载
例3. 试求图(a)所示梁在均布荷载作用下的极限荷载qu。 解：梁处于极限状态时，A端出现塑性 铰，另一个塑性铰C有待确定。
A1形心距下端0.045m, A2形心距上端 0.01167m,
A1与A2的形心距为0.0633m.
20mm
M u ? ? s (S1 ? S2 )
?
?
s?
A ? 0.0633 ? 2
27.36kN.m
2019/1/18
03:16:54
9
第 13章 结构的极限荷载
2、塑性铰
当截面达到塑性流动阶段时， 在极限弯矩保持不变的情况下， A 两个无限靠近的截面可以产生有 限的相对转角，这种情况与带铰 的截面相似。因此这时的截面可
M u ? ? s (S1 ? S2 )
S1、S2为面积A1、 A2对等面积轴的静矩
2019/1/18
03:16:54
8
第 13章 结构的极限荷载
例1：已知材料的屈服极限? s ? 240MPa，求图示截面的极
限弯矩。
80mm
解: A ? 0.0036m2
A1 ? A2 ? A / 2 ? 0.0018m2
出相应的破坏荷载； 2）取其最小值即为极限荷载。
2019/1/18
03:16:54
25
第 13章 结构的极限荷载
例4. 图(a)所示连续梁中，每跨为等截面梁。AB 和BC跨的正极限
弯矩为Mu，CD跨的正极限弯矩为2Mu；又各跨负极限弯矩
为正极限弯矩的1.2倍。试求此连续梁的极限荷载 qu。 解：AB 跨破坏时如图 (b)
2019/1/18
03:16:54
22
第 13章 结构的极限荷载
（1）基本定理： 可破坏荷载 FP? 恒不小于可接受荷载 FP? ，即 FP? ? FP?
（2）唯一性定理：极限荷载值是唯一确定的。
（3）上限定理（极小定理）：可破坏荷载是极限荷载的上限； 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。 FPu ? FP?
1、机动法 2、静力法 3、试算法
? 机动法
1、依据：机动法是以上限定理为依据的。 2、步骤：先假设出所有的破坏机构，而后利用虚位移原理计算出 各机构相应的极限荷载。依据上限定理，这些可破坏荷载中的最小者 即为极限荷载。
? 试算法
1、依据：试算法是以单值定理为依据的。 2、步骤：先试算出相应于某一破坏机构的可破坏荷载，而后验算 该荷载是否满足屈服条件，若满足，该荷载即为极限荷载。
1. 屈服弯矩和极限弯矩
以理想弹塑性材料的矩形截面 梁处于纯弯曲状态为例：
图(b)：弹性阶段，弯矩M为：
bh 2
Ms ? 6 ? s
屈服弯矩
随M的增大，梁截面 应力的变化如图所示：
图(c)：弹塑性阶段，y0部分为 弹性区，称为弹性核。
图(d)：塑性流动阶段，y0→0。 弯矩M为：
Mu
?
bh 2 4
?
2）应力与应变关系不唯一
当应力达到屈服应力 σs后，应力 σ与应变ε 之间不再存在一一对应关系，即对于同一应
力，可以有不同的应变 ε与之对应。
?
?s A
? A1 1
C
B
C1
B1
o εA
εB εC ε
可见，弹塑性问题与加载路径有关。
2019/1/18
03:16:54
6
第 13章 结构的极限荷载
16.2 极限荷载分析中的几个基本概念
qu
B C
Mu
C
以称为塑性铰。
由理想弹塑性材的应力应变关系可知，加载至塑性
阶段后再减载，截面则恢复其弹性性质。由此得到一个重
要特性：塑性铰只能沿着弯矩增大方向发生转动，如果沿
相反方向变形，截面立即恢复其弹性刚度，因此塑性铰是
单向的。
2019/1/18
03:16:54
10
第 13章 结构的极限荷载
11
第 13章 结构的极限荷载
3. 破坏机构
由于足够多的塑性铰的出现，使原结构成为机构（几何可变体 系），失去继续承载的能力，该几何可变体系称为“机构”。
a、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。
qu1
qu 2
Mu
Mu
Mu
Mu
b、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。
（4）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限； 即极限荷载是可接受荷载中的极大值。 FPu ? FP?
由上限定理和下限定理，可得出精确解的上下限范围，取 极小值便得到极限荷载的精确解；
唯一性定理可配合试算法来求极限荷载。
2019/1/18
03:16:54
23
第 13章 结构的极限荷载
确定极限荷载的三种方法
弯矩增量图相应于简支梁的弯矩
图，如图(d)。第二个塑性铰出现在
C截面，梁变为机构。
由平衡条件
FPu l 4
?
1.5M u
得极限荷载
FPu
?
6M u l
03:16:54
15
第 13章 结构的极限荷载
利用虚功原理求 F Pu ，图(e)为 破坏机构的一种可能位移。
外力作功为 W ? FPu?
内力作功为
5. 极限荷载 极限荷载 FPu ——结构已变为机构、位移可以无限
增大、承载力无法再增大时结构所承受的荷载。
2019/1/18
03:16:54
13
第 13章 结构的极限荷载
16.3 单跨梁的极限荷载计算
静定梁：只要一个截面出现塑性铰，梁就成为机构，丧 失承载力以至破坏。
超静定梁：具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰，才 能使其成为机构，丧失承载力以至破坏。
可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找到某一内力 状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限 值，此荷载值称为可接受荷载用 FP? 表示。
可破坏荷载 FP? 只满足平衡条件和单向机构条件。 可接受荷载 FP? 只满足平衡条件和内力局限条件。
极限荷载同时满足平衡条件、内力局限条件和单向机构条件； 极限荷载既是可破坏荷载，又是可接受荷载。
由图(b)的可能位移列虚功方程
FPu ? D ? M u? B ? M u? D
得极限荷载
FPu
?
9
Mu l
03:16:54
17
第 13章 结构的极限荷载
（2）当截面D、A出现塑性铰时如图(a)
截面D的弯矩达到极限值Mu 截面A的弯矩达到极限值 M u?
弯矩图如图(b)，截面B的弯矩
MB
?
1 2
(
由x2求得极限荷载
qu
?
22 3 2?4
Mu l2
?
11.7
Mu l2
2019/1/18
03:16:54
20
第 13章 结构的极限荷载
16.4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
比例加载：所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个 参数FP表示； 荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。
假设条件：材料是理想弹塑性的； 截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等； 忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
Wi
?
? (M u?1 ?
M u? 2 ) ?
?Mu
6?
l
由虚功方程
FPu? ? M u
6?
l
?0
得
FPu
?
6M u l
超静定结构极限荷载计算的特点 （1）只需考虑最后的破坏机构； （2）只需考虑静力平衡条件； （3）不受温度变化和支座位移等的影响。
2019/1/18
03:16:54
16
第 13章 结构的极限荷载
s
极限弯矩
2019/1/18
03:16:54
7
第 13章 结构的极限荷载
图(a)为只有一个对称轴的截面
图(b)为弹性阶段：应力直线分布，中性轴过截面形心；
图(c)为弹塑性阶段：中性轴随弯矩的大小而变化；
图(d)为塑性流动阶段：受拉区和受压区的应力均为常量。 A1(受拉区面积)= A2(受压区面积)，Mu为
M u ? W u ?? s
c、材料、截面积、截面形状相同的不同结构， qu不一定相同。
qu1
qu 2
Mu1
M u1 ? M u2 Mu2
qu1 ? qu 2
M u2
2019/1/18
03:16:54
12
第 13章 结构的极限荷载
4. 极限状态 当结构形成足够多的塑性铰，结构变成几何可变体
系时，形成破坏机构的瞬时所对应的变形状态称为结 构的极限状态。
例1. 计算图(a)所示等截面梁的极 限荷载。
图(b)为弹性阶段(FP≤ FPs)
的M图，Ａ截面弯矩最大。
2019/1/18
03:16:54
14
第 13章 结构的极限荷载
2019/1/18
FP＞FPs后，塑性区在A附近形 成并扩大，在A截面形成第一个塑 性
铰，M图如图(c)。 FP继续增加，荷载增量引起的
54对于塑性材料的结构特别是超静定结构当最大应力达到屈服极限甚至某一局部已进入塑性阶段但结构并没有破坏即结构还没有耗尽承载能力
第 十三 章
结构的极限荷载
第 13章 结构的极限荷载
16.1 概述
一、弹性设计与塑性设计
弹性设计是在计算中假设应力与应变为线 性关系，结构在卸载后没有残余变形。
利用弹性计算的结果，以许用应力（弹性 极限）为依据来确定截面尺寸或进行强度验算 ，就是弹性设计的作法。
ql?
? 1.2M u? B ? M u (? A ? ? B )
得
q?
?
6.4
Mu l2
BC跨破坏时如图(c)
0.5ql? ? 1.2M u? B ? 1.2M u?C ? M u (? B ? ?C )
图(b)为一破坏机构，塑性铰C的 坐标为x。相应的可破坏荷载为 q? 。
由虚功方程
q?
l? 2
?
M u (? A ? ? C )
得 q? ? 2l ? x 2M u
x(l ? x) l
令 dq? ? 0 得 x2 ? 4lx ? 2l 2 ? 0
dx
解 x1 ? (2 ? 2 )l
x2 ? (2 ? 2 )l
塑性铰与普通铰的区别：
? 普通铰不能承受弯矩，而塑性铰则能承受着极限弯矩 Mu ；
? 普通铰是双向的，而塑性铰则是单向的，即只能沿着弯 矩增大方向发生有限相对转动，如果沿相反方向变形， 则不再具有铰的性质。
? 普通铰的位置是固定的，而塑性铰的位置是由荷载情况 而变化的。
2019/1/18
03:16:54
M
u?
?
Mu)
若MB＞Mu，此破坏机构不能出现，此时 M u? ?3M u
即此破坏机构的实现条件是：
M u? ? 3M u
由图(a)的可能位移列虚功方程
FPu ? D ? M u?? A ? M u? D
得极限荷载
FPu
?
3 2l
(M u? ?
3M u )
2019/1/18
03:16:54
18
第 13章 结构的极限荷载
例2. 试求图(a)所示变截面梁的极限荷载。 解：设AB 、BC段的极限弯矩为 M u?、M u 出现两个塑性铰时梁成为破坏机构。
2019/1/18
（1）当截面D、B出现塑性铰时如图(b)
此时M 图如图(c)，M A =3M u 若 3M u ?M u?此破坏机构不能出现
则此破坏机构实现的条件是 M u? ? 3M u
2019/1/18
03:16:54
2
第 13章 结构的极限荷载
弹性设计的缺点
对于塑性材料的结构，特别是超静定结构， 当最大应力达到屈服极限，甚至某一局部已进入塑 性阶段，但结构并没有破坏，即结构还没有耗尽承 载能力。由于没有考虑材料超过屈服极限后的这一 部分承载能力，因而弹性设计不够经济。
在塑性设计中，首先要确定结构破坏时所能承 受的荷载——极限荷载，然后将极限荷载除以荷载 系数得到容许荷载并进行设计。
1）残余应变
当应力达到屈服应力 σs后在C点卸载至D点 ，即应力减小为零，此时，应变并不等于零， 而为εP，由下图可以看出， ε= εs+ εP， εP是应变 的塑性部分，称为残余应变。
?
?s A
CB
2019/1/18
o εsεεPD εs
ε
理想弹塑性模型
03:16:54
5
第 13章 结构的极限荷载
结构的极限受力状态应满足的条件： （1）平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡； （2）内力局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； （3）单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。
2019/1/18
03:16:54
21
第 13章 结构的极限荷载
可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载 值，用 FP? 表示。