高考数学考前100个温馨提醒

高考数学考前100个温馨提醒（知识、方法与易错题）
一、集合与逻辑
1、区分集合中元素的形式：
如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集
（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝{}
2|1,y y x x M =+∈，则M
N =___；（答：[1,)+∞）
（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _（答：
)}2,2{(--）
2、条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况
如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+
R A ，求a 的取值。

（答：a≤0）
3、含n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集个数为21n -;非空真子集的个数为22n
-； 如：满足
{1,2}{1,2,3,4,5}
M ⊂⊆≠集合M 有______个.（答：7）
4、()()()()card A B card A card A card A B =+-；
5、A∩B=A ⇔A ∪B=B ⇔A ⊆B ⇔CUB ⊆CUA ⇔A∩CUB=∅⇔CUA ∪B=U ；
6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.
如：已知函数
12)2(24)(2
2+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围.（答：3
(3,)
2-）
7、原命题:p q ⇒;逆命题:q p ⇒;否命题:p q ⌝⇒⌝；逆否命题:q p ⌝⇒⌝； 互为逆否的两个命题是等价的.
注意：命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别: 命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝ 如：“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的 否命题是“若a 和b 不都是偶数，则b a +是奇数”； 否定是“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数”；
命题“p 或q”的否定是“┐P 且┐Q”，“p 且q”的否定是“┐P 或┐Q” 熟悉逻辑推理,条件关系,集合关系的互相转化.
如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件（答：充分非必要条件）
8、若p q ⇒且q p ≠;则p 是q 的充分非必要条件（或q 是p 的必要非充分条件）; 二、函数与导数
9、指数式、对数式：
m n
a =1m n
m
n a
a -=，01a =，
log (0,1,0)
b a a N N b a a N =⇔=>≠>
log 10
a =，
log 1
a a =，
log a N a N =，lg 2lg51+= 如：2
log
1()2
的值为________. (答：1
64)
10、二次函数①解析式三种形式:一般式f(x)=ax2+bx+c （a≠0）(对称轴？顶点？当b=0时为偶函数)；
顶点式f(x)=
2
()a x h k -+；零点式12()()()f x a x x x x =--(轴?)； ②区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数
42212
+-=
x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2）
③实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号；
11、反比例函数:(0)c
y c x =
≠平移⇒
b x c
a y -+
=(中心为(b,a))；
12、双勾函数
x a
x y +
=是奇函数：
当上为增函数
，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞<a ；
当递减，在时)0,[],0(,0a a a ->
，()-∞+∞在，
递增 13、单调性①定义法；②导数法；
如：已知函数
3
()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是___. (答：(,3]-∞))；
注意ⅰ：0)(>'x f 能推出)(x f 3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0
)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件.
注意ⅱ：函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如：已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。

（答：122
3m -
<<
）
③复合函数：由同增异减判定；④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式；⑥注意定义域；
如：函数
()
212
log 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：（1,2）).
14、奇偶性：f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x)；定义域含零的奇函数过
原点(f(0)=0)；定义域关于原点对称是该函数为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件. 15、周期性.（1）由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”.
①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数；
②函数()f x 满足
1
()(0)()f x a a f x +=
≠，则2T a =；
③函数()f x 满足
1
()(0)()f x a a f x +=-
≠，则2T a =.
如：(1)设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则
)5.47(f 等于_____(答：5.0-)；
(2)定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为__ (答：(sin )(cos )f f αβ>)； （2）类比“三角函数性质”得：
①若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为
2||T a b =-；
②若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；
③如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-；
如：已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根.（答：5）
16、常见的图象变换
①函数()a x f y +=的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左)0(>a 或向右)0(<a 平移a 个
单位得到的.
如：要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到。

(答：y ；右)；
②函数()x f y =+a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上)0(>a 或向下)0(<a 平移a 个单位得到的；
如：将函数
a a x b
y ++=
的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象
关于直线x y =对称,那么（ ）(答：C)
0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)(
③函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸（01a <<）缩（1a >）为原
来的a 1
得到的.
如：（1）将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的1
3（纵坐标不变），再将此图像沿x
轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：(36)f x +)；（2）如若函数
(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是__(答：
1
2x =-
)
④函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸（1a >）缩（01a <<）为原来的a 倍得到的. 17、函数的对称性.
①满足条件
()()
f x a f b x +=-的函数的图象关于直线
2a b
x +=
对称.
如：已知二次函数
)0()(2
≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，则)(x f ＝_____. (答：21
2x x
-+)
②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；
函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=；
③点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；
函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=； ④点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；
函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=； ⑤点(,)x y 关于直线y x a =±+的对称点为((),)y a x a ±-±+；
曲线(,)0f x y =关于直线y x a =±+的对称曲线的方程为((),)0f y a x a ±-±+=. 特别地，点(,)x y 关于直线y x =的对称点为(,)y x ；
曲线(,)0f x y =关于直线y x =的对称曲线的方程为(,)0f y x =； 点(,)x y 关于直线y x =-的对称点为(,)y x --；
曲线(,)0f x y =关于直线y x =-的对称曲线的方程为(,)0f y x --=.
如：己知函数
33
(),()232x f x x x -=
≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是
22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是___.（答：
2
21x y x +=-
+）
注：若f(a －x)＝f(b+x),则()f x 图像关于直线x=2b
a +对称； 两函数y=f(a+x)与y=f(
b -x)图像关于直线x=2a
b -对称.
提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
如：已知函数
)(1)(R a x a a
x x f ∈--+=
.求证：函数)(x f 的图像关于点(,1)M a -成中心对称图形.
⑥曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=.
如：若函数
x x y +=2
与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______. （答：2
76x x ---）
⑦形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，对称中心是点(,)
d a c c -.
如：已知函数图象C '与
2
:(1)1C y x a ax a ++=++关于直线y x =对称，且图象C '关于点（2，－3）对称，则a 的值为______（答：2）
⑧|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，
然后擦去x 轴下方的图象得到；
(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象
关于y 轴的对称图形得到. 如：（1）作出函数
2|log (1)|
y x =+及
2log |1|
y x =+的图象；
（2）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于____对称.
（答：y 轴）
18、求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借鉴模型函数进行类比探究.几类常见的抽象函数：
①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ----()()()f x y f x f y ±=±；
②幂函数型：2
()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，
()()()x f x f y f y =； ③指数函数型：()x
f x a = ----------()()()f x y f x f y +=，
()
()()f x f x y f y -=
；
④对数函数型：()log a f x x = ---()()()f xy f x f y =+，()()()
x
f f x f y y =-；
⑤三角函数型：()tan f x x = -----
()()
()1()()f x f y f x y f x f y ++=
-.
如：已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则
=
-)2(T f __（答：0）
（2）赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究.
如：（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=()f y +，则()f x 的奇偶性是______ （答：奇函数）；
（2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的奇偶性是_（答：偶函数）； 19、函数三要素题型方法总结
(Ⅰ)判定相同函数:定义域相同且对应法则相同. (Ⅱ)求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法:已知所求函数的类型.
如：已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为
22,求()f x 的解析式 .（答：
2
1()212f x x x =
++）
（2）代换（配凑）法：已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式.
如：（1）已知,sin )cos 1(2x x f =-求()
2x f 的解析式。

（答：
242
()2,[f x x x x =-+∈） （2）若2
21)1(x x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____（答：223x x -+）；
（3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，
)1()(3
x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________
（答：(1x ）.
这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域. （3）方程的思想：对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组.如：（1）
已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式.（答：
2()33f x x =--
）
（2）已知()f x 是奇函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g =11
-x ,则()f x = （答：2
1x x -）.
（Ⅲ）求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?；偶次根式被开方数?；对数真数?底数?；零指数幂的底数?)；实际问题有意义；若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b 解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x ∈[a,b]时g(x)的值域；
如：（1）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢
⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 .
（答：{}
42|≤≤x x ）；
（2）若函数2
(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为_______.（答：[1,5]）．
（Ⅳ）求值域
①配方法：如：求函数2
25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。

（答：[4,8]）；
②逆求法（反求法）：如：
313x
x y =
+通过反解，用y 来表示3x ，再由3x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围（答：（0,1））；
③换元法：如：（1）2
2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____。

（答：
17
[4,
]8-）；
（2
）21y x =+_____（答：[)3,+∞）
t =，0t ≥.运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；
④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
如：
2sin 11cos y θθ-=
+的值域.（答：3
(,]
2-∞）；
⑤不等式法：利用基本不等式
,)a b a b R +
+≥∈求函数的最值. 如：设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2
1221)(b b a a +的取值范围是_____.（答：
(,0][4,)-∞+∞）.
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域.
如：求1(19)y x x x =-<<，229
sin 1sin y x x =+
+
，()3log 5y x =--的值域.
（答：80
(0,
)9、11
[,9]
2、[)0,+∞）；
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域.
如：（1）已知点(,)P x y 在圆2
2
1x y +=上，求2y
x +及2y x -的取值范围.
（答：
[
、[）；
（2
）求函数y =.（答：[10,)+∞）；
⑧判别式法：如：（1）求
2
1x y x =+的值域.（答：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦） （2
）求函数
3y x =
+的值域.（答：1
[0,]
2）
（3）求
211x x y x ++=
+的值域.（答：(,3][1,)-∞-+∞） ⑨导数法：如：求函数
32
()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值.（答:－48） ⑩分离参数法：用2种方法求下列函数的值域：
①32([1,1])
32x
y x x +=∈--；②)0,(,32-∞∈+-=x x x x y ；③)0,(,132-∞∈-+-=x x x x y ；
（Ⅴ）解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.
（Ⅵ）恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题. a≥f(x)恒成立⇔a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立⇔a≤[f(x)]min;
（Ⅶ）任意定义在R 上函数()f x 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和. 即f （x ）＝()()g x h x ＋其中g （x ）＝()()
2f x f x +-是偶函数，h （x ）＝
()()
2f x f x --是奇函数
如：（1）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是_______
（答：
(,1)(0,1)(,3)
22π
π
-
-）；
（2）设()f x 的定义域为R +，对任意,x y R +∈，都有()()()x
f f x f y y =-，且1x >时，()0f x <，又1
()12f =，①求证()f x 为减函数；②解不等式2()(5)f x f x ≥-+-.
（答：
(][)0,14,5）
．
20、导数几何物理意义:k=f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率. V ＝s/(t)表示t 时刻即时速度,a=v′(t)表示t 时刻加速度.
sin ,cos ,tan ,,log x a y x y x y x y a y x
=====
如：一物体的运动方程是2
1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）
21、导数应用:⑴过某点的切线（即使点在曲线上）不一定只有一条；
如：已知函数
3
()3f x x x =-过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程. （答：30x y +=或24540x y --=）.
⑵研究单调性步骤:分析y=()f x 定义域;求导数;解不等式f/(x)≥0得增区间;解不等式f/(x)≤0得减区间;注意f/(x)=0的点；
如：设0>a 函数
ax x x f -=3
)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______.（答：03a <≤）；
⑶求极值、最值步骤:求导数;求0)(='x f 的根;检验)(x f '在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大
值,最小的是最小值.
如：（1）函数512322
3+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是__（答：5；15-）；（2）
已知函数32
()f x x bx cx d =+++在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b ＋c 有最__值__.（答：大，
15
2-
）
（3）方程010962
3=-+-x x x 的实根的个数为__.（答：1）
特别提醒：（1）0
x 是极值点的充要条件是
x 点两侧导数异号，而不仅是
()
0f x '＝0，
()
0f x '＝0
是
x 为极值点的必要而不充分条件.
（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑
0()0
f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右
正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 如：函数()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b 的值为____（答：－7）
三、数列
22、an={),2()
1(*
1
1N n n S S n S n n ∈≥-=-(注意验证a1是否包含在an 的公式中)
23、
)
*,2(2)(111中项常数｝等差｛N n n a a a d a a a n n n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-+-
2()(0);
n n a an b S An Bn ⇔=+⇔=+一次常数项为的二次
{}2n n-1n 11n (n 2,n N)q();0n n n a a a a
a a a +-⎧=⋅≥∈⇔⇔=⎨
≠⎩等比定
如：若{}n a 是等比数列，且
3n
n S r =+，则r ＝ （答：－1） 24、首项为正的递减(或首项为负的递增)等差数列前n 项和最大(或最小)问题,转化为解不等式
)00
(0011⎩⎨
⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++n n n n a a a a 或,或用二次函数处理；(等比前n 项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项
吗？求一般数列{an}的最大、最小项的方法（函数思想）：
①an+1-an=⎪⎩⎪
⎨⎧<=>0
00 如：an= -2n2+29n-3；②
11
11n n a a +>⎧⎪==⎨⎪<⎩ (an>0) 如：an=n n n 10)1(9+； ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如：an=1562
+n n ；
1n 1;m ?
n n n a a q S m m q -⇔=⋅⇔=-⋅=
如：（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值.（答：前13项和最大，最大值为169）；
（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006） 25、等差数列中an=a1+(n-1)d;Sn=
d n n na 2)1(1-+
=d n n na n 2)1(--=2)
(1n a a n +
等比数列中an= a1 qn-1;当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn=q q a n --1)1(1=q q
a a n --11
26、常用性质：等差数列中, an=am+ (n －m)d,
n m a a d n
m --=
;当m+n=p+q,am+an=ap+aq ；
等比数列中，an=amqn-m; 当m+n=p+q ，aman=apaq ； 如：（1）在等比数列{}
n a 中，
3847124,512
a a a a +==-，公比q 是整数，则
10
a =
（答：512）；
（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++= （答：10）；
27、常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差；{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n b
1、{anbn}、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 等比；{an}等差,则{}n
a
c (c>0)成等比，{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0且c ≠1)等差。

28、等差数列三数可设为a-d,a,a+d ；四数可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d ；等比三数可设a/q,a,aq ；
如：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数.（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
29、等差数列{an}的任意连续m 项的和构成的数列Sm 、S2m-Sm 、S3m-S2m 、S4m - S3m 、……仍为等差数列；等比数列{an}的任意连续m 项的和且不为零时构成的数列Sm 、S2m-Sm 、S3m-S2m 、S4m - S3m 、……仍为等比数列. 如：公比为-1时，
4
S 、
8S -
4
S 、
12S -
8
S 、…不成等比数列.
30、等差数列{an},项数2n 时,S 偶-S 奇＝nd ，q
S S =奇
偶
；
项数2n-1时,S 奇-S 偶＝an ;，
1S a qS =+奇偶
.
31、求和方法：公式法.
分组法：如：an=2n+3n ；错位相减法求和：如：an=(2n-1)2n ；
裂项法求和：如：求和：
111112123
123n +
+++
=
++++++
+ （答：21n
n +）倒序
相加法求和：如：①求证：
01235(21)(1)2n
n
n n n n C C C n C n +++++=+；
②已知
22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()
234f f f f f f f ++++++＝7
2 32、求通项方法：
（1）已知数列的前n 项和n S ，求通项n a ，可利用公式：
1n 1 (n 1)
S (n 2)n n S a S -=⎧=⎨
-≥⎩； 如：数列{}n a 满足122111
252
22n n a a a n +++
=+，求n a （答：{
114,12,2n n n a n +==≥）
（2）先猜后证； （3）递推式为
n 1
a ＋＝
n
a ＋()f n (采用累加法)；n 1a ＋＝n a
×()f n (采用累积法)；
如：已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++=
--
11
1(2)
n ≥，则n a =________；
（答：
1n a =）
（4）构造法：形如1n n a ka b
-=+、
1n
n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；
如：已知
111,32
n n a a a -==+，求
n a （答：
1231
n n a -=-）；
（5）倒数法：形如：
1
1n n n a a ka b --=
+的递推数列都可以用倒数法求通项
如：①已知
1111,31n n n a a a a --==
+，求n a （答：1
3
2n a n =
-
）
；
②已知数列满足
1
a =1=n
a （答：
21n a n =
）；
（6）此外对数法,不动点法,特征方程法等. 33、常见和：
1123(1)2n n n +++
+=+，222112(1)(21)
6n n n n ++
+=++，
33332
(1)123[
]2n n n +++++=
四、三角
34、与α终边相同的角的集合(β=2kπ+α)；
弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α=
=，1弧度(1rad)57.3≈；
如：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.（答：22
cm ）
35、函数y=++⋅)sin(ϕωx A b （0,0>>A ω） ①五点法作图；
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②振幅?相位?初相?周期T=ωπ
2,频率?φ=kπ时奇函数;φ=kπ+2π
时偶函数；
③对称轴处y 取最值,对称中心处值为0（余弦正切可类比）
如：（1）函数522y sin x π⎛⎫=- ⎪
⎝⎭的奇偶性是______（答：偶函数）；
（2）已知函数3
1f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=（答：－5）；
（3）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是______、______.
（答：128k (
,)(k Z )ππ-∈、28k x (k Z )ππ
=
+∈）
（4
）已知f (x )sin(x )x )θθ=++为偶函数，求θ的值.
（答：
6
k (k Z )
π
θπ=+∈）
④变换:φ正左移负右移；b 正上移负下移;
)
sin()sin(sin 1
|
|Φ+=−−−−−−−→−Φ+=−−−−→−=Φx y x y x y ωω倍
横坐标伸缩到原来的左或右平移
)sin(sin sin |
|1
Φ+=−
−−−→−=−−−−−−−→−=Φ
x y x y x y ωωωω左或右平移倍横坐标伸缩到原来的 b
x A y x A y b A +Φ+=−−−−→−Φ+=−−−−−−−→−)sin()sin(|
|ωω上或下平移倍纵坐标伸缩到原来的
36、正弦定理：2R=A a sin =B b sin =C c
sin ； 余弦定理：a 2=b 2+c 2
-2bc A cos ,bc a c b A 2cos 2
22-+=;
内切圆半径：r=
c
b a S ABC
++∆2；面积公式：111
sin sin sin 222S ab C bc A ca B
===
术语：坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至
指示方向所在位置，其间所夹的角度.方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°,方向角等.
37、同角基本关系：如：（1）已知1
1tan tan -=-αα，则ααα
αcos sin cos 3sin +-＝____；（答：35-）
（2）2cos sin sin 2
++ααα＝_________（答：513
）
38、诱导公式简记：奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视α为锐角) 39、重要公式：
22cos 1sin 2αα-=
；22cos 1cos 2α
α+=
；；
如：函数2
5f (x )sin x cos x x
=
-x R )∈的单调递增区间为_______
（答：
512
12[k ,k ](k Z )π
π
ππ-
+
∈）
巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，
22
αβ
αβ++=⋅
，
(
)()
2
2
2αβ
β
ααβ+=-
--
等.
如：（1）已知
2tan()5αβ+=
，1tan()44πβ-=，那么tan()
4πα+的值是_____.（答：3
22）；（2）
已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，
3
cos()5αβ+=-
，则y 与x 的函数关系为______.（
答：
43
(1)55y x x =<<）
40、
辅助角公式中辅助角的确定：
()
sin cos a x b x x θ+=+(其中
tan b
a θ=
)如：（1）
当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tanx 的值是______(答：3
2-
)；
（2）如果
()()sin 2cos()
f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ=
(答：－2)；
五、平面向量
41、向量定义、向量模与夹角、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量是－)、共线向量、相等向量.
注意：不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）
42、加、减法的平行四边形与三角形法则：=+;=- 43
+±≤,
44、向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔⋅=； ②当a ，b 同向时，a ⋅b ＝a b ，特别地，222
,a a a a a a
=⋅==；
当a 与b 反向时，a ⋅b ＝－
a b
；
当θ为锐角时，⋅＞0，且 a b 、
不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件； 当θ为钝角时，a ⋅b ＜0，且 a b 、
不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；
③||||||a b a b ⋅≤；
如：已知)2,(λλ=→
a ，)2,3(λ=→
b ，如果→
a 与→
b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：
43λ<-
或0λ>且1
3λ≠
）；
45、向量b 在方向上的投影：︱b ︱cos θ
；
46、→1e 和→2e 是平面一组基底，则该平面任一向量→
→→+=2211e e a λλ(21,λλ唯一)； 特别：＝12OA OB λλ+，则
121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件.
如：平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→
−OC
−→
−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ）
47、在ABC ∆中，①
1()
3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心， 特别地：0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心； ②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；
③向量()(0)
||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；
④||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心；
⑤S ⊿AOB ＝
A B B A y x y x -21
;
如：（1）若O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA
-=+-，则ABC 的形
状为____（答：直角三角形）；
（2）若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足
0PA BP CP ++=，设||
||AP PD λ
=，则λ的值为___（答：2）；
（3）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为__（答：120）； 48、P 分21P P 的比为λ,则
P
P 1=λ
2
P P ；λ＞0内分；λ＜0且λ≠-1外分；
向量式：OP ＝λ
λ++121OP OP ；若λ＝1，则＝21
(1+2OP )；
设P(x,y)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x ;中点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.
2,22121y y y x x x 重心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.3y y y y ,3
x x x x 321321(注:对空间向量也适用)
49、点),(y x P 按),(k h a = 平移得),(y x P ''',则PP '＝a 或⎩⎨⎧+='+='k y y h
x x
函数)(x f y =按),(k h a =
平移得函数方程为：)(h x f k y -=-
如：（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点 _. （答：（－８，３））；
（2）函数x y 2sin =的图象按向量→
a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→
a ＝
________.（答：
)
1,4
(π
-
）
注：将向量(2,1)a =按b 平移,a 会变化吗?为什么? 六、不等式
50、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：
①若ab>0，则
b a 11>.即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变. ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨
论.
如：已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______. （答：137x y ≤-≤）；
51、比较大小的常用方法：
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；(8)图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.
如：（1）设0,10>≠>t a a 且，比较21log log 21+t t a
a 和的大小. （答：当1a >时，11
log log 22a a
t t +≤（1t =时取等号）； 当01a <<时，11
log log 22a a
t t +≥（1t =时取等号））；
（2）设2a >，
1
2p a a =+
-，2
422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小。

（答：p q >）
52、常用不等式：
（1）若0,>b a
，2
211
a b a b +≥≥≥+（当且仅当b a =时取等号）；
（2）a 、b 、c ∈R ，222
a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；
（3）若0,0a b m >>>，则b b m
a a m +<
+（糖水的浓度问题）.
如：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：
[)9,+∞）
基本变形： ≥+b a ；≥
+2
)2(
b a ；
注：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大.常用的方法为：拆、凑、平方；
如：①函数
)21
(4294>--
=x x x y 的最小值 .（答：8）
②若若21x y +=，则24x y
+的最小值是______
（答：；
③正数,x y 满足21x y +=，则y x 1
1+
的最小值为______
（答：3+）；
53、
b
a b a b a +≤±≤-(何时取等？)；||||a a a -≤≤
54、证法：①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.；商比
②综合法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反.⑤放缩法方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：
a
a >+12；
n n n >+)1(
⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，
如：
4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (
5lg 3log 2=<=+<⋅；2)
1()1(++<+n n n n
⑷利用常用结论：
（Ⅰ）
k k
k k k 21111<
++=
-+；
（Ⅱ）k k k k k 111)1(112--=-< ；
11
1)1(112
+-=+>k k k k k （程度大）
（Ⅲ）
)
1
1
1
1
(
2
1
)1
)(1
(
1
1
1
1
2
2+
-
-
=
+
-
=
-
<
k
k
k
k
k
k；（程度小）
⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元.如：
已知
2
2
2a
y
x=
+，可设θ
θsin
,
cos a
y
a
x=
=；
已知
1
2
2≤
+y
x，可设θ
θsin
,
cos r
y
r
x=
=(1
0≤
≤r)；
已知
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
，可设
θ
θsin
,
cos b
y
a
x=
=；
已知
1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
，可设
θ
θtan
,
sec b
y
a
x=
=；
⑦最值法：如：a>fmax(x),则a>f(x)恒成立.
55、解绝对值不等式：①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方；
④公式法：|f(x)|>g(x)⇔;|f(x)|<g(x) ⇔.
56、分式、高次不等式：通分因式分解后用根轴法（穿线法）；注意偶次式与奇次式符号：奇穿偶不穿.
如：（1）解不等式
32
(3)(1)(2)0
x x x
+-+≥.（答：{|13
x x x
≥≤-
或或2}
x=-）；
（2）解不等式
2
()
1
ax
x a R
ax
>∈
-（答：0
a=时，{|x0}
x<；0
a>时，
1
{|x x
a
>
或
0}
x<；0
a<
时，
1
{|0}
x x
a
<<
或
0}
x<）.
七、立几
57、位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法；
②直线与平面: a∥α、a∩α=A (a⊄α) 、a⊂α；③平面与平面:α∥β、α∩β=a
58、常用定理：①线面平行
α
α
α//
//
a
a
b
b
a
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊄
⊂
;
α
β
β
α
//
//
a
a
⇒
⎭
⎬
⎫
⊂;
α
α
β
β
α
//
a
a
a⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊄
⊥
⊥
②线线平行:
b
a
b
a
a
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
⊂
β
α
β
α
;
b
a
b
a
//
⇒
⎭
⎬
⎫
⊥
⊥
α
α
;
b
a
b
a//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
=
⋂
γ
β
γ
α
β
α
;
b
c
c
a
b
a
//
//
//
⇒
⎭
⎬
⎫
③面面平行:
β
α
β
β
α
α
//
//
,
//
,
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
⊂
⊂
b
a
O
b
a
b
a
;
β
α
β
α
//
⇒
⎭
⎬
⎫
⊥
⊥
a
a
;
γ
α
β
γ
β
α
//
//
//
⇒
⎭
⎬
⎫
④线线垂直:
b
a
b
a
⊥
⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
⊥
α
α
;所成角900；
PA
a
AO
a
a
PO
⊥
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊥
⊂
⊥
α
α
(三垂线);逆定理?
⑤线面垂直:ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l b l a l O b a b a ,,;βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫
⊥⊂=⋂⊥a l a a l ,;βαβα⊥⇒⎭⎬⎫
⊥a a //;
αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //
⑥面面垂直：二面角900; βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ;β
ααβ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥a a //
59、空间角：
①异面直线所成角θ：（1）范围：
(0,]
2π
θ∈；（2）求法：平移以及补形法、向量法.
如：（1）正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成
的角的余弦值等于____（答：33
）；
（2）在正方体AC1中，M 是侧棱DD1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A1B1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为____（答：90°）； ②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90]；（2）最小角定理：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。

：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）； 如：（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D 在棱BB1上，BD=1，则AD 与平面AA1C1C
所成的角为______（答：arcsin 46）；
（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 、F 分别是AB 、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF
所成的角的余弦值是______（答：13）；
③二面角：（1）范围[0,180]；（2）求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法： cos S S θ⋅射原＝、
转化为法向量的夹角.
如：（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A 的大小为________（答：60）；（2）正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°，则二面角
C1—BD1—B1的大小为______
（答：
arcsin
3）；
（3）从点P 出发引三条射线PA 、PB 、PC ，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C 的余弦值
是______（答：1
3）；
60、平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系 三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)⇔顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S 侧cosθ=S 底;正三角形四心?内切外接圆半径?; 61、空间距离
①异面直线间距离:找公垂线；
②线面距、面面距：转化为点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法||PA n h n
⋅=。

62、平面图形翻折(展开)：注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变.
63、从点O 引射线OA 、OB 、OC,若∠AOB=∠AOC,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上;若A 到OB 与OC 距离相等,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上；
64、常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题；②将空间图展开为平面图；③割补法；④等体积转化；⑤线线平行⇔线面平行⇔面面平行⑥线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直；⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化
.
65长方体:对角线长l 若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为α,β,γ,则有cos2α+cos2β+cos2γ=1;若长方体的体体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=2;正方体和长方体外接球直径=体对角线长;
特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：
八、解几 66、倾斜角α∈[0,π),斜率k=tanα=121
2
x x y y --；α=900斜率不存在；
67、直线方程:点斜式 y-y1=k(x-x1)；斜截式y=kx+b ；一般式:Ax+By+C=0；
两点式:121121x x x x y y y y --=--；截距式:1=+b y a x (a≠0;b≠0)；
求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解； 直线Ax+By+C=0的方向向量为a =(A,-B)；
在,x ty a =+中,,t a 的意义是什么?它能表示片面内所有直线吗?
68、两直线平行和垂直
①若斜率存在：l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2则l1∥l2⇔k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2⇔k1k2=-1 ②若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0；
③若A1、A2、B1、B2都不为零l1∥l2
⇔21
2121C C B B A A ≠=; ④若l1∥l2，则化为同x 、y 系数后距离d=2
221|
|B A C C +-，点线距d=
2
200|
|B A C By Ax +++;
69、圆：标准方程(x －a)2+(y －b)2=r2;一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
参数方程:cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨
=+⎩
;直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
70、若(x0-a)2+(y0-b)2<r2(=r2,>r2),则P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内(上、外) 71、直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，ｄ>r ⇔相离;d=r ⇔相切;d<r ⇔相交.
线∥线线∥面面∥面
判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→−←→−−→−−←→−←→−←−−←→−←→−
如：用垂径定理,构造Rt △解决弦长问题，
72、圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则：d>r+R ⇔
两圆相离;d ＝r+R ⇔两圆相外切;|R －r|<d<r+R ⇔两圆相交;
d ＝|R －r|⇔两圆相内切;d<|R －r|⇔两圆内含;d=0,同心圆.
73、两圆相交时，把两圆x2+y2+D1x+E1y+C1=0与x2+y2+D2x+E2y+C2=0方程相减即得相交弦所
在直线方程：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线
1(,)0f x y =与曲线2(,)0f x y =交点的曲线系方程为: f1(x,y)+λf2(x,y)=0.
74、圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心).
75、椭圆：①方程22
221x y a b +=(a >b>0);参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩；②定义: |PF1|+|PF2|=2a>2c ；
③
e=c a =；④长轴长为2a ，短轴长为2b ；⑤准线x=2a c ±、通径(最短焦点弦)22b a ,
焦准距p=c b 2；⑥当P 为短轴端点时∠PF1F2最大；近地a-c ，远地a+c ；
76、双曲线：①方程22
221x y a b -=(a,b>0)；②定义: ||PF1|-|PF2||=2a<2c ；
③
e=c a =；④顶点与焦点坐标？x,y 范围?实虚轴、渐近线交点为中心；⑤通径(最
短焦点弦)2
2b a ,焦准距p=c b 2；⑥渐进线22220x y a b -=或b y x a =±；焦点到渐进线距离为b ；
77、抛物线：①方程y2=2px ；②定义:|PF|=d 准；③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y 范围?轴？焦
点F(2p ,0),准线x=-2p ；④焦半径2A p AF x =+；焦点弦AB ＝x1+x2+p;y1y2=－p2,x1x2=42p 其
中A(x1,y1)、B(x2,y2)；⑤通径2p,焦准距p ；
78、求最优解注意①目标函数值≠截距；②目标函数斜率与区域边界斜率的关系；
对线形目标函数,我们比较熟悉,对非线形目标函数呢? 如：221(1),,2312y z x y z z x y x +=++=
=+--等,你清楚它们的几何意义吗?
79、过圆x2+y2=r2上点P(x0,y0)的切线为:x0x+y0y=r2;过圆x2+y2=r2外点P(x0,y0)作切线后切点
弦方程:x0x+y0y=r2；注：过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴.
80、对称：①点(a ,ｂ)关于x 轴、ｙ轴、原点、直线y=x 、y=x -、y=x+m 、y=x -+m 的对称点分
别是(a ,b -),(a -,b ),(a -,b -),(b ,a ),(b -,a -),(b-m 、a+m)、(-b+m 、-a+m)；②点(a ,b )关于直
线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在对称轴上解；③曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称曲
线为f(2a x - 2b-y)=0；关于y=x 对称曲线为f(y,x)=0；关于轴x=a 对称曲线方程为f(2a-x,y)=0；
关于轴y=a 对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0；可用于折叠(反射)问题.
81、相交弦：①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;
注意二次项系数为0的讨论;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可
用焦半径公式,其它用弦长公式
21x AB x x =-21y y =-= ②涉及弦中点与斜率问题常用“点差法”.如：曲线22
221x y a b ±=(a,b>0)上A(x1,y1)、B(x2,y2)中点为
M(x0,y0),则KABKOM=22b a ;对抛物线y2=2px(p≠0)有KAB ＝21y y p
2+；
82、轨迹方程：直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点P(x,y)
依赖于动点Q(x1,y1)而变化,Q(x1,y1)在已知曲线上,用x 、y 表示x1、y1,再将x1、y1代入已知曲线
即得所求方程)、参数法、交轨法,点差法等.
83、解题注意：①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误；②求圆锥曲线方
程常用待定系数法、定义法、轨迹法；③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证
明过程；④运用假设技巧以简化计算：如：中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设
为Ax2+Bx2＝1;共渐进线b y x a =±的双曲线标准方程可设为2222(x y a b λλ-=为参数,λ≠0);抛物线y2=2px 上点可设为(p 2y 20
,y0);直线的另一种假设为x=my+a;⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥
曲线定义。

84、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容
（1）给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0
=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()
+=+λ,等于已知,A B 与PQ 的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=
1OB OA ，等于已知P 是的定比分点，λ为定比，即PB AP λ= （7） 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已
知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角,。