2020中考复习--平方差公式背景题训练(有答案)

2020中考复习--平方差公式背景题训练
一、选择题
1.如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，
若拿掉边长为2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一个矩形，
则这个矩形的面积为()
A. 9a2−4b2
B. 3a+2b
C. 6a2+2b2
D. 9a2−6ab
2.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部
分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证()
A. (a−b)2=a2−2ab+b2
B. (a+2b)(a−b)=a2+ab−2b2
C. (a+b)2=a2+2ab+b2
D. a2−b2=(a+b)(a−b)
3.如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪开
拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是
A. a2−b2=(a+b)(a−b)
B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)2=a2+2ab+b2
D. a2+ab=a(a+b)
4.将图甲中两个小长方形的位置变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到
一个关于a、b的恒等式为()
A. (a−b)2=a2−2ab+b2
B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. a(a−b)=a2−ab
D. (a+b)(a−b)=a2−b2
5.如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分
可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是()
A. 4m2+12m+9
B. 3m2+6m
C. 3m+6
D. 2m2+6m+9
6.如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部
分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是()
A. a2−b2=(a+b)(a−b)
B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a−b)2=a2−2ab+b2
D. a2−ab=a(a−b)
7.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个
相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为()
A. a2−b2=(a−b)2
B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)2=a2+2ab+b2
D. a2−b2=(a+b)(a−b)
二、填空题
8.如图，从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚
线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠，无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是______________
9.在学习乘法公式的时候，我们可以通过图形解释加深对公式的
理解，下边这个图形可以解释的乘法公式是________________。

10.求图中阴影部分的面积______ ．
11.利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不
等式的正确性．
(Ⅰ)根据下列所示图形写出一个代数恒等式______．
(Ⅱ)已知正数a、b、c和m、n、l，满足a+m=b+n=c+l=
k.试构造边长为k的正方形：______，
利用图形面积来说明al+bm+cn<k2并简述理由：______．
12.一个大正方形和四个全等的小正方形按如图①②的两种方
式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________(用含a，b的式子表示)．
13.请你观察右边图形，依据图形面积间的关系，不需要添加
辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是
______ ．
三、解答题
14.如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小
正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形。

(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：，；
(2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式？；
(3)试利用这个公式计算：(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=．
15.(1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b<a)的小正方形，通
过不同的方法计算图中阴影部分的面积；
方法①______ ；方法②______ ；
由此可以验证的乘法公式是______ ．
(2)类似地，在边长为a的正方体上割去一个边长为b(b<a)的小正方体(如图②)，
通过不同的方法计算图中余下几个几何体的体积．
方法①______ ；方法②______ ；
由此可以得到的等式是______ ，并证明这个等式．
16.如图，王大妈家有一块边长为a的正方形土地租给了邻居
李大爷种植，今年，他对李大爷说：“我把你这块地的一
边减少4m，另一边增加4m，继续租给你，你也没有吃亏，
你看如何”.李大爷一听，就答应了．同学们，你认为李大
爷吃亏了吗？为什么？
17.我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题
的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M−N，若M−N>0，则M>N.若M−N=0，则M=N.若M−N<0，则M<N.请你用“作差法”解决以下问题：
(1)如图，试比较图①、图②两个矩形的周长C1、C2的大小(b>c)；
(2)如图③，把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正
方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和S1与两个矩形面积之和S2的大小．
18.【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的
阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)，通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______.(用含a，b的等式表示)
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
(1)已知4m2=12+n2，2m+n=4，则2m−n的值为______．
(2)计算：20192−2020×2018．
【拓展】
计算：1002−992+982−972+⋯+42−32+22−12．
19.阅读下列材料并解答问题：
数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到．例如，图1中阴影部分的面积可表示为a2−b2；若将阴影部分剪下来，重新拼成一个矩形(如图2)，它的长，宽分别是a+b，a−b，由图1，图2中阴影部分的面积相等，可得恒等式(a+b)(a−b)= a2−b2．
(1)观察图3，根据图形，写出一个代数恒等式：______；
(2)现有若干块长方形和正方形硬纸片如图4所示．请你仿照图3，用拼图的方法推
出恒等式(a+b)2=a2+2ab+b2，画出你的拼图并标出相关数据；
(3)利用前面推出的恒等式(a+b)(a−b)=a2−b2和(a+b)2=a2+2ab+b2计
算：
①(√3+√2)(√3−√2)；
②(x+2)2．
20.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如左图)，然后将剩余部分拼成
一个长方形(如右图)．
(1)上述操作能验证的等式是__________；(请选择正确的一个)
A、a2−2ab+b2=(a−b)2
B、a2−b2=(a−b)(a+b)
C、a2−ab=a(a−b)
(2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知x2−4y2=12，x+2y=3，求x−2y的值．
②计算：(1−1
22)(1−1
32
)(1−1
42
)......(1−1
92
)(1−1
102
)．
答案和解析
1.A
解：∵阴影部分面积=9a2−4b2，
∴将阴影部分的三块拼成一个矩形，则这个矩形的面积为9a2−4b2．
2.D
3.A
解：大正方形的面积−小正方形的面积=a2−b2，
矩形的面积=(a+b)(a−b)，
故a2−b2=(a+b)(a−b)．
4.D
解：图甲面积=(a−b)(a+b)，
图乙面积=a(a−b+b)−b×b=a2−b2，
∵两图形的面积相等，
∴关于a、b的恒等式为：(a+b)(a−b)=a2−b2．
5.B
解：根据题意，得：
(2m+3)2−(m+3)2
=[(2m+3)+(m+3)][(2m+3)−(m+3)]
=(3m+6)m
=3m2+6m
6.A
解：根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2−b2=(a+b)(a−b)．
阴影部分的面积=a2−b2=(a+b)(a−b)．
7.D
解：阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2−b2，乙的面积=(a+b)(a−b)．即：a2−b2=(a+b)(a−b)．
所以验证成立的公式为：a2−b2=(a+b)(a−b)．
8.a +6
解：拼成的长方形的面积为(a +3)2−32=(a +3+3)(a +3−3)=a(a +6)， 因为拼成的长方形的一边长为a ，所以另一边长是a +6．
9.(a +b)(a −b)=a 2−b 2
解：根据题意得：(a +b)(a −b)=a 2−b 2．
10.2ab −2b 2
解：阴影部分的面积=b(a −b)×2=2ab −2b 2．
11.(a +b)2−(a −b)2=4ab 或(a +b)2=(a −b)2+4ab 或(a +b)2−4ab =(a −b)2
等；；因为a +m =b +
n =c +l =k ，显然有al +bm +cn <k 2
解：(Ⅰ)(a +b)2−(a −b)2=4ab 或(a +b)2=(a −b)2+4ab 或(a +b)2−4ab =
(a −b)2等；
12.ab
解：设大正方形的边长为x 1，小正方形的边长为x 2，由图①和②列出方程组得， {x 1+2x 2=a x 1−2x 2=b 解得：{x 1=a+b
2x 2=a−b 4
②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=(a+b 2
)2
−4×(
a−b 4
)2
=ab ．
13.(x +y)(x −y)=x 2−y 2，x 2−y 2=(x +y)(x −y)或(x −y)2=x 2−2xy +y 2
解：由图可知，左下角的小正方形的面积=大正方形的面积−两个长x ，宽y 的矩形的面积和+这两个矩形的重叠部分的面积=x 2−2xy +y 2，小正方形的面积为(x −y)2， 因此，(x −y)2=x 2−2xy +y 2，
图中，L 形状的图形的面积=大正方形的面积−左上边的边长为y 的小正方形的面积=x 2−y 2，
L 状图形的面积=长x 宽x −y 的矩形的面积+长y 宽x −y 的矩形的面积=x(x −y)+y(x −y)=(x +y)(x −y)，
因此，x 2−y 2=9x +y)(x −y)．
14.(1)a2−b2；(a+b)(a−b)；
(2)a2−b2=(a+b)(a−b)；
(232−1)
(3)1
3
解：(1)∵大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，
故图(1)阴影部分的面积值为：a2−b2，图(2)阴影部分的面积值为：(a+b)(a−b)．故答案为a2−b2，(a+b)(a−b)；
(2)以上结果可以验证乘法公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
×(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
(3)原式=1
3
(232−1)．
=1
3
15.解：(1)①a2−b2；②a(a−b)+b(a−b)；(a+b)(a−b)=a2−b2；
(2)①a3−b3；②a2(a−b)+ab(a−b)+b2(a−b)；a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2).
解：(1)①a2−b2；②a(a−b)+b(a−b)；
由此可以验证的乘法公式是(a+b)(a−b)=a2−b2；
故答案为：①a2−b2；②a(a−b)+b(a−b)；(a+b)(a−b)=a2−b2；
(2)①a3−b3；②a2(a−b)+ab(a−b)+b2(a−b)；
由此可以验证的乘法公式是a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)，
证明：等式右边=(a−b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2−a2b+ab2−b3=a3−b3=左边，得证．
16.解：李大爷吃亏了．
原来正方形地的面积a2，当一边减少4，另一边增加4时，面积为(a+4)(a−4)=a2−16，
因为a2−16<a2，
所以李大爷吃亏了．
17.解：(1)由图形得：C1=2(a+b+c+b)=2a+4b+2c；
C2=2(a−c+b+3c)=2a+2b+4c，
C1−C2=2a+4b+2c−2a−2b−4c=2(b−c)，
∵b>c，
∴2(b−c)>0，
则C1>C2；
(2)由图形得：S1=a2+b2；S2=2ab，
∴S1−S2=a2+b2−2ab=(a−b)2>0，
∴S1>S2．
18.(a +b)(a −b)=a 2−b 2 3
解：
【探究】图1中阴影部分面积a 2−b 2，图2中阴影部分面积(a +b)(a −b)， 所以，得到乘法公式(a +b)(a −b)=a 2−b 2 故答案为(a +b)(a −b)=a 2−b 2． 【应用】
(1)由4m 2=12+n 2得，4m 2−n 2=12 ∵(2m +n)⋅(2m +n)=4m 2−n 2 ∴2m −n =3 故答案为3．
(2)20192−2020×2018
=20192−(2019+1)×(2019−1) =20192−(20192−1) =20192−20192+1 =1 【拓展】
1002−992+982−972+⋯+42−32+22−12
=(100+99)×(100−99)+(98+97)×(98−97)+⋯+(4+3)×(4−3)+(2+1)×(2−1)
=100+99+98+97+⋯+4+3+2+1 =5050
19.(1)(a +b)(2a +b)=2a 2+3ab +b2； (2)解：如图所示：
由图可得(a +b)2=a 2+2ab +b 2；
(3)解：①原式=(√3)2−(√2)2=3−2=1； ②(x +2)2=x 2+2×x ×2+22=x 2+4x +4．
解：(1)由图3知，等式为：(a +b)(2a +b)=2a 2+3ab +b 2， 故答案为：(a +b)(2a +b)=2a 2+3ab +b 2；
20.解：(1)B;
(2)①∵x 2−4y 2=(x +2y)(x −2y) ∴12=3(x −2y) 得：x −2y =4；
②原式=(1−1
2)(1+1
2)(1−1
3)(1+1
3)(1−1
4)(1+1
4)....(1−1
10)(1+1
10)， =1
2×3
2×2
3×4
3×3
4×....×9
10×11
10，
=1
2×11
10
=11
20
．
解：(1)∵左边阴影部分的面积为：a2−b2，右边阴影部分的面积为(a+b)(a−b)，∴a2−b2=(a+b)(a−b)．。