2015高级中学数学业水平考试经典编辑118题(含规范标准答案)

2015年学业水平考试经典118题
1、已知全集}6,5,4,3,2,1{=U 集合{
}6,4,3,1=A ,{}6,5,4,2=B ,则B C A U ⋂等于( ) A.{
}3,1 B.{}5,2 C.{}4 D.∅ 【答案】A
2、已知集合{}
22A x x =-<<,{}
2
20B x x
x =
-≤,则A B I 等于 ( )
A.()0,2
B.(]0,2
C.[)0,2
D.[]0,2
【答案】C
3、已知集合1},032|{=<-=a x x P ，则下列正确的是
（ ）
（A ）P a ⊆ （B ）P a ∈ （C ）P a ∉ （D ）P a ∈}{
【答案】B
4、函数1
()lg(1+x 1-x
f x =
+）
的定义域是( ) A.(,-1)-∞ B.(1,+)∞ C.(1,1)+-∞U （1，）
D.(,+)-∞∞
【答案】C
5、下列哪组中的两个函数是同一函数
A.2y =与y x =
B.3
y =与y x =
C.y =
2
y =
D.y =2
x y x
=
【答案】B
6、已知f(x)=⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧<-=->)0(32)0(1)0(0x x x x 则f{f[f(5)]}=
A 、0
B 、-1
C 、5
D 、-5 【答案】D
7、下列四个函数中,在区间(0,)+∞上是减函数的是 ( )
A.3log y x =
B.3x y =
C.12
y x =
D.1y x
=
【答案】D
8、设f(x)为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=2x
+2x+b(b 为常数),则f(-1)=
(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【答案】答案D
解析:因为()f x 为定义在R 上的奇函数,所以有0
(0)2200f b =+⨯+=,解得1b =-,所以
当0x ≥时,()221x
f x x =+-,则有()1
(1)1(2211)3f f -=-=-+⨯-=-,故选D
9、
函数y =
(A)[0,)+∞ (B)[0,4] (C)[0,4) (D)(0,4)
【答案】C 10
、2
log 的值为
A.
C.12-
D. 12
【答案】D
11、在同一坐标系中画出函数log a y x =,x y a =,y x a =+的图象,可能正确的是( )
【答案】D
12、如果函数()log (1)a f x x a =>在区间[, 2]a a 上的最大值是最小值的3倍,那么a 的
值为( ).
2 D.3
【答案】参考答案:A
13、
x A.)0,1(-
【答案】 C
14、设函数6ln 2)(-+=x x x
f 的零点为x ,则m 的所在区间为( )
(A) ()1,
0 (B) ()2,1 (C) ()3,2 (D) )4,3(
【答案】C
15、一个角的度数是ο
405,化为弧度数是( ).
A.
π3683 B. π47 C. π613 D. π4
9 【答案】参考答案:D
考查内容:弧度制的概念,弧度与角度的互化
B A
C D
-!
16、已知sin 20α<,且cos 0α>,则α的终边落在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 【答案】D
17、sin 240o
的值为
A.12-
B. 12
C.
【答案】C
18、623sin π
等于 A. 23- B. 2
1- C. 21 D. 23
【答案】B
19、计算sin 43cos13cos 43sin13-o
o
o
o
的结果等于( )
A.
1
2
【答案】A
20、ο
ο
ο
ο
30sin 75cos 30cos 75sin -的值为( )
A.1
B.
2
1
C.22
D.23
【答案】C
21、函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是
A.
2π B.4
π
C.π2
D.π
【答案】A 22、函数)5
2sin(π
-
=x y 的最小正周期是
(A)
2
π
(B) π (C)2π (D) 4π 【答案】B
23、函数()sin()4
f x x π
=-的一个单调增区间为 ( ) (A) 37(,)44ππ (B) 3(,)44ππ- (C)(,)22ππ- (D)3(,)44
ππ-
【答案】A
24、函数x cos 4x sin 3y 2
--=的最小值为( )
(A)-2 (B)-1 (C)-6 (D)-3 【答案】B
25、tan 2y x =的定义域是
A 、|,,2x x k x R k Z ππ⎧⎫≠
+∈∈⎨⎬⎩⎭ B 、|+2,,2x x k x R k Z ππ⎧⎫≠∈∈⎨⎬⎩⎭ C 、|,,42k x x x R k Z ππ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭ D 、|,,4x x k x R k Z ππ⎧⎫
≠+∈∈⎨⎬⎩⎭
【答案】C
26、函数f (x )=2sin x cos x 是
A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数
【答案】C
27、为了得到函数sin(2)3y x π
=-
的图像,只需把函数sin(2)6
y x π
=+的图像 ( ) (A)向左平移
4π个长度单位 (B)向右平移4π
个长度单位 (C)向左平移
2π个长度单位 (D)向右平移2
π
个长度单位 【答案】B
28、设ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列,sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列,则这个三
角形的形状是( )
A.等腰直角三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形 【答案】B
29、已知ABC ∆中,1,a b ==
45B =o ,则角A 等于
( )
A.150o
B.90o
C.60o
D.30o 【答案】 D
30、若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =,则△ABC (A)一定是锐角三角形. (B)一定是直角三角形.
(C)一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 【答案】解析:由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得011
5213115cos 2
22<⨯⨯-+=
c ,所以角C 为钝角 31、在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对边分别为a,b,c,若B b A a cos cos =,则△ABC 的形状是
( )
A.等腰三角形或直角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【答案】A
32、已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且
2()()a c a c b bc +-=+,则A 等于
A.150︒
B.120︒
C. 60︒
D. 30︒ 【答案】B 33、若向量(12)=，a ,(3,4)-b =,则()()⋅a b a +b 等于( )
A.20
B.(10,30)-
C.54
D.(8,24)- 【答案】B
34、已知)1 2a =r ，,()2b m =-r ，,若
//a b r r ,则|23|a b +r r 等于 ( )
B. C. D.【答案】B
35、已知平面向量a ,b 的夹角为60°,=a ,||1=b ,则|2|+=a b
(A) 2 (C) (D) 【答案】C
36、已知向量(1, 2)=a ,(3, 2)=-b ,如果k +a b 与3-a b 垂直,那么实数k 的值为
(A)19- (B)13- (C)
11
9
(D)19 【答案】D
37、已知向量(1,2),(1,)a b k ==-r r
,若a b ⊥r r ,则k =
A.-2
B. 2
C.-12
D. 1
2
【答案】D
38、已知a =(1,0),b =(,1)x ,若3a b ⋅=,则x 的值为
A. 2
B.22
C. 31-
D. 3
【答案】D 39、已知点(1,1)A -,点(2,)B y ,向量=(1,2)a ,若//AB u u u r
a ,则实数y 的值为
( )
A.5
B.6
C.7
D.8 【答案】 C
40、已知向量a = (6, 2 ) ,向量b = (x ,3 ) ,且b a //, 则x 等于
A.9
B. 6
C.5
D.3 【答案】A
41、已知向量a =(1,k ),=b (2,1),若a 与b 的夹角大小为︒
90,则实数k 的值为( ) A.12-
B.12
C.2-
D.2
【答案】C
42、已知向量a
=(1,k ),=b (2,1),若a 与b 的夹角为︒90,则实数k 的值为 A.12- B.1
2
C.2-
D.2
【答案】C
43、已知}{a n 为等差数列,且1247-=-a a ,03=a ,则公差=d
( ).
A.2-
B.2
1-
C.21
D. 2
【答案】B
44、已知等差数列{n a }中,,2,164142==+a a a 则11S 的值为
A. 15
B.33
C.55
D. 99
【答案】C
45、已知{}n a 是由正数组成的等比数列,n S 表示{}n a 的前n 项的和,若13a =,24144a a =,则5S 的值是 (A)
69
2
(B) 69 (C)93 (D)189 【答案】C 46、设n S 为等比数列
{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则
5
2
S S = （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11-
【答案】答案：D
解析：解析：通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为083
22=+q a a ，解得q =-2，
带入所求式可知答案选D ，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，属中档题
47、设0a b <<,则下列不等式中正确的是
A.2a b
a b ab +<<
<
B.2a b
a a
b b +<
<
< C.2
a b
a a
b b +<<<
D.2
a b
ab a b
+<<<
【答案】B
48、已知正整数a ,b 满足304=+b a ,使得
b
a 1
1+取得最小值时的实数对),(b a 是( ). A.(5,10) B.(6,6) C.(10,5) D.(7.,2) 【答案】A
49、若函数1
()(2)2
f x x x x =+
>-在x a =处有最小值,则a = (A)12+ (B) 13+ (C)3 (D)4 【答案】C
50、已知0,0a b >>,2a b +=则14
y a b
=
+的最小值是 (A)
72 (B)4 (C)9
2
(D)5 【答案】C
51、不等式(1)(2)
x x +-0>的解集为
A.(,1)(2,)-∞-+∞U
B.(,2)(1,)-∞-+∞U
C.(1,2)-
D.(2,1)- 【答案】C
52、不等式260x x -->的解集为( ).
A.{}
23x x x <->或 B.{}23x x -<<
C.{}32x x x <->或
D.{}32x x -<<
【答案】参考答案:A
53、设变量y x ,满足约束条件:,222⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≥x y x x y 则y x z 3-=的最小值( )
A. 2-
B. 4-
C. 6-
D. 8-【答案】D
54、设变量x,y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
,则目标函数231z x y =++的最大值为
(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5
【答案】B 【解析】根据题意,在两直线交点处取得最大值.由25020x y x y ì+-=ïí--=ïî
得3
1x y ì=ïí=ïî,
代入目标函数231z x y =++,得z=10
-!
55、如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为
A.942π+
B.3618π+
C.9122π+
D.9182
π+
【答案】D
56、1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是
(A)12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ⇒ (B)12l l ⊥,23//l l ⇒13l l ⊥
(C)233////l l l ⇒1l ,2l ,3l 共面 (D)1l ,2l ,3l 共点⇒1l ,2l ,3l 共面 【答案】答案:B
解析:由12l l ⊥,23//l l ,根据异面直线所成角知3l 与3l 所成角为90°,选B.
57、设a 、b 是两条不同直线,α、β是两个不同平面,则下列命题错误．．
的是 A.若a α⊥,//b α,则a b ⊥ B.若a α⊥,//b a ,b β⊂,则αβ⊥ C.若a α⊥,b β⊥,//αβ,则//a b D.若//a α,//a β,则//αβ 【答案】D
58、在下列命题中,正确的是 ( ) A.垂直于同一个平面的两个平面互相平行 B.垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C.平行于同一个平面的两条直线互相平行 D.平行于同一条直线的两个平面互相平行 【答案】B
59、设l ,m ,n 为不同的直线,α,β为不同的平面,有如下四个命题:
①若,l αβα⊥⊥,则//l β ②若,,l αβα⊥⊂则l β⊥
③若,,l m m n ⊥⊥则//l n ④若,//m n αβ⊥且//αβ,则m n ⊥ 其中正确命题的个数是
( )
A.1
B.2
C. 3
D. 4 【答案】A
60、已知直线l 的斜率为2,且过点),3(),2,1(m B A --,则m 的值为( ) A.6 B.10 C.2 D.0 【答案】A
61、
直线20x +
-=的倾斜角为 ( )
俯视图
A.
6π B. 3
π C. 23π D. 56π
【答案】 D
62、不论a 为何实数,直线(3)(21)70a x a y ++-+=恒过
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
【答案】解析:一般做法把含参数的写在一起,不含参数的写在一起.
原直线方程可变形为a(x+2y)+(3x-y+7)=0,令x+2y=0,3x-y+7=0,则得x=-2,y=1,即直线恒过定点(-2,1),而它在第二象限.
63、经过两点A (4,0),B (0,-3)的直线方程是( ).
A.34120x y --=
B.34120x y +-=
C.43120x y -+=
D.43120x y ++= 【答案】参考答案:A
64、经过点(1,－3)，且倾斜角的正切值为34
-的直线的方程是（ ）
（A ）01034=--y x （B ）0234=++y x （C ）034=+y x
（D ）0534=++y x
【答案】D
65、过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
(A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0 【答案】A
66、已知直线1l :()()02y 2m x 2m =+--+,直线2l :01my 3x =-+,且21l l ⊥, 则m 等于 ( ) A.1- B. 6或1- C. 6- D. 6-或1 【答案】B
67、如果直线ax +2y +2=0与直线3x -y -2=0平行,那么系数a 等于( ). A.-3 B.-6
C.-
2
3 D.32
【答案】B 68、若直线023:04)1(2:21
=-+=+++y mx l y m x l 与直线平行,则m 的值为
A. -2
B. -3
C. 2或-3
D. –2或-3
【答案】C
69、若P )1,2(- 为圆2
2
(1)25x y -+=的弦AB 的中点, 则直线AB 的方程是( ).
A.230x y +-=
B.10x y +-=
C.30x y --=
D.250x y --= 【答案】C
70、圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是
(A)(2,3) (B)(-2,3) (C)(-2,-3) (D)(2,-3) 【答案】答案:D
解析:圆方程化为22(2)(3)13x y -++=,圆心(2,-3),选D.
71、已知圆C :x 2+y 2
-2x +4y +1=0,那么与圆C 有相同的圆心,且经过点(-2,2)的圆的方程是( ).
A.2
2
(1)(2)5x y -++= B. 2
2
(1)(2)25x y -++= C.2
2
(1)(2)5x y ++-= D. 2
2
(1)(2)25x y ++-= 【答案】参考答案:B
72、直线0=+++b a by ax 与圆22
2
=+y x 的位置关系为
(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)相交或相切 【答案】D
73、圆1C :2
2
2880x y x y +++-=与圆2C :2
2
4420x y x y +-+-=的位置关系是( )
A. 相交
B. 外切
C. 内切
D. 相离 【答案】A
74、同时掷两个骰子,向上点数和为5的概率是( ) A. 4; B. ;91 C.
121; D. 21
2 【答案】B
75、连续投掷两次骰子得到的点数分别为m 、n ,作向量(,)a m n =r
.则向量a r 与向量(1,1)b =-r
的夹角成为直角三角形内角的概率是( ) A.712 B.512 C.12
D.61
【答案】A
76、甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,
把乙猜想的数字记为b ,其中{
}6,5,4,3,2,1,∈b a ,若|a-b |≤1,则称甲乙“心有灵犀”｡现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 ( )
A.
91 B.92 C. 187 D.9
4 【答案】D
77、若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、 n 作为P 点的坐标，求点P 落在圆2
2
16x y +=
外部的概率是 A ．
59 B ．23 C ．79 D ．89
【答案】C
78、先后抛掷两枚骰子, 骰子朝上的点数分别为
,x y , 则满足2log 1x y =的概率为
（ ）
A 16
B
136
C
112
D
12
【答案】C
79、如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为96
颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 (A)7.68 (B)8.68 (C)16.32 (D)17.32
【答案】C
80、某校高三一班有学生54人,二班有学生42人,现在要用分层抽样的方法从这两个班随
机选出16人参加军训表演,则一班和二班分别选出的人数是 (A)8人,8人 (B)15人,1人 (C)9人,7人 (D)12人,4人 【答案】C
81、一个单位有职工800人,期中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是
(A )12,24,15,9 (B )9,12,12,7 (C )8,15,12,5 (D )8,16,10,6
【答案】解析:因为
401
80020
=
故各层中依次抽取的人数分别是160820=,3201620=,2001020=,120
620
= 答案:D
82、在频率分布直方图中,小矩形的高表示
A.频率/样本容量
B.组距×频率
C.频率
D.频率/组距
【答案】D
83、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表
根据上表可得回归方程ˆˆy
bx a =+中的b 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 【答案】【命题立意】本小题主要考察线性回归方程的性质,过定点的应用.
B 【解析】线性回归方程过定点(x y ，
),49263954
424
y +++==,x =3.5,带入42=9.4×
3.5+$a
,得$429.4 3.59.1a =-?,∴69.49.165.5y =?=. 84、已知
x ,y 的取值如下表:
从散点图可以看出y 与x 线性相关,且回归方程为0.95y x a =+,则a = (A) 3.25 (B) 2.6 (C) 2.2 (D) 0
【答案】B 本题就是考查回归方程过定点(,)x y ｡
85、阅读右边的程序框图,运行相应的程序
,若输入x 的值为4-,
则输出y 的值为
A.0.5
【答案】C
86、函数()322
+-=kx x x f 在
[)∞+,2上是增函数,则k 的取值范围是________.
【答案】
(]8，∞-
87、若2)1(2)(2+--=x a x x f 在]4,(-∞上是减函数,则实数a 的值的集合是
______________.
【答案】3-≤a
88、设()f x 是定义R 上的奇函数,当0x ≤时,()f x =2
2x x -, 则(1)f =_______.
【答案】3-
89、已知函数2(0)
()(3)(0)
x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩,则f(-8)=_______.
【答案】2 ; 90、函数)10(23
≠>+=-a a a
y x 且恒过定点____________
【答案】(3,3)
91、已知a =2lg ,b =3lg 则=12log 2_________________________(请用a,b 表示结果).
【答案】
2+a b
(也可写为:
a
a b 2+)
92、若点在幂函数)(x f y =的图象上,则()f x =___________ .
【答案】
93、已知角的终边过点(4, 3)P -,那么2sin cos αα+的值为__________. 【答案】参考答案:5
2- 94、已知3
cos 5
x =,(),2x ππ∈,则tan x =__________ 【答案】4
3
-
95、已知α是锐角,且2)4
tan(=+π
α,则
=-+α
αα
αcos sin cos sin ___________.
【答案】 2-;
96、已知α为第二象限角,且1
sin 3
α=,则sin 2α=________.
【答案】 97、在△ABC 中,如果::3:2:4a b c =,那么cos C =__.
【答案】1
4
-
98、已知函数()223px f x q x
+=-是奇函数,且()5
23f =-.
(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;
(Ⅱ)用定义证明函数()f x 在()0,1上的单调性.
【答案】解:(Ⅰ)因为()f x 是奇函数,所以对定义域内的任意x ,都有()()f x f x ∴-=-,
即2222
33px px q x q x
++=-+- 整理得33q x q x +=-+,所以0q =.又因为()5
23
f =-
, 所以()425
263
p f +=
=--,解得2p =. 故所求解析式为()222
3x f x x +=-.
(Ⅱ)由(1)得()2222133x f x x x x +⎛⎫
=
=-+ ⎪-⎝⎭
. 设1201x x <<<,则
()12122112
2112
12112
()()33x x f x f x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=
+-+==-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦… . 因为1201x x <<<,所以1201x x <<,120x x -<,1210x x ->, 从而得到12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <. 所以函数()f x 在()0,1上是增函数. -
99、已知函数2
1log 1x
f x x
+=-（） ，x ∈（- 1，1）. （Ⅰ）判断f （x ）的奇偶性，并证明；
（Ⅱ）判断f （x ）在（- 1，1）上的单调性，并证明.
【答案】证明：（Ⅰ）12
2221()111()log log log ()log ()1()111x x x x
f x f x x x x x
-+--++-====-=---+--
又x ∈（-1，1），所以函数f （x ）是奇函数
（Ⅱ）设 -1＜x 1＜x 2＜1，
2112212
22211211(1)(1)
()()log log log 11(1)(1)
x x x x f x f x x x x x ++-+-=-=--+- 因为1- x 1＞1- x 2＞0；1+x 2＞1+x 1＞0
所以
1212(1)(1)1(1)(1)x x x x -+>+- 所以122
12(1)(1)
log 0(1)(1)
x x x x -+>+- 所以函数21()log 1x
f x x
+=-在（- 1，1）上是增函数
100、用定义证明：函数21
()2f x x x -=+在(0,1]上是减函数。

【答案】证明：设]1,0(,,2121∈〈x x x x 且则，
()()=-21x f x f 221+x 1222112----x x x
=()()()021122121122122
21
〉⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x x x x x x x x 所以()1
22-+=x x x f 在(]1,0上是减函数。

101、已知函数(),m
f x x x
=+ 且此函数图象过点（1，5）.
（1）求实数m 的值； （2）判断()f x 奇偶性；
（3）讨论函数()f x 在[2,)+∞上的单调性？并证明你的结论.
【答案】4m =； 奇函数； 增函数； 证明略（关键是分解后的因式及符号判别） 102、已知a=(1,2),b=(-3,2)，当k 为可值时：
（1）ka+b 与a-3b 垂直；
（2）ka+b 与a-3b 平行，平行时它们是同向还是反向？
【答案】解：(3,22)ka b k k +=-+r r ，3(10,4)a b -=-r r
（1）ka b +⊥r r 3a b -r r
，则()()31022(4)0k k -⋅++⋅-=，得19k =
（2）//ka b +r r 3a b -r r ，则()()3(4)22100k k -⋅--+⋅=，得13
k =-
此时13
a b -+r r 与3a b -r
r 反向
103、已知)1,1(),0,1(==b a ．当λ为何值时，b a λ+与a 垂直？ 【答案】).,1()1,1()0,1(),1,1(),0,1(λλλλ+=+=+∴==b a b a Θ
由于b a λ+与a 垂直，则有.1,001,0)0,1(),1(-=∴=++∴=⋅+λλλλ ∴当1-=λ时，b a λ+与a 垂直．
104、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2,O 是AC 与BD 的交点,E 为1BB 的中点.
(Ⅰ)求证:直线1B D ∥平面AEC ; (Ⅱ)求证:⊥D B 1平面AC D 1; (Ⅲ)求三棱锥1D D OC -的体积.
C 1
D 1
C
A 1
A
【答案】(Ⅰ)连接OE ,在1B BD ∆中,
∵E 为1BB 的中点,O 为BD 的中点, ∴OE ∥1B D 又∵1B D ⊄平面AEC ∴直线1B D ∥平面AEC
(Ⅱ)在正方体1111D C B A ABCD -中,
1B B ⊥Q 平面ABCD , AC ⊂平面ABCD ∴1B B AC ⊥.
BD AC ⊥Q
且1BB BD B ⋂= ∴1B D AC ⊥ ∴1AC B D ⊥
同理可证11B D AD ⊥ ∵1AC AD A ⋂= ∴⊥D B 1平面AC D 1
(Ⅲ)111112
21333
D D OC D DOC DOC V V DD S --∆==⋅⋅=⨯⨯=
105、如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是菱形,SA ABCD ⊥底面,M 为SA 的中
点,N 为CD 的中点.
(Ⅰ)证明:平面SBD ⊥平面SAC ; (Ⅱ)证明:直线MN SBC 平面‖.
B
【答案】证明:(Ⅰ)∵ABCD 是菱形, ∴BD ⊥AC,
∵SA ABCD ⊥底面,∴BD ⊥SA, ∵SA 与AC 交于A, ∴BD ⊥平面SAC, ∵BD ⊂平面SBD
∴平面SBD ⊥平面SAC (Ⅱ)取SB 中点E,连接ME,CE, ∵M 为SA 中点,∴ME P AB 且ME=
1
2
AB, 又∵ABCD 是菱形,N 为CD 的中点,
∴CN P AB 且CN=
12CD=1
2
AB, ∴CN P EM,且CN=EM,
∴四边形CNME 是平行四边形, ∴MN P CE,
又MN ⊄平面SBC, CE ⊂平面SBC, ∴直线MN SBC 平面‖
106、已知数列}{n a 是等差数列,34-=n a n ,求首项1a ,公差d 及前n 项和n S 【答案】n n s d a n -===2
12,4,1
107、已知等差数列{}n a 中，21531=++a a a ，94
=a ,
求：（I ）首项1a 和公差d ；
（II ）该数列的前8项的和8S 的值．
【答案】解 (Ⅰ) 由等差数列{}n a 的通项公式：
n a =d n a )1(1-+，
得⎩⎨
⎧=+=++++.
93,
21)4()2(1111d a d a d a a
解得 1a =3，d =2. (Ⅱ) 由等差数列{}n a 的前n 项和公式：
d n n na S n 2
)
1(1-+
=， 得 2
2
78388⨯⨯+⨯=S 805624=+=.
108、已知等差数列}{n a 中，16,24524=+=a a S ，求通项公式n a 和前n 项和n S 。

【答案】解；设等差数列的首项和公差分别是1a 和d ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=⨯+16
)4()(242
344111
d a d a d a 整理得⎩⎨⎧=+=+16
52123211d a d a ，解得2,31==d a ，所以n n S n a n n 2,122
+=+=
109、在等比数列{}n a 中142,54a a ==- ,求n a 及前n 项和n S .
【答案】
()
()34
1
1
27,31323,
2
n
n n n a q q a a s -=
=-∴=---=-=
Q 则
110、在等比数列{}n a 中，首项11a =，48a =，求该数列的前10项的和10S . 【答案】设公比为q ，由已知11a =，3
3
418a a q q ===，得2q =
所以10101(12)
12
S ⋅-=
-10211023=-= 111、在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项1a 和项数n ．
【答案】解：由已知，得
5111
3162,(13)242,13
n a a -⎧⋅=⎪
⎨-=⎪
-⎩①②
由①得181162a =，
解得 12a =．
将12a =代入②得
()21324213
n =-－，
即 3243n =，解得 n ＝5． ∴数列{}n a 的首项12a =，
项数n ＝5．
112、已知一个圆的圆心坐标为C （－1，2），且过点P （2，－2），求这个圆的标准方程 【答案】解：依题意可设所求圆的方程为
(x ＋1)2+(y －2)2= r 2
因为点P （2，－2）在圆上，所以 r 2 =(2＋1)2+(－2－2)2
=25 因此，所求的圆的标准方程是
(x ＋1)2+(y －2)2=5 2
113、求过)1,3(A 、)6,1(-B ，且圆心在直线0=+y x 上的圆的方程．
【答案】解：设圆的方程02
2=++++F Ey Dx y x ，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=-+-=++-=+++0
)2()2
(06370310E D F E D F E D ⎪⎩⎪
⎨⎧-=-==⇒1633F E D
0163322=--++∴y x y x
114、一颗骰子连续抛掷两次，计算：
(Ⅰ) 向上的点数之和是5的概率；
(Ⅱ) 向上的点数之和不大于4的概率．
【答案】解：(Ⅰ)记“一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数之和等于5”为事件A ∵一颗骰子连续抛掷2次，共有以下36种结果： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6) (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6) (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)
而向上的点数之和为5的结果有(4,1)，(3,2)，(2,3)，(1,4)等4种情况 ∴9
1364)(==
A P ， 故一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数之和等于5的概率为
9
1 (Ⅱ)记“一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数之和不大于4”为事件B ，“向上的点数之和为2”记作事件1C ，“向上的点数之和为3”记作事件2C ，“向上的点数之和为4”记作事件3C ，则321C C C B Y Y =．
∵事件321,,C C C 不可能同时发生，∴事件321,,C C C 是两两互斥事件
∴6
1366363362361)()()()(321==++=
++=C P C P C P B P 故一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数之和不大于4的概率为
6
1
． 115、有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4．
试求：
(1)他乘火车或飞机来的概率； (2)他不乘轮船来的概率；
(3)如果他来的概率为0.4，请问他有可能是乘何种交通工具来的？
【答案】解：设＂朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来＂分别为事件Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，则()0.3P A =，
()0.2P B =，()0.1P C =，()0.4P D =，且事件Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ之间是互斥的。

(1)他乘火车或飞机来的概率为1()()()0.30.40.7P P A D P A P D ==+=+=U (2)他乘轮船来的概率是()0.2P B =，所以他不乘轮船来的概率
为()1()10.20.8P B P B =-=-=
(3)由于0.4()P D ==()P A +()P C ，所以他可能是乘飞机来也可能是乘火车或汽车来的。

116、先后投两枚骰子，观察向上的方向，问 （1）共有多少种不同的结果？ （2）所得点数之和是5的概率？
（3）所得点数之和是3的倍数的概率是多少？ 【答案】解：（1）共有36种不同的结果 （2）设所得点数之和是5 为事件A 则P （A ）＝
9
1 （3）设所得点数之和是3的倍数为事件B
则P （B ）＝
3
1 117、已知函数x
x x f -+=22)( （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性；
（Ⅱ）证明明)(x f 在),0(+∞上是增函数. 【答案】解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为R
又)(22
)(x f x f x x
=+=-- R 为)(x f ∴上的偶函数
（Ⅱ）任取),0(,21+∞∈x x 且设21x x > 则)22(2
2)()(221
121x x x x
x f x f --+-+=-
212122)22(x x x x ---+-=212122)22(x x x x ---+-=2
12121
2122x x x x ---
+-= ]2
211)[22(212
1
x x x x ⋅--=]22122)22(21212
1x x x x x x ⋅-⋅⋅-=
021>>x x Θ 12221>>∴x x
0122,0222
1
2
1
>-⋅>-∴x x x x 02
21
22)22(21
212
1>⋅-⋅⋅-∴x x x x x x
)()(21x f x f >即
),0()(+∞∴在x f 上为增函数
118、对于函数f (x )= a -
2
21
x +(a ∈R )： （1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a 使函数f (x )为奇函数？ 【答案】解：（1）函数f (x )的定义域是R ，
设x 1 < x 2 ，则 f (x 1) – f (x 2) = a -1221x +-( a -2
221x +)=12122(22)(21)(21)
x x x x -++， 由x 1<x 2 ，1222x x -< 0，得f (x 1) – f (x 2) < 0，所以f (x 1) < f (x 2). 故，f (x )在R 上是增函数. （2）由f (-x )= -f (x )，求得a =1.。