2020-2021年上海市交大附中高一上期末

上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期 高一数学期末考试试卷 2021.01
（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题卷上）
一、填空题：（共12题，前6题每小题满分4分，后6题每小题满分5分）
1.已知集合{1},{}.A x
x B x x a =<=>∣∣如果,A B =R 那么实数a 的取值范围
是_________ 【答案】(,1)-∞ 【解析】因为A
B =R ，所以(,1)a ∈-∞
2.若幂函数()y f x =的图像过点(2,4),则表达式()f x =_________ 【答案】2()f x x =
【解析】令幂函数,()k f x x =代入(2,4),解得2k =，所以2()f x x =
直角三角形ABC 中，C 为直角，M 是BC
的中点，若sin 10
BAM ∠=，则sin BAC ∠= 3.已知正实数,a b 满足4ab a b =+,则ab 的最小值为_________ 【答案】16
【解析】4ab a b =+≥=
4,16ab ≥≥，当且仅当8,2a b ==时等号取到，所以ab 的最小值为16 4.
函数2log (1)
y x =
-的定义域为_________
【答案】(1,2)
(2,3]
【解析】由已知得，2
(1,2)(2,3]log (1)03010x x x x --≥⎧⎪
->⇒∈⎨≠⎪⎩
5.若方程2240x x +-=的两根分别为, αβ、则1i
11i α
β+∞
=⎛⎫
+= ⎪⎝⎭∑________
【答案】1
【解析】因为
1
1
2142αβα
β
αβ+-+
=
==- ，所以i
i
1111112
11212
i i αβ+∞
+∞
==⎛⎫⎛⎫
+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-
∑∑
6.某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定: 年度考核合格的员工，从下一年 一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入.员工老 魏自2005年一月以来一直在该单位供职，历年考核都为合格，且同一年内月工资收入 相同,2005 年的月工资收入为5000.00元, 则2021年一月该贝工的月工资收入为 _________元.（结果按进一法保留两位小数） 【答案】14760.82元.（14760.93也正确）
【解析】1650001.0714760.82⋅=元.（14760.93也正确）
7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知484,16,S S ==则20S =_________
【答案】100 【解析】因为
841,248S S ==，根据n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
成等差数列，知20520S =，所以20100S = 8.已知函数|1|||y x x a =++-的图系关于直线1x =对称，则该函数的最小值是_________ 【答案】4
【解析】有
(1)
12
a +-=，所以3,()13a f x x x ==++-，
所以()(1)(3)4,f x x x ≥++-+=当(1)(3)0x x +-+≥时等号取到，所以最小值为4
9.函数3a
y x x
=+
在(0,3)上为严格减函数的一个充分但非必要条件是_________ 【答案】见解析
【解析】填写[243,)+∞的任何一个真子集或任何一个元素均可.
10.已知定义域为R 的函数()y f x =是奇函数，在(0,)+∞上是严格增函数且.
(3)0.f =不等式(1)()0x f x -<的解集是_________
【答案】(3,0)
(1,3)-
【解析】由已知得函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且在(0,)+∞上是严格增函数， 则其在区间(,0)-∞上递增，(0)0,f = 又因为(3)0,f =
则()y f x =在(,3)-∞-上()0f x <,在(3,0)-上，()0f x > 在(0,3)上()0f x <,在(3,)+∞上，()0f x >
所以10(1)()0()0x x f x f x ->⎧-<⇒⎨
<⎩或10
()0
x f x -<⎧⎨>⎩ 则有(3,0)(1,3)x ∈-
11.设等差数列{}n a 的前n 项和为45,10,15,n S S S ≥≤则4a 的最大值是_________
【答案】4
【解析】414610S a d =+≥，所以1235a d +≥；5151015S a d =+≤，所以123a d +≤ 所以()()411133233354a a d a d a d =+=+-+≤⋅-= 当4510,15S S ==时等号取到，所以4a 的最大值是4.
12.若函数()y f x =的表达式2
()1(f x tx x =++常数),t ∈R 对于任意两个不同的1x 、
2,x 当12,[2,2]x x ∈-时，均有()()1212(f x f x k x x k -≤-为常数,)k ∈N 成立，如果满
足条件的最小自然数k 为4,则实数t 的取值范围是_________ 【答案】3113,,4224⎡⎫⎛⎤
--⎪
⎢⎥⎣⎭⎝⎦
【解析】【2010崇明高考模拟理科14改数据】
()()()()22
111112121212
1tx x tx x f x f x k t x x x x x x +-+-≥==++--
因为满足条件的最小自然数k 为4，所以对一切12,[2,2]x x ∈-成立， 且存在12,[2,2]x x ∈-使()1231t x x ≥++不成立，
所以“441t ≥⋅+”且4(4)1t ≥⋅-+”且“341t <⋅+或3(4)1t <⋅-+ ” 所以“33,44t ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦”且“11,,22t ⎛
⎫⎛⎫
∈-∞-+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
” 所以t 的取值范围是3
113,,4224⎡⎫⎛⎤
--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
.
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.对于任意,x ∈R 函数()y f x =表示2
2,1,43x x x x -+-+中的较小者，则函数
()y f x =的零点有（ ）
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 【答案】B
【解析】作出三个函数的图像，利用数形结合求函数的零点.
14.设54log 6,log 5,a b ==则用,a b 表示lg 24=（ ）
(A)
3142a ab +- (B)2221ab b ++ (C)321ab a b ++ (D)233a b
b
++
【答案】B
【解析】5551log 2log 3,log 22a b +==，所以51
log 32a b
=- 所以55555log 24log 33log 222
lg 24log 101log 221
ab b ++===++，故选B
15.如图，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,1),若函数
(0x y a a =>且1)a ≠ 及 log (0b y x b =>且1)b ≠
的图像与线段OA 分别交于M N 、,且O M N 、、、
A 的横坐标恰好构成等差数列，则a 、b 满足
(A)1a b << (B)1b a << (C)1b a >> (D)1a b >>
【答案】A
【解析】13
13a =
，所以127a =；22log ,33b =所以2
3
23b =，所以32
23b ⎛⎫== ⎪⎝⎭
， 所以1a b <<，选A
16.已知(),b
f x ax x
=+
对任意的非零实数,,,,,a b m n p 关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是()
(A){}1,1- (B){}1,2- (C){}1,2,3 (D){}1,2,4,8
【答案】C
【解析】本题考察含参问题的解集
令2
[()]()0m f x nf x p ++=的解为12,y y
因为2()ax b
f x x
+=，所以令2()g x ax b =+ ，其对称轴为0x =
其中2
[()]()0m f x nf x p ++=的解x 个数为0,1,2,3,4中一种情况
根据二次函数对称性，解集中元素应该为对称分布. A ：关于对0x =对称；B ：关于1
2
x =对称；C ：关于2x =对称；D ：不对称 故选D
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知，集合A 是函数(0)12
x
a
y a =>+的反函数的定义域;集合{}
31B b x x b =-+-≥，对一切x ∈R 成立}.若,A
B =∅求实数a 的取值范围.
【解析】因为12x +的取值范围是(1,)+∞， 所以函数(0)12
x
a
y a =
>+的值域为(0,)a ， 所以，反函数的定义域为(0,)A a =
由3131(3)(1)2x x x x x x -+-=-+-≥-+-=
当且仅当(3)(1)0x x --≥时等号成立，所以min (|3||1|)2x x -+-=
所以{|3|1B b x x b =-+-≥∣
对一切x ∈R 成立{}
}2b b =≤ 使A B =∅的实数a 不存在，所以，实数a 的取值范围为∅
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥.
(I)求{}n a 的通项公式;
(II)等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为,n T 且315,T =又1122,a b a b ++,
33a b +成等比数列，求.n T
【解析】(I)由121(1)n n a S n +=+≥可得121(2)n n a S n -=+≥ 两式相减得12n n n a a a +-=，所以13(2)n n a a n +=≥
又21213a S =+=，所以213a a =
故{}n a 是首项为1，公比为3等比数列，所以13n n a -= (II)设{}n b 的公差为d ，
由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===
由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==-， 因为，等差数列{}n b 的各项为正，所以0d > ，所以2d = 所以2(1)
3222
n n n T n n n -=+⨯=+
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知常数,m ∈R 函数()y f x =的表达式()||4(0)m
f x x x x
=+-≠. (1)讨论函数()y f x =的奇偶性，给出相应的证明; (2)讨论函数()y f x =的零点个数. 【解析】（1）当0m =时，()4f x x =- 函数()4f x x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞
任取(,0)
(0,)-∞+∞，都有(,0)(0,)x -∈-∞+∞
此时()44()f x x x f x -=--=-=，所以是偶函数 当0m ≠时，因为(1)4,(1)4f m f m =--=--
所以(1)(1),
(1)(1)f f f f -≠-≠-
所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数
（2）令()0f x =，可得40(0)x x x m x -+=≠ 即4(0)m x x x x =-+≠
令2222
4,0(2)4,0
()44,0(2)4,0x x x x x g x x x x x x x x x ⎧⎧-+>--+>⎪=-==⎨⎨+<+-<⎪⎩⎩
作()y g x =的图像及直线y m =，由图像可得； 当(,4)
(4,)m ∈-∞-+∞时，()y f x =有1个零点；
当{4,0,4}m ∈-时，()y f x =有2个零点； 当(4,0)
(0,4)m ∈-时，()y f x =有3个零点；
注: 题（2）要意识到0x ≠的
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知数列{}n a 的每一项n a 都是正整数，它的前n 项和记作.n S 记集合{
,n A x x a n ==∈N ∣且
}1,n ≥ 集合{,n S x x S n ==∈N ∣且}1,n ≥如果A S 中的元素至少3个，则称数列{}n a 具有“交和性质”;此时将A S 中的数从小到大排列，组成的数列{}n b 称为{}n a 的交和数
列”.
(1)若数列{}n a 的通项公式为1
2
,n n a -=判断数列{}n a 是否具有“交和性质", 说明理由.
(2)若数列{}n a 的通项公式为2 1.n a n =-求证数列{}n a 具有“交和性质”;并求{}"n a 的交和数列”{}n b 的通项公式;
(3)若数列{}n a 为严格增数列且为有穷数列，最大项为660，且数列{}n a 恰具有“交
和性质"（即“{}n a 的交和数列”{}n b 恰好只有3项）.试求123b b b ++的最大值.
【解析】（1）由1
2n n a -=，可知21n n S =-
n S 均为奇数，仅当1n =时111a S ==成立，当2n ≥时，12n n a -=均为偶数，所以A S 仅
有1个元素，（或者A
S 没有3个元素）
所以，数列{}n a 不具有“交和性质”. （2）由2 1.n a n =-，可知2n S n =
当n 为奇数时，2n S n =为正奇数，所以n S A ∈ 当n 为偶数时，2n S n =为正偶数，所以n S A ∉ 所以{2(21),A
S x x n n ==-∈N ∣且}1n ≥中至少有3个元素，
所以，数列{}n a 具有“交和性质”
“{}n a 的交和数列”{}n b 的通项公式2(21)n b n =- （3）设数列{}n a 首项为1a ，
因为数列{}n a 的每一项n a 都为正整数，为严格递增数列， 所以21111,
,1,1i m a a a a i a a m ≥+≥+-≥+-
显然有1113,660b S a b ==≤，设3m b S =，所以1113,660b S a b ==≤ 有21m m m b S S a -≤=-
所以123112266026601m m m b b b S a a a a m ++≤-+≤⋅-+≤⋅+- 所以当2121,3,1m b S m a a -===+且321a a =+时，
即123219,220,221a a a ===时等号取到，所以123b b b ++最小值为1318
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知()y f x =在定义域R 上是连续不断的函数.对于区间I ⊆R ，若存在,c I ∈使得 对任意的,x I ∈都有()(),f x f c ≤则称函数()y f x =在区间I 上存在最大值M
(())M f c =
(1)函数2
y x mx =+在区间(1,3]存在最大值，求实数m 的取值范围.
(2)若函数()y f x =为奇函数，在[0,)+∞上2
()2.f x x x =-易证对任意t ∈R ,
函数()y f x =在区间(,]t -∞存在最大值M .试写出最大值M 关于t 的函数关系式
()M g t =
(3)若对任意,t ∈R 函数()y f x =在区间(,]t -∞存在最大值M ,设最大值M 关 于t 的函数关系式为().M g t =求证:"()y f x =在定义域R 上是严格增函数”的充要条 件是“()M g t =在定义域R 上是严格增函数". 【解析】（1）设2()f x x mx =+，由二次函数可得，
()y f x =在,2m ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦为严格减函数；在,2m ⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
为严格增函数，
当13
22m +-
>
时，(1)(3)f f >，函数()y f x =在(1,3]不存在最大值， 当1322m +-≤时，(1)(3)f f ≤，函数()y f x =在(1,3]存在最大值(3)M f =，
根据1322
m +-≤，得4m ≥-，所以实数的取值范围[4,)-+∞.
（2）任取(,0]x ∈-∞，有[0,)x -∈+∞，因为函数()y f x =为奇函数， 所以()
22()()()2()2f x f x x x x x =--=----=--
所以函数()y f x =为(,1]-∞-严格增函数，在[]1,1-上为严格减函数，在[1,)+∞上为严格
增函数.
所以当(,1]t ∈-∞-时，()y f x =在区间(,]t -∞存在最大值2()2M f t t t ==--； 当[]1,1t ∈-时，()y f x =在区间(,]t -∞存在最大值(1)1M f =-=； 当[1,)t ∈+∞时，考察2()2f t t t =-与(1)1f -=， 令221t t -<
，解得(1t ∈-+
所以，当[1,1t ∈+时，(1)1M f ==
当[1)t ∈++∞时，2()2M f t t t ==-
综上，最大值M 关于t
的函数关系式222,(,1]()1,[1,12,[1)
t t t M g t t t t t ⎧--∈-∞-⎪⎪
==∈-+⎨⎪-∈+∞⎪⎩
（3）【必要性】因为“()y f x =在定义域R 上是严格增函数”所以函数()y f x =在区间
(,]t -∞存在最大值()M f t =，所以()()M g t f t ==，
所以()M g t =“在定义域R 上是严格增函数”. 【充分性】任取1212,,
,x x x x ∈<R
因为“()M g t =在定义域R 上是严格增函数”，有()()12g x g x <
（反证法）假设()()12f x f x ≥，根据()()12g x g x ≤，又显然()()11g x f x ≥ 可知函数()f x 在区间[]12,x x 上的最大值()()()()2112g x g x f x f x >≥≥
所以，存在[)012,x x x ∈，使得()()02f x g x =，此即存在02x x <，有()()()002g x f x g x ==，与“()M g t =在定义域R 上是严格增函数”矛盾， 所以()()12f x f x ≥不成立，所以有()()12f x f x <.
所以“()y f x =在定义域R 上是严格增函数”.
综上，“()y f x =在定义域R 上是严格增函数”的充要条件是“()M g t =在定义域R 上是严格增函数”.。