矩阵及其变换
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考点1 矩阵及其变换
1. （15泰州一模）已知矩阵A =1002⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，B =1201⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
，若矩阵1
AB -对应的变换把直线l 变为直线l '：x +y -2=0，求直线l 的方程． 【考点】几种特殊的矩阵变换． 【解】∵10B ⎡=⎢⎣
21⎤⎥⎦，∴1
10B -⎡=⎢⎣ 21-⎤⎥⎦
， ∴1
AB
-=101020⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎣⎦⎣ 21-⎤⎥⎦=10⎡⎢⎣ 22-⎤⎥⎦,
设直线l 上任意一点（x ，y ）在矩阵1
AB -对应的变换下为点x y ''（，）
10⎡⎢⎣ 22-⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦=x y '⎡⎤
⎢⎥'⎣⎦，
∴22x x y y y
'=-⎧⎨'=⎩.
代入l '，
l'：（x -2y ）+（2y ）-2=0，化简后得l ：x =2．
2. （15江苏高考压轴）已知矩阵213,125M β⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
，计算2
M β． 【解】解法一：矩阵M 的特征多项式为22
1
()4312
f λλλλλ--=
=-+--，
令()0f λ=， 解得1,3λλ==，对应的一个特征向量分别为111⎡⎤=⎢
⎥-⎣⎦α，211⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
α， 令12m n β=+αα，得1,4m n =-=，
22221212(4)()4()M M M M β=-+=-+αααα 22113511431137⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=-⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
．
解法二：因为2
212154121245M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以2
5433545537M
β⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
． 3．（南通市2015届高三第三次调研）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，0），B （2，
0），C （1，2），矩阵011
02M ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，点A ，B ，C 在矩阵M 对应的变换作用下得到的点分别为A '，B '，C '，求△A B C '''的面积．
【解】因0000M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，2001M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，21122M ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦，
即1
(00)(01)(2)2
A B C '''--，，，，，．…………………………………………………… 6分
故1
212
S A B ''=⨯⨯=．……………………………………………………………… 10分
4．（15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知矩阵A =24⎡⎢
-⎣ 13-⎤
⎥⎦
，B =24⎡⎢
-⎣26-⎤
⎥⎦
． （1）求矩阵A 的逆矩阵； （2）求满足AX =B 的二阶矩阵X ． 【考点】逆矩阵的意义．
【解】（1）设矩阵A 的逆矩阵为1
a A c ⎡=⎢⎣﹣
b d ⎤
⎥⎦
， ∵A =24⎡⎢
-⎣ 13-⎤
⎥⎦
， ∴24⎡⎢
-⎣ 13-⎤⎥⎦a c ⎡⎢
⎣ b d ⎤⎥⎦=10⎡⎢⎣ 01⎤
⎥⎦
， ∴2120430431a b b d a c b d -=⎧⎪-=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩， ∴321221a b c d ⎧=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
=⎪⎪=⎩
．
∴矩阵A 的逆矩阵为1
322A ⎡⎢=⎢⎣﹣ 121⎤⎥⎥⎦
．
（2）∵AX =B ，B =24⎡⎢
-⎣ 26-⎤⎥⎦
， ∴1
322X A B ⎡⎢==⎢⎣﹣ 121⎤
⎥
⎥⎦
24⎡⎢-⎣ 26-⎤⎥⎦=10⎡⎢⎣
02⎤
⎥⎦
． ∴满足AX =B 的二阶矩阵X =10⎡⎢⎣
02⎤
⎥⎦
． 5. （15南通市如东县栟茶高级中学高三上学期第二次学情调研）将曲线y =2sin4x 经矩阵M
变换后的曲线方程为y =sin x ，求变换矩阵M 的逆矩阵．
【考点】逆矩阵与投影变换．
【解】设将曲线y =sin x 变换为y =2sin4x 对应的变换矩阵为N =a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
由a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 则x ax by y cx dy '=+⎧⎨'=+⎩
，
∵将曲线y =sin x 变换为y =2sin4x ，
对应的坐标关系为：4422x x x x y y y y
'=⎧⎧'=⎪⎪⇒'⎨⎨
=⎪⎪'=⎩⎩，∴140
02
a b c d ⎧
=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩, ∴矩阵1
04
2N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，变换矩阵M 的逆矩阵为10402M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
． 6. （15南通市如东县栟茶高级中学高三上学期第二次学情调研）△ABC 的顶点A （1，2），
B （3，3），
C （2，1），求在矩阵2002⎡⎤
⎢⎥
-⎣⎦
对应的变换下所得图形的面积．