新高考视角下的导数新授课：导数的概念及其意义

第一节：导数的概念与几何意义
课时1.导数的概念
一．知识梳理 1.平均变化率
一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为：2121
()()
f x f x x x --,如果函数的自变量的“增
量”为x ∆，且21x x x ∆=-，相应的函数值的“增量”为y ∆，21()()y f x f x ∆=-，则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为
2121
()()
f x f x y x x x -∆=∆- 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 2. 导数的概念（瞬时变化率）
（1）函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()0000lim
lim
x x f x x f x y
x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0|x x y ='，()()()00000lim lim
x x f x x f x y
f x x x
∆→∆→+∆-∆'=∆∆＝ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． （2）求导数值的一般步骤：
①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；
②求平均变化率：
00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆； ③求极限，得导数：00000()()'()lim lim
x x f x x f x y
f x x x
∆→∆→+∆-∆==∆∆． 二．典例分析 例1．函数()3
1f x x =-+在区间[]1,2-上的平均变化率为（ ）
A ．3
B ．2
C ．2-
D ．3-
【解析】由题，函数()3
1f x x =-+在区间[]1,2-上的平均变化率为
()()()
()
()3
3
2
111213213
f f -+-⎡⎤
-⎣⎦-+--==---，故选：D 例2．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数()2
1s t t t =++表
示，则该物体在1t =s 时的瞬时速度为（ ）
A ．0m/s
B ．1m/s
C ．2m/s
D ．3m/s
【解析】该物体在时间段[]1,1t +∆上的平均速度为
()()()()()2
2
111111113t t s t s s t t t t
+∆++∆+-+++∆-∆===+∆∆∆∆，当Δt 无限趋近于0时，3t +∆无限趋近于3，即该物体在1t =s 时的瞬时速度为3m/s ．故选：D
变式3．（2022·全国·高二单元测试）设函数()1f x ax =+，若()12f '=，则=a （ ） A ．2
B ．2-
C ．3
D ．3-
【解析】∵()()()()()
0111111lim
lim x x f x f a x a f a x x
∆→∆→+∆-∆++-+'===∆∆，
且()12f '=，∴2a =． 例4．已知函数()24
3
f x ax ax b =-+，()11f '=，()12f =，求实数a ，b 的值. 【解析】()()()0111lim x f x f f x ∆→+∆-'=∆()()20441133lim x a x a x b a a b x
∆→⎛⎫
+∆-+∆+--+ ⎪
⎝⎭=∆()2
002223lim lim 133x x a x a x a x a a x ∆→∆→∆+∆⎛⎫==∆+== ⎪∆⎝
⎭，∴32a =.又()4123f a a b =-+=，∴52b =. 故3
2a =
，52
b =. 下面的问题主要考察了导数定义深层次的理解
例5．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若
(3)(3)
lim
4x f x f x x
∆→-∆-+∆=∆，则()3f '=（ ）
A ．0
B ．2-
C ．1
D ．12
-
【解析】因为0
(3)(3)lim
1x f x f x x ∆→-∆-+∆=∆，所以0(3)(3)(3)(3)
lim x f x f f f x x
∆→-∆-+-+∆∆，
0(3)(3)(3)(3)
lim
lim 2(3)4x x f x f f x f f x x
'-∆→∆→-∆-+∆-=--=-=-∆∆，故()3 2.f '=-故选：B 例6．已知函数()f x 的导函数为(),(2)2f x f -'=-'，则0
(24)(2)
lim x f x f x
∆→--∆--=∆（ ）
A ．8-
B ．2-
C ．2
D ．8
【解析】由导数定义和()22f '-=-，得
0(24)(2)(24)(2)
lim
(4)lim 4(2)84x x f x f f x f f x x
∆→∆→--∆----∆--'=-⨯=--=∆-∆.
故选：D.
三．习题演练
习题1．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()15f '=，则()()
121lim x f x f x
∆→+∆-=
∆（ ） A ．2
B ．
5
2
C ．5
D ．10
【解析】因为()15f '=，所以()()
()()
()0
12121102121lim 2lim
x x f x f f x
f x f x
∆→∆→+∆-=-'=∆+∆=∆，
故选：D.
习题2．已知函数()2
1f x x =+，则()()
22lim
x f x f x x
∆→+∆--∆=∆（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【解析】因为()2
1f x x =+，所以()()()()2
2
00222121lim lim x x f x f x x x x x ∆→∆→+∆--∆+∆+--∆-=∆∆ 08lim
8x x
x
∆→∆==∆故选：D
习题3．设函数()f x 在=1x 处存在导数为2,则()()
11lim
3x f x f x
∆→+∆-=∆=_______________．
【解析】由极限的运算法则结合导函数的定义可得： ()()0
11lim
3x f x f x ∆→+∆-∆=()()0111lim 3x f x f x
∆→+∆-∆=()31213f '⨯=.故答案为：2
3
习题4．（2022·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知()0f x m '=，则
()()
0003lim
x f x x f x x
∆→-∆-=∆_________．
【解析】∵()0f x m '=，∴原式()()
00Δ03Δ3lim 3Δx f x x f x x →--=-- ()033f x m ='-=-．故答案为：
3m -
课时2.导数的几何意义
一．基本原理
1.平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数()y f x =的平均变化率2121
()()
f x f x y x x x -∆=
∆-的几何意义是表示连接函数()y f x =图像上两点割线的斜率．
如图所示，2121()()A B AB A B y y f x f x y
k x x x x x
--∆===
--∆．这样，平均变化率的正负与割线斜率正负一致.
2.导数的几何意义——曲线的切线
定义：如图，当点00(,)Q x x y y +∆+∆沿曲线无限接近于点00(,)P x y ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．T 也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()lim
lim ()x x f x x f x y
k f x x x
∆→∆→+∆-∆'===∆∆．
备注：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关． （2）切线斜率的本质———函数在0x x =处的导数． （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． ①若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直．
②0()0f x '>，切线与x 轴正向夹角为锐角，()f x 瞬时递增；0()0f x '<，切线与x 轴正向夹角为钝角，()f x 瞬时递减；0()0f x '=，切线与x 轴零度角，瞬时无增减．
（4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点；
为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线C 都用“与C 有且只有一个公共点”来定义C 的切线呢？如图的曲线C 是我们熟知的正弦曲线sin y x =的一部分，直线l 2显然与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 有不止一个公共点，但我们可以说直线l 1是曲线C 在点N 处的切线．
3. 曲线的切线的求法（导数法）
（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点00(,())x f x 的坐标；
②求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x ' ③得切线方程00()()()y f x f x x x '-=- 二．典例分析
例1．（2022·全国·高二课时练习）曲线()2f x x
=-在点()1,2M -处的切线方程为______．
【解析】因为()()2
2
11211f x f x x x x
-
++∆-+∆==∆∆+∆，当0x ∆→时，()()112f x f x
+∆-→∆， 所以()12f '=，即切线的斜率2k =，所以切线方程为()221y x +=-，即240x y --=． 故答案为：240x y --= 例2．2
(5)3
lim
2,(3)32
x f x f x →--==-，()f x 在(3,(3))f 处切线方程为（ ）
A ．290x y ++=
B ．290x y +-=
C ．290x y -++=
D ．290x y -+-=
【解析】由已知，2(5)3
lim
2,(3)32
x f x f x →--==-，令2x x ∆=-，
∴()()
033lim x f x f x
∆→-∆-∆＝()()()033lim
32x f x f f x ∆→-∆--'==-∆，解()32f '=-，
∴()f x 在(3,(3))f 处切线方程为32(3)y x -=--，即290x y +-=．故选：B ．
例3．（2022·全国·高二课时练习）曲线23y x x =-的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________.
【解析】设切点坐标为()00,x y ，
()()()
2
2
20
000
000
3323lim lim
231x x x x x x x x x x x x k x x
x
∆→∆→+∆-+∆-+∆-∆+∆===-=∆∆，
解得02x =，2
0262y =-=-.切点为()2,2-. 故答案为：()2,2-.
例4．如图，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是9y x =-+，则()()55f f '+=（ ）
A ．-2
B ．3
C ．2
D ．-3
【解析】因为函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是9y x =-+，所以
()()5594,51f f '=-+==-，所以()()55413f f '+=-=，故选：B.
例5．已知函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则（ ）
A ．(4)(2)
(2)(4)2
f f f f '<'-<
B ．(4)(2)
(4)(2)2
f f f f -<<'' C ．(4)(2)
(2)(4)2
f f f f -<<
'' D ．
(4)(2)
(4)(2)2
f f f f ''-<< 【解析】如图所示，根据导数的几何意义，可得(2)f '表示曲线在A 点处的切线的斜率，即直线1l 的斜率1l k ，(4)f '表示曲线在B 点处的切线的斜率，即直线2l 的斜率2l k ，又由平均变
化率的定义，可得
(4)(2)
2
f f -表示过,A B 两点的割线的斜率l k ，结合图象，可得1
2
l l l k k k <<，所以(4)(2)
(2)(4)2
f f f f '<'-<
.故选：A. 题型：过某点的曲线的切线 例6．试求过点(1,3)P -且与曲线2y
x 相切的直线的斜率．
【解析】设切点坐标为()00,x y ，则有2
00
y x =．因为22
00()lim
lim 2x x y x x x y x x x
∆→∆→∆+∆-'===∆∆，所以02k x =．切线方程为()0002y y x x x -=-，将点(1,3)-代入，得022
00322x x x --=-，
所以2
00230x x --=，得01x =-或03x =．当01x =-时，2k =-；当03x =时，6k =．
所以所求直线的斜率为2-或6．
例7．已知函数()3
2y f x x x ==+-，直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线
l 的方程及切点坐标．
【解析】设切点为()00,x y ，因为
()()()()()3
3
00000022y x x x f x f x x x x x =+-=+++--+∆∆∆-∆
()()()2
03
20313x x x x x =+++∆∆∆，所以
()22
00313x x y x x x ∆∆+∆+∆=+．当x ∆趋于0时，y x
∆∆趋于2
031x +，即()20031f x x '=+，所以切线方程为()()
()320000231y x x x x x -+-=+-，
因为切线过原点，所以()()
320000231x x x x -+-=-+，所以3
022x =-，解得01x =-，
所以()14f '-=，故直线l 的方程为4y x =，又()14f -=-，所以切点的坐标为()1,4--．
课时3. 复习与习题讲评
一．基本原理
知识点1（易错点）. 在点求切线与过点求切线
1. 求曲线在某点（切点))(,(00x f x ）处的切线方程的步骤：
2.切线过点))(,(11x f x ，求切线的方法：(要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点)，求法步骤：
①设切点()()00,x f x ，②建立切线方程00()()()y f x f x x x '-=-，③代入点))(,(11x f x 到切
线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程：⎪⎩
⎪
⎨⎧--==01010'00)()()()(x x x f x f x f x f y
解出切点坐标，从而写出切线方程． 知识点2.导函数的概念
由函数()f x 在0x x =处求导数的过程可以看到，当时，0()f x '是一个确定的数，那么，当x 变化时，便是x 的一个函数，我们叫它为f （x ）的导函数．记作：()f x '或y '， 即：0
()()
()lim
x f x x f x f x y x ∆→+∆-''==∆
注：（1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．
（2）函数的导数，是指某一区间内任一点x 而言的，也就是函数()f x 的导函数． （3）函数()f x 在点0x 处的导数()f x '就是导函数()f x '在0x x =处的函数值． 在点00(,())x f x 处的切线与过点00(,)x y 的切线的区别．
在点00(,())x f x 处的切线是说明点00(,())x f x 为此切线的切点；而过点00(,)x y 的切线，则强调切线是过点00(,)x y ，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点00(,)x y 的切线方程时，先应判断点00(,)x y 是否为曲线()f x 上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点11(,())x f x ，求过此切点的切线方程111()()y y f x x x '-=-，再将点00(,)x y 代入，求得切点11(,())x f x 的坐标，进而求过点00(,)x y 的切线方程．
知识点3.证明：在定义域R 上，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数 二．典例分析
例1．曲线()1y f x x ==
在点P 处的切线与直线1
4
y x =垂直，则点P 的坐标为______． 【解析】易知曲线在点P 处的切线的斜率为4-，设001,P x x ⎛⎫
⎪⎝⎭，
因为()()()()0000000011
1f x x f x x x x x x x xx x x x x x -
+∆-+∆-∆===-
∆∆∆+∆+∆， 当0x ∆→时，()()0020
1
f x x f x x x +∆-→-∆，
所以02011=42x x -
-⇒=±，则点P 的坐标为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1,22
⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 故答案为：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1,22
⎛⎫
-- ⎪⎝⎭.
例2．设函数()f x 在2x =处的导数存在，则()1
22
f '-=（ ）. A ．()()022lim
2x f x f x
∆→+∆-∆
B ．()()
022lim
2x f f x x
∆→-+∆∆
C ．()()022lim 2x f x f x
∆→-∆-∆
D ．()()022lim 2x f f x x
∆→--∆∆
【解析】因为函数()f x 在2x =处的导数存在，所以
()()()()()00222211
lim
lim 2222
x x f f x f x f f x x ∆→∆→-+∆+∆-'=-=-∆∆，故B 正确.
又∵()()()()()00222211
lim
lim 2222x x f x f f x f f x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆，所以C 正确. 故选：BC.
例3函数()f x 的定义域为R ，()31f x -为奇函数，且()1f x -的图像关于1x =对称．若曲线()f x 在1x =处的切线斜率为2，则曲线()f x 在2023x =处的切线方程为（ ） A ．24046y x =-+ B ．24046y x =+ C ．24046y x =-
D ．24046y x =--
【解析】因为()31f x -为奇函数，即()()3131f x f x --=--， 所以，函数()f x 的图像关于点()1,0-对称，即()()2f x f x --=-，
因为()1f x -的图像关于1x =对称，所以()f x 的图像关于0x =对称，即()()=f x f x -， 所以，()()()22f x f x f x --=+=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周
期为4的周期函数，所以曲线()f x 在2023x =处的切线斜率等于曲线()f x 在=1x -处的切线斜率，因为曲线()f x 在1x =处的切线斜率为2，图像关于0x =对称，所以，曲线()f x 在
=1x -处的切线斜率为2-，因为()()11f f =-，()()11f f -=--，所以()()110f f =-=，
所以()()120230f f =-=，所以曲线()f x 在2023x =处的切线方程为()022023y x -=--，即24046y x =-+.故选：A
变式2．（2022·陕西安康·高二期末（文））为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间t 的关系为()c f t =，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（ ）
A ．在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B ．在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；
C ．在[]23,t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D ．在
[]12,t t ，[]2
3
,t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
【答案】D
【解析】A 选项，根据图象可知，在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A 选项结论正确.
B 选项，根据图象以及导数的知识可知，在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同， B 选项结论正确.
C 选项，根据图象可知，在[]23,t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，
C选项结论正确.
,t t这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于D选项，根据图象可知，在[]
12
,t t这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率
在[]
23
D选项结论错误.
故选：D。