高三数学总复习三角函数章末检测

三角函数单元测试卷
一、选择题
1．tan 300°＋sin 450°的值为 ( ) A ．1＋ 3 B ．1－ 3 C ．－1－ 3 D ．－1＋ 3
2下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π
3
对称的是( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3
C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3
D ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6 3．函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小正周期和最小值为 ( ) A ．π，0 B ．2π，0 C ．π，2－ 2 D ．2π，2－ 2
4．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π
10
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来
的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5
C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10
D ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π20 5．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ
2
的值为 ( )
A.35
B.45 C ．±35 D ．±45 6.已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值可以是 ( ) A.π2 B.π3
C.π4
D.π6
7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝3
3，则sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6－cos ⎝⎛⎭
⎫5π6＋α的值是 ( ) A.2＋33 B ．－2＋33 C.2－33 D.－2＋33
8．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)是奇函数，且在⎣⎡⎦
⎤0，π
4上是减函数的θ的一个值是 ( ) A.π3 B.2π3 C.4π3 D.5π3
9．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫π
6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤π3，5π6 D.⎣⎡⎦
⎤5π6，π 10.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π
2
)的图象如图所示，则当t
＝1
100
秒时，电流强度是( ) A ．－5安 B ．5安 C ．53安 D ．10安 11．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π
3
个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 ( )
A.23
B.43
C.32
D ．3 12．设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点( ) A ．[－4，－2] B ．[－2,0] C ．[0,2] D ．[2,4] 二、填空题
13．若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦
⎤－2π3，2π
3上单调递增，则ω的最大值为________． 14．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－3
5
，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝________. 15．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－4
3，则tan α＝________.
16．给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝⎛⎭
⎫－5π
12，0； ②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎣
⎡⎦⎤－1，2
2；
③若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β.其中所有真命题的序号是________．
三、解答题
17．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一段，求其解析式．
18．已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 2，g (x )＝12sin 2x －1
4
.
(1)函数f (x )的图象可由函数g (x )的图象经过怎样变化得出？
(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最小值，并求使h (x )取得最小值的x 的集合．
19.已知向量a ＝(sin x,2cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，函数f (x )＝a·b －1. (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；
(2)在给出的直角坐标系中，画出f (x )在区间[0，π]上的图象．
20．已知tan α、tan β是方程x 2－4x －2＝0的两个实根，求cos 2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin 2(α＋β)的值．
21.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π. (1)求f (x )的解析式；
(2)若α∈⎝⎛⎭⎫－π3，π2，f ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13，求sin ⎝
⎛⎭⎫2α＋5π
3 的值．
22已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－1
2sin ⎝⎛⎭⎫π2
＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12. (1)求φ的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函
数g (x )在⎣⎡⎦
⎤0，π
4上的最大值和最小值．
答案 1．B [tan 300°＋sin 450°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3.]
2．D [由题意ω＝2πT ＝2，又因对称轴为x ＝π3，即x ＝π
3是三角函数的最值点，代入检验只有选项D
的函数值为最大值1.]
3．C [f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝1＋sin 2x ＋(1＋cos 2x )＝2＋2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
4，最小正周期为π， 当sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
4＝－1时，取得最小值为2－ 2.] 4．C 5．C [∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角．∴cos θ
2
的值有两个．
由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425，∴cos θ＝－725.∴2cos 2θ2＝1＋cos θ＝1825.∴cos θ2＝±3
5
.]
6．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ的图象关于x ＝0对称，即为偶函数，∴π3＋φ＝π2
＋k π，φ＝k π＋π6，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6
.] 7．A 8.B 9．C [∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的递增区间实际上是u ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
6的递减区间， 即2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，解上式得k π＋π3≤x ≤k π＋5π
6 (k ∈Z )．
令k ＝0，得π3≤x ≤5π6.又∵x ∈[0，π]，∴π3≤x ≤5π
6
.
即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])的增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6.] 10．A [由题图知A ＝10，T 2＝4300－1300
＝1100，∴ω＝2πT ＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵⎝⎛⎭⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6
.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，当t ＝1
100
秒时，I ＝－5安．] 11．C [将函数向右平移4π3个单位后与原图象重合，得4π3是此函数周期的整数倍．又ω>0，∴2πω·k ＝4π
3
，
∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32.]
12．A [由数形结合的思想，画出函数y ＝4sin(2x ＋1)与y ＝x 的图象，观察可知答案选A.
]
13.34解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤－T 4，T 4上递增，如图，故⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3⊆⎣⎡⎦⎤－T 4，T 4，即T 4≥2π3.∴ω≤34.∴ωmax ＝34
.
14．－17
解析 ∵α为第三象限的角，2k π＋π<α<2k π＋3π
2，
∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π (k ∈Z )，又cos 2α＝－3
5
.∴sin 2α＝
45，tan 2α＝－43
， ∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1＋tan 2α1－tan 2α＝－17. 5．－12 解析 由tan(π＋2α)＝－43
，得tan 2α＝－43，又tan 2α＝2tan α1－tan 2α
＝－43，解得tan α＝－12或tan α＝2，又α是第二象限的角，所以tan α＝－12.
16．①②解析 将x ＝－5π
12代入f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，得f ⎝⎛⎭⎫－5π12＝4cos ⎝⎛⎭⎫－5π6＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫－π2＝0， 故①为真命题；在同一坐标系内画出y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象，f (x )＝min{sin x ，cos x }的图象为y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象中选取函数值小的各部分组成的图象，由f (x )的图象知②是真命题；
由2π＋π6>π3，但sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6<sin π
3
知③是假命题．故答案为①②.
17．解 由图象可知振幅A ＝2，又∵周期T ＝2⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝π，∴ω＝2πT ＝2π
π＝2， 此时函数解析式为y ＝2sin(2x ＋φ)．又图象过点⎝⎛⎭⎫
π3，0，由”五点法“作图的第一个点知，
2×π3＋φ＝0，∴φ＝－2π
3
.∴所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. 18．解 (1)f (x )＝12cos 2x ＝1
2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π2＝12sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以要得到f (x )的图象只需要把g (x )的图象向左平移π4个单位长度，再将所得的图象向上平移1
4
个单位长度即可． (2)h (x )＝f (x )－g (x )
＝12cos 2x －12sin 2x ＋14＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋14.当2x ＋π
4
＝2k π＋π (k ∈Z )时， h (x )取得最小值－22＋14＝1－224.此时，对应的x 的集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ＝k π＋3π8，k ∈Z .
19．解 (1)f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x －1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴T ＝2π
2
＝π， 当2x －π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋3π
8
(k ∈Z )时，函数f (x )取得最大值 2. (2)列表：
2x －π4 －π4 0 π2 π 3π2 7π
4
x 0 π8 3π8 5π8 7π
8
π y
－1
2
－2
－1
描点连线，得函数图象如图所示：
20．解 由已知有tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝－2，∴tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝4
3， cos 2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin 2(α＋β)＝cos 2(α＋β)＋2sin (α＋β)cos (α＋β)－3sin 2(α＋β)
cos 2(α＋β)＋sin 2(α＋β)
＝1＋2tan (α＋β)－3tan 2(α＋β)1＋tan 2(α＋β)＝1＋2×43－3×1691＋
169
＝－3
5. 21．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T ＝2π，则ω＝2π
T
＝1.∴f (x )＝sin(x ＋φ)．
∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2 (k ∈Z )，又0≤φ≤π，∴φ＝π
2
.∴f (x )＝cos x ． (2)由已知得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13， ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π3，π2，∴α＋π3∈⎝
⎛⎭⎫0，5π6，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝223.∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋5π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－429. 22．解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝1
2
(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ)
＝12cos(2x －φ)．又∵f (x )过点⎝⎛⎭⎫π6，12，∴12＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ，即cos(π
3
－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3. (2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标
不变，变为g (x )＝12cos(4x －π3)．∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.∴当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值1
2
；
当4x －π3＝2π3，即x ＝π
4时，g (x )有最小值－14
.。