2017-2018学年陕西省西安市长安一中实验班高二(上)期中数学试卷(理科)
【数学】陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试(理)(word版附答案)
参考答案一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.）13. 60． 14． 315. (,1)(0,1)-∞- 16．32三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答无效）17. （本小题满分10分）解析：对p ：∵直线与圆相交，∴d ＝|1－m |2＜1. ∴－2＋1＜m ＜2＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根，∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，f （0）＜0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，f (0)＞0解得0＜m ＜4. 又∵¬p 为真，∴p 假. 又∵p 或q 为真，∴q 为真.由数轴可得2＋1≤m ＜4. 故m 的取值范围是2＋1≤m ＜4.18.（本小题满分12分）解 (1)f ′(x )＝a x －2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2， f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x， 当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e ， ∴f (x )在[1e，1)上是增加的， 在(1，e]上是减少的， ∴f (x )max ＝f (1)＝－12. 19. （本小题满分12分）解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0.所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得 |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p 4＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.20. （本小题满分12分）解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD .又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD.由（1）及已知可得(2A ，(0,0,)2P，(2B，(2C -.所以(22PC =--，CB =，(22PA =- ，(0,1,0)AB = . 设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则00PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n，即0220x y z ⎧-+-=⎪⎨=，(0,2)=-n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则00PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m，即0220x z y -=⎪⎨⎪=⎩， 可取(1,0,1)=m .则cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ，所以二面角A PB C --的余弦值为3-. 21.（本小题满分12分）解：（1）折痕为PP ′的垂直平分线，则|MP |=|MP ′|，由题意知圆E 的半径为2，∴|ME |+|MP |=|ME |+|MP ′|=2＞|EP |，∴E 的轨迹是以E 、P 为焦点的椭圆，且a =，c =1，∴b 2=a 2﹣c 2=1， ∴M 的轨迹C 的方程为=1． （2）l 与以EP 为直径的圆x 2+y 2=1相切，则O 到l 即直线AB 的距离：=1，即m 2=k 2+1， 由，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣2=0，∵直线l 与椭圆交于两个不同点，∴△=16k 2m 2﹣8（1+2k 2）（m 2﹣1）=8k 2＞0，k 2＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=， 又=x 1x 2+y 1y 2=，∴，∴，==， 设μ=k 4+k 2，则，∴=，，∵S △AOB 关于μ在[，2]单调递增， ∴，∴△AOB 的面积的取值范围是[，]．22. （本小题满分12分）（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；3232/)1)(2(22)(x x ax x x x a a x f --=+--=. 当0≤a ， )1,0(∈x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； /(1,),()0x f x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.当0>a 时，/3(1)()(a x f x x x x -=. （1）20<<a ，12>a， 当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)2,1(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减； （2）2=a 时，12=a，在x ∈),0(+∞内，0)(/≥x f ，)(x f 单调递增； （3）2>a 时，120<<a ， 当)2,0(ax ∈或x ∈),1(+∞时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)1,2(a 时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减. 综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，/22321122()()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+ 23312ln 1x x x x x=-++--，]2,1[∈x ， 令1213)(,ln )(32--+=-=xx x x h x x x g ，]2,1[∈x . 则)()()()(/x h x g x f x f +=-， 由01)(/≥-=xx x g 可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号. 又24326'()x x h x x--+=， 设623)(2+--=x x x ϕ，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减，因为10)2(,1)1(-==ϕϕ， 所以在]2,1[上存在0x 使得),1(0x x ∈ 时，)2,(,0)(0x x x ∈>ϕ时，0)(<x ϕ， 所以函数()h x 在),1(0x 上单调递增；在)2,(0x 上单调递减， 由于21)2(,1)1(==h h ，因此21)2()(=≥h x h ，当且仅当2=x 取得等号， 所以23)2()1()()(/=+>-h g x f x f ， 即23)()(/+>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 恒成立。
数学---陕西省西安中学2017-2018学年高二上学期期中考试(实验班)(理)
陕西省西安中学2017-2018学年高二上学期期中考试（实验班）（理）一、选择题：(本题共12小题，每题5分，共60分．每题有且只有一个正确答案, 直接将答案填写在指定位置)1．下列命题中假命题是（注：∀表示对于任意的，∃表示存在）( )A ．∀x R ∈,120x ->B ．∀+∈N x ,2(1)0x ->C ．∃ x R ∈,lg 1x <D ．∃x R ∈,tan 2x =2．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分组数和分段的间隔分别为( )A ．50，20B ．40，25C ．25，40D ．20，503．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立 的两个事件是( )A ．至少有1个白球，都是白球B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球4．如果数据12,,,n x x x 的平均值为x ，方差为2s ，则1235,35,,35n x x x +++ 的平均值和方差分别为( )A ．x 和2sB ．35x +和29sC ．35x +和2sD ．35x +和293025s s ++ 5．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知(2,1,3),(1,4,4),(7,7,)a b c λ→→→=-=--=，若,,a b c →→→三个向量共面，则实数λ=( )A ．3B ．5C ．7D ．97．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为( )（参考数据：3 1.732=，sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈）A．12 B．24C．48 D．968．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A．18B．38C．58D．789．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，令边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于322cm的概率为( )A．16B．13C．23D．4510．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是116，则( )A ．7a =B ．6a =C ．5a =D ．4a =11．小明家的晚报在下午5:30—6:30任何一个时间随机地被送到，他们一家人在下午6:00—7:00 任何一个时间随机地开始晚餐．为了计算晚报在晚餐开始之前被送到的概率，某小组借助随 机数表的模拟方法来计算概率，他们的具体做法是将每个1分钟的时间段看作个体进行编号， 5:30—5:31编号为01，5:31—5:32编号为02，依次类推，6:59—7:00编号为90．在随机数表 中每次选取一个四位数，前两位表示晚报时间，后两位表示晚餐时间，如果读取的四位数表 示的晚报晚餐时间有一个不符合实际意义，视为这次读取的无效数据（例如下表中的第一个 四位数7840中的78不符合晚报时间）．按照从左向右，读完第一行，再从左向右读第二行的 顺序，读完下表，用频率估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率为（ ） 7840 1160 5054 3139 8082 7732 5034 3682 4829 40524201 6277 5678 5188 6854 0200 8650 7584 0136 7655A ．89 B ．79 C ．78 D ．91012．由不等式组0,0,()0x y a y x a ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩为参数确定的平面区域记为1Ω，不等式组⎩⎨⎧-≥+≤+2,1y x y x 确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，已知该点恰好在2Ω内的概率为78，则a = ( )A ．23B ．1C ．107D ．2 二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分, 直接将答案填写在指定位置）13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程0.6754.9y x =+．现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________． 零件数x (个)10 20 30 40 50 加工时间y (min) 62 75 81 8914．A ，B ，C ，D 四人猜测自己所买的彩票的中奖情况．A 说：“如果我中奖了，那么B 也中奖了．”B 说：“如果我中奖了，那么C 也中奖了．”C 说：“如果我中奖了，那么D 也中奖了．”结果三人都没有说错，但是只有两人中奖了，这两人是____________．15．“韩信点兵”问题在我国古代数学史上有不少有趣的名称，如“物不知数”“鬼谷算”“隔墙算”“大衍求一术”等，其中《孙子算经》中“物不知数”问题的解法直至1852年传由传教士传入至欧洲，后验证符合由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”． 原文如下：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是一个已知某数被3除余2，被5除余3，被7除余2，求此数的问题．现将1至2017这2017个数中满足条件的数按由小到大的顺序排成一列数，则中位数为 ．16．已知空间向量(1,0,0)a →=，13(,,0)22b →=，若空间向量c →满足2c a →→⋅=，52c b →→⋅=，且对任意,x y R ∈，0000()()1(,)c x a y b c x a y b x y R →→→→→→-+≥-+=∈，则c →=__________．三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷中相应位置作答）17．（本小题满分10分）已知命题 p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；命题q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分10分）现有分别写有1，2，3，4，5的5张卡片．（1）从中随机抽取2张，求两张卡片上数字和为5的概率；（2）从中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，求抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160O BAA CAA ∠=∠=．（1）设1,,AA a AB b AC c →→→→→→===，试用向量a →，b →，c →表示1BC →，并求出1BC 的长度；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．20．（本小题满分12分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M 的经营状况，对该公司最近六个月（2017年5月到2017年10月）内在西安市的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的拆线图．（1）由拆线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系．求y 关于x 的线性回归方程；（2）M 公司对员工承诺如果公司的共享单车在2017年年底（12月底）能达到西安市场占有率的14，员工每人都可以获得年终奖，依据上面计算得到回归方程估计员工是否能得到年终奖． （参考公式：回归直线方程为y bx a =+，其中()()()121,ni ii n ii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑）21．（本小题满分12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样方法（按A类，B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．（1）A类工人中和B类工人中各抽查多少工人？（2）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2．表一生产能力分组[100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 人数48x 5 3表二生产能力分组[110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 人数6y 3618①先确定x，y，再补全下列频率分布直方图（用阴影部分表示）．②就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）图1A类工人生产能力的频率分布直方图图2B类工人生产能力的频率分布直方图③分别估计A类工人生产能力的平均数和中位数（求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．22．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2,6AB AC ==，点D 在线段1BB 上，且113BD BB =，11AC AC E = ．（1）试用空间向量证明直线DE 与平面ABC 不平行；（2）设平面1ADC 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，若7cos 7θ=，求1AA 的长； （3）在（2）的条件下，设平面1ADC 平面ABC l =，求直线l 与平面11ABA B 的所成角．。
陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)
长安一中2016级（高二阶段）第一学期第二次月考数学试题一.选择题：(本大题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案填涂在答题卡的相应位置.)1.设f(x)＝xln x ，若f′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A. e 2B. eC.ln 22D. ln 2 【答案】B 【解析】试题分析：()()000ln 1ln 12f x x f x x x e =+\=+=\¢=¢考点：函数求导数2.抛物线22y x =-的焦点坐标为( ) A. (12-,0) B. (0,12-) C. (18-,0) D. (0,18-) 【答案】D 【解析】根据抛物线标准方程2x 2py =-的焦点坐标为p0-2（，）知，21x 2y =-的焦点坐标为10-8（，）.故选D. 3.“0x <”是“ln(1)0x +<”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分而必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由ln(1)0x +<可得-1<x<0，由小范围推大范围知"x<0"不能推"-1<x<0"，而“-1<x<0”能推“x<0”，故“x<0”是“-1<x<0”的必要不充分条件，即“x<0”是“ln(1)0x +<”的必要不充分条件. 故选A. 4.下列命题中正确的个数是( ) ①命题“任意(0,),21xx ??”的否定是“任意(0,),21x x ?ィ；②命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是真命题；③若命题p 为真，命题q Ø为真，则命题p 且q 为真；④命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ¹，则2230x x --?”. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】(1)命题“任意()0,,21xx ??,”的否定是“存在()0,,21x x ?ィ;故(1)错误,(2) 命题“若cos cos x y =，则x y =”为假命题,则逆否命题也是假命题;故(2)错误, (3)若命题p 为真,命题￢q 为真,则命题q 为假命题,则命题p 且q 为假命题;故(3)错误,(4)命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ¹，则2230x x --?”.故(4)正确,故命题中正确的个数为1个,故选B.5.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =，则C 的实轴长为（ ）A.B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】设C ：22x a－22y a ＝1．∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立22x a－22y a ＝1和x ＝－4得A(－4216a -，B(－4，∴|AB|＝3， ∴a ＝2，∴2a ＝4． ∴C 的实轴长为4．视频6.若函数f(x)=e x sin x,则此函数图像在点(3,f(3))处的切线的倾斜角为 ( ) A.2pB. 0C. 钝角D. 锐角 【答案】C 【解析】根据题意得,'()sin cos (sin cos )x x x f x e x e x e x x =+=+,\ 在点(()3,3f )处的切线的斜率是3(sin 3cos3)k e =+,sin 323+04p+<（）,3(sin 3cos3)0k e \=+<,则对应切线的倾斜角是钝角,故选D.7.函数f(x)＝13x 3－4x ＋4的极大值为( ) A. 283 B. 6 C. 263D. 7【答案】A 【解析】y′=x 2-4=0，得x=±2. 当x ＜-2时，y′＞0； 当-2＜x ＜2时，y′＜0； 当x ＞2时，y′＞0. ∴当x=-2时，y 极大值=283，故选A. 8.用数学归纳法证明(1)(2)()213.(21)(*)n n n n n n n N +++=鬃??时，从“到”左边需增乘的代数式为( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】 由题设条件得，当时，有()()()()12213.21kk k k k k +++=鬃?；当n=k+1时，等式左边为(2)(3)(2)(21)(22)k k k k k ++++.所以左边要增乘的代数式为(21)(22)2(21)1k k k k ++=++.故选D.9.如图所示为函数y ＝f(x)，y ＝g(x)的导函数的图像，那么y ＝f(x)，y ＝g(x)的图像可能是( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】从导函数的图象可知两个函数在0x 处斜率相同，可以排除B 答案，再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y =f (x )的导函数的值在减小，所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC ，最后就只有答案D 了，可以验证y =g (x )。
2018年陕西省西安一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2017-2018学年陕西省西安一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）2．（5分）已知为i虚数单位，若复数（a∈R）的虚部为﹣3，则|z|=（）A．5 B． C．D．3．（5分）已知命题p：∀x∈R，＜0，则命题¬p为（）A．∀x∈R，（2﹣x）≥0 B．∀x∈R，（2﹣x）＞0C．∃x0∈R，（2﹣x0）≥0 D．∃x0∈R，（2﹣x0）＞04．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B．C．D．45．（5分）设a=log54﹣log52，b=ln+ln3，c=10lg5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c6．（5分）若函数f（x）满足，则f（x）的解析式在下列四式中只有可能是（）A．B．C．2﹣x D．7．（5分）函数y=xe x的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）在区间[0，2]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，2]的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）实数x，y满足，则的最小值是（）A．﹣5 B．﹣ C．D．510．（5分）若将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A． B．C． D．11．（5分）设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（）B．[]C．（） D．（]12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足（1）f（x）＞0；（2）f （x）＜f′（x）＜2f（x）（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数），则的范围为（）A．（，） B．（，）C．（e，2e）D．（e，e3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）计算=．14．（5分）已知（2x﹣）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=．15．（5分）一个类似杨辉三角形的数阵：则第九行的第二个数为．16．（5分）某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知函数f（x）=sin（x+）cos（x+）+sin2（x+）（0＜φ＜）的图象经过点（，1）（1）求f（x）．=2，角C为锐角（2）在△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，a=，S△ABC且f（﹣）=，求c边长．18．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m﹣2|x﹣11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，实数m的最大值为t．（1）求实数m．（2）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是，求a的值．22．（12分）已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设．（1）求a的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，并求出极值点；（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2（n∈N*）．2017-2018学年陕西省西安一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，∴a+2≤1，即a≤﹣1，则实数a的范围为（﹣∞，﹣1]，故选：A．2．（5分）已知为i虚数单位，若复数（a∈R）的虚部为﹣3，则|z|=（）A．5 B． C．D．【解答】解：复数==﹣i（a∈R）的虚部为﹣3，∴=﹣3，解得a=5．∴z=﹣2﹣3i．则|z|==．故选：B．3．（5分）已知命题p：∀x∈R，＜0，则命题¬p为（）A．∀x∈R，（2﹣x）≥0 B．∀x∈R，（2﹣x）＞0C．∃x0∈R，（2﹣x0）≥0 D．∃x0∈R，（2﹣x0）＞0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，＜0，则命题¬p为∃x0∈R，（2﹣x0）≥0．故选：C．4．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B．C．D．4【解答】解：i=1，S=﹣1；i=2，S=；i=3，S=；i=4，S=4；i=5，S=﹣1；…；i=8，S=4；i=9，结束循环，输出S的值是4．故选：D．5．（5分）设a=log54﹣log52，b=ln+ln3，c=10lg5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：∵0=log51＜a=log54﹣log52=log52＜log55=1，a=log52＜b=ln+ln3=ln2＜lne=1，c=10lg5==＞1，∴a＜b＜c．故选：A．6．（5分）若函数f（x）满足，则f（x）的解析式在下列四式中只有可能是（）A．B．C．2﹣x D．【解答】解：若f（x）=，则，故A错误；若f（x）=，则，故B错误；若f（x）=2﹣x，则，故C正确；若f（x）=，则，故D错误；故选：C．7．（5分）函数y=xe x的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=xe x，∴y′=e x+xe x=e x（x+1），故当x＞﹣1时，y′＞0，y单调递增；当x＜﹣1时，y′＜0，y单调递减，故排除A，C．再根据当x＜0时，y＜0，故排除D，故选：B．8．（5分）在区间[0，2]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，2]的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[0，2]上随机取两个数x，y，对应区域面积为4，而满足xy ∈[0，2]的区域如图阴影部分，面积为2×1=2+2ln2，由几何概型的概率公式得到概率是；故选：C．9．（5分）实数x，y满足，则的最小值是（）A．﹣5 B．﹣ C．D．5【解答】解：作出平面区域如图所示：由平面区域可知过P（1，1）的直线过点A时斜率最小，解方程组得x=，y=．∴的最小值为=﹣．故选：B．10．（5分）若将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A． B．C． D．【解答】解：把该函数的图象右移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin （2x+﹣2φ）．又所得图象关于y轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈Z．∴当k=﹣1时，φ有最小正值是．故选：A．11．（5分）设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（）B．[]C．（） D．（]【解答】解：函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足﹣＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故选：A．12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足（1）f（x）＞0；（2）f （x）＜f′（x）＜2f（x）（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数），则的范围为（）A．（，） B．（，）C．（e，2e）D．（e，e3）【解答】解：设g（x）=，则g'（x）=＞0∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（1）＜g（2），即＜⇒＜；令h（x）=，则h'（x）=∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以h（1）＞h（2），即＞⇒＞综上，＜且＞．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）计算=60.7．【解答】解：原式=0.3+4+（﹣）﹣=0.3+64﹣0.6﹣3=60.7，故答案为：60.714．（5分）已知（2x﹣）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=1．【解答】解：在（2x﹣）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，令x=1，得（2﹣）4=a+a1+a2+a3+a4 ；令x=﹣1，得（2﹣）4=a0﹣a1+a2﹣a3+a4 ；两式相乘得（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=•=1，故答案为：1．15．（5分）一个类似杨辉三角形的数阵：则第九行的第二个数为66．【解答】解：观察首尾两数都是1，3，5，7，可知第n行的首尾两数均为2n﹣1设第n（n≥2）行的第2个数构成数列{a n}，则有a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，a5﹣a4=7，…，a n﹣a n﹣1=2n﹣3，相加得a n﹣a2=3+5+…+（2n﹣3）=×（n﹣2）=n（n﹣2）a n=3+n（n﹣2）=n2﹣2n+3，所以第九行的第二个数为81﹣18+3=66．故答案为：66．16．（5分）某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为．【解答】解：根据题意：若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况；则不同的发言顺序种数240﹣120=120种，所有的发言顺序是=720种，∴甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为：=，故答案为：．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知函数f（x）=sin（x+）cos（x+）+sin2（x+）（0＜φ＜）的图象经过点（，1）（1）求f（x）．=2，角C为锐角（2）在△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，a=，S△ABC且f（﹣）=，求c边长．【解答】解：（1）∵f（x）=sin（x+）cos（x+）+sin2（x+）=sin（2x+φ）+=sin（2x+φ）﹣cos（2x+φ）+=sin（2x+φ﹣）+，∵图象经过点（，1），∴sin（2•+φ﹣）+=1，即sin（+φ）=，即cosφ=，∵0＜φ＜，∴φ=∴f（x）=sin（2x+）+；（2）∵f（﹣）=sinC+=，∴sinC=∴cosC==，=absinC=••b•=2，∴b=6，∵S△ABC∴c2=a2+b2﹣2abcosC=5+36﹣2••6•=21∴c=．18．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知得各组的频率分别是：0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，∴图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，由此能作出被调查人员的频率分布直方图，如右图：（Ⅱ）由表知年龄在[15，25）内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35）内的有10人，不赞成的有4人，∴恰有2人不赞成的概率为：P（ξ=2）=+=．…（7分）（Ⅲ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，…（6分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=3）==，所以ξ的分布列是：…（10分）所以ξ的数学期望Eξ=．…（12分）20．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）21．（12分）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m﹣2|x﹣11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，实数m的最大值为t．（1）求实数m．（2）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是，求a的值．【解答】解：（1）由题意可得g（x+4）=m﹣2|x+4﹣11|=m﹣2|x﹣7|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，∴2|x+3|≥m﹣2|x﹣7|，即m≤2（|x+3|+|x﹣7|）．而由绝对值三角不等式可得2（|x+3|+|x﹣7|）≥2|（x+3）﹣（x﹣7）|=20，∴m≤20，故m的最大值t=20．（2）∵实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），由柯西不等式可得[++]•[++]≥．∴a×1≥（x+y+z）2，∴x+y+z≤．再根据x+y+z的最大值是=1，∴=1，∴a=1．22．（12分）已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设．（1）求a的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，并求出极值点；（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2（n∈N*）．【解答】解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（m，m+1），即不等式x2+（a+1﹣2m）x+m2+m＜0的解集为（m，m+1），∴x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1）．∴x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=x2﹣（2m+1）x+m（m+1）．∴a+1﹣2m=﹣（2m+1）．∴a=﹣2．…（2分）（2）解法1：由（1）得=．∴φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）=﹣kln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．∴φ'（x）=1﹣=．…（3分）方程x2﹣（2+k）x+k﹣m+1=0（*）的判别式△=（2+k）2﹣4（k﹣m+1）=k2+4m．…（4分）①当m＞0时，△＞0，方程（*）的两个实根为，，…（5分）则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2．…（6分）②当m＜0时，由△＞0，得或，若，则，，故x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，（苏元高考吧：www．gaokao8．net）∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）没有极值点．…（7分）若时，，，则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（8分）综上所述，当m＞0时，k取任意实数，函数φ（x）有极小值点x2；当m＜0时，，函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（9分）（其中，）解法2：由（1）得=．∴φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）=﹣kln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．∴φ'（x）=1﹣=．…（3分）若函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点等价于函数φ'（x）有两个不等的零点，且至少有一个零点在（1，+∞）上．…（4分）令φ'（x）==0，得x2﹣（2+k）x+k﹣m+1=0，（*）则△=（2+k）2﹣4（k﹣m+1）=k2+4m＞0，（**）…（5分）方程（*）的两个实根为，．设h（x）=x2﹣（2+k）x+k﹣m+1，①若x1＜1，x2＞1，则h（1）=﹣m＜0，得m＞0，此时，k取任意实数，（**）成立．则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2．…（6分）②若x1＞1，x2＞1，则得又由（**）解得或，故．…（7分）则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（8分）综上所述，当m＞0时，k取任何实数，函数φ（x）有极小值点x2；当m＜0时，，函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．…（9分）（其中，）（3）证法1：∵m=1，∴g（x）=．∴==．…（10分）令T=，则T==．∵x＞0，∴2T=…（11分）≥…（12分）===2（2n﹣2）．…（13分）∴T≥2n﹣2，即[g（x+1）]n﹣g（x n+1）≥2n﹣2．…（14分）证法2：下面用数学归纳法证明不等式≥2n﹣2．①当n=1时，左边=，右边=21﹣2=0，不等式成立；…（10分）②假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即≥2k﹣2，则==…（11分）=2k +1﹣2．…（13分）也就是说，当n=k +1时，不等式也成立．由①②可得，对∀n ∈N *，[g （x +1）]n ﹣g （x n +1）≥2n ﹣2都成立．…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m n n n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 定义函数(0y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)x x a x a x >>== 1(0)1(0)x x a x a x <>==〖2.2〗对数函数xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
【精品】2017学年陕西省西安一中大学区高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2017学年陕西省西安一中大学区高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）已知向量=（﹣1，1，﹣1），=（2，0，﹣3），则•等于（）A．﹣2B．﹣4C．﹣5D．12．（3分）不等式≥0的解集为（）A．[﹣2，1]B．（﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）3．（3分）下列命题中是假命题的是（）A．若a＞0，则2a＞1B．若x2+y2=0，则x=y=0C．若b2=ac，则a，b，c成等比数列D．若a+c=2b，则a，b，c成等差数列4．（3分）已知{a n}是等比数列，a1=4，a4=，则公比q等于（）A．B．﹣2C．2D．5．（3分）命题“任意x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．任意x∈R，|x|+x2＜0B．存在x∈R，|x|+x2≤0C．存在x0∈R，|x0|+x02＜0D．存在x0∈R，|x0|+x02≥06．（3分）如图，在平行六面体ABCD﹣A 1B1C1D1中，已知，，，则用向量，，可表示向量=（）A．B．C．D．﹣7．（3分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则D．若a＜b＜0，则8．（3分）若命题￢（p∨（￢q））为真命题，则p，q的真假情况为（）A．p真，q真B．p真，q假C．p假，q真D．p假，q假9．（3分）已知变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y（）A．有最小值3，最大值9B．有最小值9，无最大值C．有最小值8，无最大值D．有最小值3，最大值810．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n=，则a3=（）A．B．C．D．11．（3分）设a n=﹣n2+9n+10，则数列{a n}前n项和最大值n的值为（）A．4B．5C．9或10D．4或512．（3分）方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x＞0，y＞0，4x+y=1，则+的最小值为．14．（5分）不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则数列{a n}的通项公式为．16．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共4小题，共44分）17．（8分）已知向量=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．（1）若（k+）∥（﹣3），求实数k；（2）若（k+）⊥（﹣3），求实数k．18．（12分）设命题P：实数x满足2x2﹣5ax﹣3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；。
【精编】2017-2018年陕西省西安市长安一中重点、平行班高二(上)数学期中试卷和参考答案(理科)
2017-2018学年陕西省西安市长安一中重点、平行班高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9 B．7 C．5 D．32．（5分）已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by+c=0通过（）象限．A．第一、二、三B．第一、二、四C．第一、三、四D．第二、三、四3．（5分）命题“a＞﹣5，则a＞﹣8”以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）与圆C1：（x+1）2+（y﹣3）2=36，C2：x2+y2﹣4x+2y+4=0都相切的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条6．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”7．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．﹣ B．C．D．8．（5分）“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤510．（5分）下列说法正确的是（）A．经过空间内的三个点有且只有一个平面B．如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线上所有点都不在平面α内C．四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形D．用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台11．（5分）与圆x2+y2=1以及x2+y2﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上12．（5分）过抛物线y2=4x焦点的直线l交抛物线于P（x1，x2），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|PQ|=（）A．9 B．8 C．8 D．613．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣14．（5分）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，|OP|=a，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）15．（5分）命题“若A∪B=B，则A⊆B”的逆否命题是．16．（5分）已知，若，则x=．17．（5分）点P是双曲线x2﹣y2=2上的动点，F是它的右焦点，则线段PF的中点M的轨迹方程为．18．（5分）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线y=x对称；③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；④曲线W上的点到原点距离的最小值为2﹣其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）若抛物线y=mx2（m≠0）的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的标准方程．20．（12分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．21．（12分）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为3：7，求椭圆方程和双曲线方程．22．（12分）如图1，正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别为AC和BC边上的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，如图2．（1）试判断翻折后的直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值；（3）求点C到平面DEF的距离．23．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．2017-2018学年陕西省西安市长安一中重点、平行班高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9 B．7 C．5 D．3【解答】解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为3，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣3=7．故选：B．2．（5分）已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by+c=0通过（）象限．A．第一、二、三B．第一、二、四C．第一、三、四D．第二、三、四【解答】解：直线ax+by=c 即y=﹣x+，∵ab＜0，bc＜0，∴斜率k=﹣＞0，直线在y轴上的截距＜0，故直线第一、三、四象限，故选：C．3．（5分）命题“a＞﹣5，则a＞﹣8”以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：命题“若a＞﹣5，则a＞﹣8”为真命题；其逆命题“若a＞﹣8，则a＞﹣5”为假命题；其否命题“若a≤﹣5，则a≤﹣8”为假命题；其逆否命题“若a≤﹣8，则a≤﹣5”为真命题；综上，命题“若a＞﹣5，则a＞﹣8”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个，故选：B．4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线的标准方程为x2=y，∴p=，开口朝上，∴准线方程为y=﹣，故选：D．5．（5分）与圆C1：（x+1）2+（y﹣3）2=36，C2：x2+y2﹣4x+2y+4=0都相切的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：因为圆的圆心坐标、半径分别为（﹣1，3），6；（2，﹣1），1．所以圆心距为=5，因为5=6﹣1，所以两个圆的关系是内切，所以两圆的公切线有1条．故选：A．6．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”【解答】解：对于A，“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件，显然不正确，如果函数的定义域中没有0，函数可以是奇函数例如，y=，∴A不正确；对于B，若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B不正确；对于C，若p∧q为假命题，则p，q一假即假命，∴C不正确；对于D，“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，满足否命题的形式，∴D正确；故选：D．7．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．﹣ B．C．D．【解答】解：如图所示，A（1，1，1），C（0，0，1），M，N．∴=，=．∴=，=．设异面直线AM与CN所成角为θ．则cosθ===．故选：B．8．（5分）“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程ax2+by2=c即+=1表示双曲线，则＜0，解得ab＜0．反之不成立，例如c=0．∴“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的必要不充分条件．故选：B．9．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a ≥x2，恒成立即只需a≥（x2）max=4，即“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选：C．10．（5分）下列说法正确的是（）A．经过空间内的三个点有且只有一个平面B．如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线上所有点都不在平面α内C．四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形D．用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台【解答】解：在A中，经过空间内的不共线的三个点有且只有一个平面，故A 错误；在B中，如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线与平面相交或平行，则直线上最多有一个点在平面α内，故B错误；在C中，如右图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故C正确；在D中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台．故D错误．故选：C．11．（5分）与圆x2+y2=1以及x2+y2﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：B．12．（5分）过抛物线y2=4x焦点的直线l交抛物线于P（x1，x2），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|PQ|=（）A．9 B．8 C．8 D．6【解答】解：由抛物线方程为y2=4x，可得2p=4，=1，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1．根据抛物线的定义，得|PF|=x1+=x1+1，|QF|=x2+=x2+1，∴|PF|+|QF|=（x1+1）+（x2+1）=（x1+x2）+2，又∵PQ经过焦点F，且x1+x2=6，∴|PQ|=|PF|+|QF|=（x1+x2）+2=6+2=8．故选：B．13．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：设点M（x，y），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则，，∴k1•k2=====e2﹣1=．故选：D．14．（5分）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，|OP|=a，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0【解答】解：假设|F1P|=xOP为三角形F1F2P的中线，根据三角形中线定理可知x2+（2a+x）2=2（c2+7a2）整理得x（x+2a）=c2+5a2由余弦定理可知x2+（2a+x）2﹣x（2a+x）=4c2整理得x（x+2a）=14a2﹣2c2进而可知c2+5a2=14a2﹣2c2求得3a2=c2∴c=ab=a那么渐近线为y=±x，即x±y=0故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）15．（5分）命题“若A∪B=B，则A⊆B”的逆否命题是若A⊈B，则A∪B≠B．【解答】解：命题“若A∪B=B，则A⊆B”的逆否命题是“若A⊈B，则A∪B≠B”．故答案为：“若A⊈B，则A∪B≠B”．16．（5分）已知，若，则x=﹣4．【解答】解：=（﹣2，1，3+x），∵，∴•=﹣2﹣x+2（3+x）=0，解得x=﹣4．故答案为：﹣4．17．（5分）点P是双曲线x2﹣y2=2上的动点，F是它的右焦点，则线段PF的中点M的轨迹方程为2（x﹣1）2﹣2y2=1．【解答】解：设点M（x，y），F（2，0），故P点的坐标为（2x﹣2，2y），代入双曲线x2﹣y2=2得：（2x﹣2）2﹣（2y）2=2，即线段PF的中点M的轨迹C2的方程为：2（x﹣1）2﹣2y2=1；故答案为：2（x﹣1）2﹣2y2=1．18．（5分）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线y=x对称；③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；④曲线W上的点到原点距离的最小值为2﹣其中，所有正确结论的序号是②③④．【解答】解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，∴|x|+|y|=，∴|xy|+x+y﹣1=0，∴xy＞0，（x+1）（y+1）=2或xy＜0，（y﹣1）（1﹣x）=0，函数的图象如图所示∴曲线W关于直线y=x对称；曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；由y=x与（x+1）（y+1）=2联立可得x=﹣1，∴曲线W上的点到原点距离的最小值为（﹣1）=2﹣，∴所有正确结论的序号是②③④．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）若抛物线y=mx2（m≠0）的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的标准方程．【解答】解：当m＞0时，准线方程为y=﹣，1+=3，∴m=，此时抛物线方程为y=x2；当m＜0时，准线方程为y=﹣，﹣﹣1=3，∴m=﹣，此时抛物线方程为y=﹣x2；∴所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=﹣16y．故答案为：x2=8y或x2=﹣16y．20．（12分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．【解答】解：p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，只要（x2﹣a）min≥0，x∈[1，2]，又y=x2﹣a，x∈[1，2]的最小值为1﹣a，所以1﹣a≥0，a≤1．q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，所以△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，a≤﹣2或a≥1，由p且q为真可知p和q为均真，所以a≤﹣2或a=1，∴a的取值范围是{a|a≤﹣2或a=1}．21．（12分）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为3：7，求椭圆方程和双曲线方程．【解答】解：设焦点在x轴上的椭圆方程为，双曲线方程为，由已知得，∴，a=7，m=3，∴椭圆方程为，若焦点在y轴上，同样可得方程为，．22．（12分）如图1，正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别为AC和BC边上的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，如图2．（1）试判断翻折后的直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值；（3）求点C到平面DEF的距离．【解答】解建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（a，0，0），A（0，0，a），C（0，a，0），F（，，0），E（0，，）．（1）=（a，0，﹣a），=（a，0，﹣a），∴=．∴∥．∴EF∥AB．又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AB∥平面DEF．（2）易知=（a，0，0）是平面ADC的一个法向量．设平面ACB的一个法向量为=（x，y，z）．而=（a，0，﹣a），=（﹣a，a，0），则，令x=1，得z=1，y=，∴平面ACB的一个法向量为=．∴•=a．∴cos==．∴二面角BACD的余弦值为．（3）平面DEF内的向量=（0，，），=．设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=，则z=﹣3，x=﹣3．∴平面DEF的一个法向量=（﹣3，，﹣3）．又=（0，a，0），∴=3a．∴点C到平面DEF的距离d===a．23．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k 2）x 2+8k （1+2k ）x +4（1+2k ）2﹣4b 2=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=．x 1x 2=，由M 为AB 的中点，可得x 1+x 2=﹣4，得=﹣4，解得k=， 从而x 1x 2=8﹣2b 2，于是|AB |=•|x 1﹣x 2|=•==，解得b 2=3，则有椭圆E 的方程为+=1．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期第二次月考数学(理)试题(实验班)含答案
长安一中2016级（高二阶段)第一学期第二次月考数学试题（实验) 时间：100分钟 总分：150分 命题人：李林刚 审题人：任晓龙一、选择题（本题共14小题,每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）1。
已知复数(2)z a i i =-⋅（i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是( ）. A.()0,+∞ B. ()-0∞， C. ()0,2D. ()-2,+∞2.命题“若,a b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是（ ）. A.若a b +不是偶数，则,a b 都不是奇数 B 。
若a b +不是偶数,则,a b 不都是奇数C 。
若a b +是偶数，则,a b 都是奇数 D.若a b +是偶数，则,a b 不都是奇数 3。
命题“[]21,2,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）。
A ．4a ≥ B ．4a ≤ C ．5a ≥D ．5a ≤［来4.若函数()f x 满足321()(1)3f x x f x x '=-⋅-，则(1)f '的值为（）。
A ．0B ．2C ．1D ．1-5.某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（ )。
A ．2B ．3C ．5D ．136.若下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（).A 。
7k =B 。
6k ≤C ． 6k < D. 6k >7.观察下列各式：55＝3125,56＝15625，57＝78125,…，则52017的末四位数字为( )．A ．3125B ．5625C ．0625D ．81258。
设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（ ）。
陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期第二次月考数学(理)试题含答案
长安一中2016级（高二阶段)第一学期第二次月考数学试题（理科重点平行）时间：100分钟 总分:150分 命题人:赵建军 审题人：南宏波一.选择题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡的相应位置.）1.设f (x )＝x ln x ，若f ′（x 0)＝2,则x 0等于（ ） A ．e 2B ．e C.错误! D ．ln22。
抛物线22x y -=的焦点坐标为（ ）A. (21-，0) B 。
（0，21-） C 。
(81-,0） D 。
（0,81-）3。
“0<x ”是“ln(1)0x +<”的（ ）A 。
必要不充分条件B 。
充分不必要条件C 。
充分而必要条件D 。
既不充分也不必要条件 4。
下列命题中正确的个数是（ ）①命题“任意(0,),21x x ∈+∞>”的否定是“任意(0,),21xx ∉+∞≤； ②命题“若cos cos x y =，则y x =”的逆否命题是真命题；③若命题p 为真，命题q ⌝为真，则命题p 且q 为真；④命题“若3=x ，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则2230x x --≠”。
A.0个B.1个C.2个D.3个5。
等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点 。
若43AB =则C 的实轴长为（ )222。
4 D.86.函数()sin xf x e x =的图象在点（3,(3)f ）处的切线的倾斜角为（ ) A 。
2πB.0C. 锐角D.钝角7. 函数f (x )＝错误!x 3－4x ＋4的极大值为( ）A. 错误! B ．6 C 。
错误! D ．78.用数学归纳法证明(1)(2)()213.(21)(*)N nn n n n n n +++=⋅⋅⋅-∈时,从“=n k 到1+=k n ”左边需增乘的代数式为( )A.12+k B ．132++k k C.112++k k D ．)12(2+k9。
陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)
长安一中2016级（高二阶段）第一学期第二次月考数学试题一.选择题：(本大题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案填涂在答题卡的相应位置.)1.设f(x)＝xln x ，若f′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A. e 2B. eC.ln 22D. ln 2 【答案】B 【解析】试题分析：()()000ln 1ln 12f x x f x x x e =+\=+=\¢=¢考点：函数求导数2.抛物线22y x =-的焦点坐标为( ) A. (12-,0) B. (0,12-) C. (18-,0) D. (0,18-) 【答案】D 【解析】根据抛物线标准方程2x 2py =-的焦点坐标为p0-2（，）知，21x 2y =-的焦点坐标为10-8（，）.故选D. 3.“0x <”是“ln(1)0x +<”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分而必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由ln(1)0x +<可得-1<x<0，由小范围推大范围知"x<0"不能推"-1<x<0"，而“-1<x<0”能推“x<0”，故“x<0”是“-1<x<0”的必要不充分条件，即“x<0”是“ln(1)0x +<”的必要不充分条件. 故选A. 4.下列命题中正确的个数是( ) ①命题“任意(0,),21xx ??”的否定是“任意(0,),21x x ?ィ；②命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是真命题； ③若命题p 为真，命题q Ø为真，则命题p 且q 为真； ④命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ¹，则2230x x --?”.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 【答案】B 【解析】(1)命题“任意()0,,21xx ??,”的否定是“存在()0,,21x x ?ィ;故(1)错误,(2) 命题“若cos cos x y =，则x y =”为假命题,则逆否命题也是假命题;故(2)错误, (3)若命题p 为真,命题￢q 为真,则命题q 为假命题,则命题p 且q 为假命题;故(3)错误, (4)命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ¹，则2230x x --?”.故(4)正确,故命题中正确的个数为1个,故选B.5.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =则C 的实轴长为（ ）A.B. C. 4 D. 8【答案】C 【解析】设C ：22x a－22y a ＝1．∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立22x a－22y a ＝1和x ＝－4得A(－4，B(－4，，∴|AB|＝ ∴a ＝2，∴2a ＝4． ∴C 的实轴长为4．视频6.若函数f(x)=e x sin x,则此函数图像在点(3,f(3))处的切线的倾斜角为 ( )A.2pB. 0C. 钝角D. 锐角 【答案】C 【解析】根据题意得,'()sin cos (sin cos )x x x f x e x e x e x x =+=+,\ 在点(()3,3f )处的切线的斜率是3(sin3cos3)k e =+,sin 33+04p+<（） , 3(sin3cos3)0k e \=+<,则对应切线的倾斜角是钝角,故选D.7.函数f(x)＝13x 3－4x ＋4的极大值为( ) A. 283 B. 6 C. 263D. 7【答案】A 【解析】y′=x 2-4=0，得x=±2. 当x ＜-2时，y′＞0； 当-2＜x ＜2时，y′＜0； 当x ＞2时，y′＞0. ∴当x=-2时，y 极大值=283，故选A. 8.用数学归纳法证明(1)(2)()213.(21)(*)n n n n n n n N +++=鬃?? 时，从“到”左边需增乘的代数式为( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】 由题设条件得，当时，有()()()()12213.21k k k k k k +++=鬃? ；当n=k+1时，等式左边为(2)(3)(2)(21)(22)k k k k k ++++ .所以左边要增乘的代数式为(21)(22)2(21)1k k k k ++=++.故选D.9.如图所示为函数y ＝f(x)，y ＝g(x)的导函数的图像，那么y ＝f(x)，y ＝g(x)的图像可能是( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】从导函数的图象可知两个函数在0x 处斜率相同，可以排除B 答案，再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y =f (x )的导函数的值在减小，所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC ，最后就只有答案D 了，可以验证y =g (x )。
陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
陕西省西安市长安一中2017～2018学年度第一学期期末考试高二数学试题(理科)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.)1.设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝（ ）A. 12B. 2C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】先求出z 的表达式，然后对其化简，求出复数的模即可.【详解】由题意，()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z -===+++-，所以z =故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的模的计算，属于基础题. 2.已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A. (,1)-∞- B. (1,3)- C. (3,)-+∞ D. (3,1)-【答案】B 【解析】 【分析】原命题等价于212(1)02x a x +-+>恒成立，故2()114202a ∆=--⨯⨯<即可，解出不等式即可. 【详解】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B．【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.3.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120 km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A. 30辆B. 1700辆C. 170辆D. 300辆【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆.【详解】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为()++⨯=，0.030.0350.02100.85∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有⨯=（辆），故选B.20000.851700【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝422n n +，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上（） A. k 2＋1B. (k ＋1)2C. ()()421412k k +++D. (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2【答案】D 【解析】试题分析：当n=k时，等式左端=212k ++⋯+，当n=k+1时，等式左端=22222121231k k k k k ++⋯++++++++⋯++（）（）（）（），增加了2k+1项．故选D ． 考点：数学归纳法．5.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A. 2aB.212a C.214a D.24a 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得11()22AB AC AE AF AD u u u r u u u u u u r u u r u u u ru r ⋅=+⋅,再利用两个向量的数量积的定义求得结果.【详解】解：11()22AB AC AE AF AD u u u r u u u u u u r u u r u u u ru r ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD u u ur u u u r u u u r u u u r =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a ︒︒=+= 故选C【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,属于中档题.6.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )．A. 4B. 42C. 2D. 22【答案】A 【解析】先根据题意画出图形：得到积分上限为2，积分下限为0曲线3y x =与直线4y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为()234x x dx -⎰而()23240214284404x x dx x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰故曲边梯形的面积为4 故选A7.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A. 乙、丁可以知道自己的成绩 B. 乙可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 丁可以知道四人的成绩【答案】A 【解析】 【分析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好， 又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选A.【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.8. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，8【答案】C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图9.已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( )A. [1，＋∞)B. (－∞，1]C. (1，＋∞)D. (－∞，－3]【答案】A 【解析】q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，所以p 是q 的必要不充分条件，即{}{}{}2230|31x x a x x x x xx ≠⊂=-＋－或，所以1a ≥故选A10.已知正四棱柱ABCD- A1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A. 2 B.C.D. 1【答案】D 【解析】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC Q 平面BDE ， 1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得111112232323E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯=，在BDE V 中，BE DE BD ====BD 边上的高2==，所以122BDE S =⨯=V 1133A BDE BDE V S h -==⨯V ，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得:13⨯=解得:1h = 考点：利用等体积法求距离11.已知双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)与直线0l y m ++=交于1122(,),(,),M x y N x y 其中11220,0,0,0,x y x y >>><，若0OM OQ +=u u u u v u u u v,且30MNQ ∠=o ,则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. 12y x =±B. y x =±C. 2y x =±D. y =【答案】B 【解析】()11M x y ，，()22N x y ， 0OMOQ→+→=Q()Q x y ∴--，，MN K =3NQ K =-2121y y x x +∴=+联立方程22221x y a b y m⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，解得212223x x b a +=-121212121223y y m m m x x x x x x +--∴===-+++223= 22a b =，1ba=± 则渐近线方程为y x =± 故选B点睛：本题考查了双曲线与直线的综合题目，依据条件给出Q 点坐标，利用角度转化为直线斜率问题，从而求出a b 、关系，计算出双曲线的渐近线方程，计算较大，需要转化，难度较大．12.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】 设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.）13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生． 【答案】60 【解析】 【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++.故答案为60.14.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π dm 3，且用料最省，则圆柱的底面半径为________ dm. 【答案】3 【解析】试题分析：设圆柱的高为h ，半径为r 则由圆柱的体积公式可得，πr 2h=27π，即，要使用料最省即求全面积的最小值，而S 全面积=πr 2+2πrh==（法一）令S=f （r ），结合导数可判断函数f （r ）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径 （法二）：S 全面积=πr 2+2πrh==，利用基本不等式可求用料最小时的r解：设圆柱的高为h ，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr 2h=27πS 全面积=πr 2+2πrh==（法一）令S=f （r ），（r ＞0）=令f′（r ）≥0可得r≥3，令f′（r ）＜0可得0＜r ＜3∴f （r ）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f （r ）在r=3时取得最小值 （法二）：S 全面积=πr 2+2πrh====27π当且仅当即r=3时取等号当半径为3时，S 最小即用料最省 故答案为3点评：本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决．15.设函数()'f x 是奇函数()()f x a R ∈的导函数， ()10f -=，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，则使不等式()0f x >成立的x 的取值范围是_____． 【答案】(,1)(0,1)-∞-U 【解析】试题分析：当0x >时，令()()2()()()0xf x f x f x g x g x x x-=⇒''=>，又(1)(1)(1)01f g f ==--=，所以当0x >时，由()01g x x >⇒>，满足()0f x >；因为()()f x g x x=为(,0)(0,)-∞⋃+∞偶函数，因此当0x <时，由()010g x x <⇒-<<，满足()0f x >；从而使得()0f x >成立的x 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞考点：利用导数研究函数性质，利用导数解不等式16.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：22221x y a b-=(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O 、A 、B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________． 【答案】32【解析】双曲线1C ：()2222100x y a b a b-=>>，的渐近线方程为b y x a =±与抛物线2C ：22x py =联立， 可得0x =或2pbx a=±取2222pb pb A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则22244AC b a k ab -= OAB Qn 垂心为2C 的焦点22414b a b ab a -⎛⎫∴⨯-=- ⎪⎝⎭2254a b ∴=()22254a c a ∴=- 32c e a ∴==综上所述，答案为32点睛：本题考查的是双曲线的方程与性质，抛物线的性质以及两直线垂直，意在考查学生生的逻辑推理能力和计算能力．首先要根据已知求出双曲线的渐近线方程与抛物线的焦点坐标，然后利用两直线垂直，即可建立关于a ，b 的方程，最后表示出c ，求得离心率．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知:p “直线0x y m +-=与圆22(1)1x y -+= 相交”；q ：“方程240mx x m -+-=有一正根和一负根”.若p 或q 为真， 非p 为真，求实数m 的取值范围.【答案】214m +≤< 【解析】试题分析：先求出命题p ，q 的等价条件，然后利用若p q ∨为真，非p 为真，求实数m 的取值范围． 解析：对p ：∵直线与圆相交，∴d ＝＜1. ∴－＋1＜m ＜＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根， ∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4， ∴或解得0＜m ＜4.又∵¬p 为真，∴p 假. 又∵p 或q 为真，∴q 为真. 由数轴可得＋1≤m ＜4.故m 的取值范围是＋1≤m ＜4.18.设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x ＞0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－相切． (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f(x)在上的最大值．【答案】（1）112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.（2）f (x )max ＝12-. 【解析】 【分析】（1）对f (x )进行求导()'fx ， 欲求出切线方程，只需求出其斜率即可，故先利用导数求出在1x =处的导数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，列出关于a ，b 的方程求解即可；（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值.【详解】(1)f ′(x )＝－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－相切，∴'(1)211(1)2f a b f b =-=⎧⎪⎨=-=-⎪⎩解得(2)由(1)知，f (x )＝ln x －x 2，f ′(x )＝－x ＝，当≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e，∴f (x )在[，1)上是增加的，在(1，e]上是减少的， ∴f (x )max ＝f (1)＝－点睛：本题主要考查函数单调性的应用，利用导数研究曲线上某点的切线方程，导数在最大值、最小值问题中的应用，不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想.19.已知过抛物线()220y px p => 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x <两点，且9AB = . （1）求抛物线的方程;（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+u u u v u u u v u u u v，求λ的值.【答案】（1）y 2＝8x .（2）λ＝0，或λ＝2. 【解析】【详解】试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出12x x +，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式12AB x x p =++，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A 、B 两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C 的坐标，由于点C 在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值. 试题解析：(1)直线AB 的方程是y ＝2（x-p 2），与y 2＝2p x 联立，消去y 得8x 2－10p x ＋22p ＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝54p .由抛物线定义得|AB |＝54p ＋p ＝9，故p=4 (2)由(1)得x 2－5x ＋4＝0，得x 1＝1，x 2＝4，从而A (1，－22)，B (4，42)． 设OC u u u v＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ－22)， 又y ＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.【点睛】求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式12AB x x p =++，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A 、B 两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C 的坐标，由于点C 在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.20.如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）33-【解析】【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ． 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA u u u v的方向为x 轴正方向，AB u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,1,02B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以2222PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，)2,0,0CB =u u uv ，2222PA ⎛=- ⎝⎭u u u v ，()0,1,0AB =u u uv . 设(),,n x y z =r是平面PCB 的法向量，则0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u u v r 即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩ 可取(0,1,2n =--r.设(),,m x y z r=是平面PAB 的法向量，则0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u uu v r u u u v r 即220,0.x z y =⎪=⎩可取()1,0,1m =r. 则3cos ,3n m n m n m ⋅==-r rr rr r ， 所以二面角A PB C --的余弦值为33-【名师点睛】高考对空间向量与立体几何考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.21.一张坐标纸上涂着圆E ：22(1)8x y ++=及点P （1，0），折叠此纸片，使P 与圆周上某点P '重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EP '交于点M ． （1）求M 的轨迹C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与C 的两个不同交点为A ，B ，且l 与以EP 为直径的圆相切，若23,34OA OB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u v u u u v ，求△ABO 的面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）62[,]43.【解析】试题分析：()1折痕为PP '的垂直平分线，则MP MP ='，推导出E 的轨迹是以E ，P 为焦点的椭圆，且21a c ==，,由此能求出M 的轨迹C 的方程；()2l 与EP 为直径的圆22x 1y +=相切，从而221m k =+，由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得 ()222124220k xkmx m +++-=，由此利用根的判别式，韦达定理，向量的数量积，弦长公式，三角形面积公式，能求出AOB n 的面积的取值范围．解析：（1）折痕为PP ′的垂直平分线，则|MP |=|MP ′|，由题意知圆E 的半径为2，∴|ME |+|MP |=|ME |+|MP ′|=2＞|EP |，∴E 的轨迹是以E 、P 为焦点的椭圆，且a =，c =1，∴b 2=a 2﹣c 2=1， ∴M 的轨迹C 的方程为2212xy +=．（2）l 与以EP 为直径的圆x 2+y 2=1相切， 则O 到l 即直线AB 的距离：=1，即m 2=k 2+1，由，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣2=0，∵直线l 与椭圆交于两个不同点，∴△=16k 2m 2﹣8（1+2k 2）（m 2﹣1）=8k 2＞0，k 2＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=，又=x 1x 2+y 1y 2=，∴，∴，==，设μ=k 4+k 2，则，∴=，，∵S △AOB 关于μ在[，2]单调递增， ∴，∴△AOB 的面积的取值范围是[，]．22.已知()221()ln ,x f x a x x a R x -=-+∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性； （Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证3()'()2f x f x ->，根据单调性求解. 试题解析： （Ⅰ）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. （1），，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；（2）时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；（3）时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+，由1'()0xg xx-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326 '()x xh xx--+=，设，则在x∈单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以3 ()'()(1)(2)2 f x f x g h->+=，即3()'()2f x f x>+对于任意的恒成立．【考点】利用导函数判断函数的单调性，分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错误百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.。
陕西省西安中学2017-2018学年高二上学期期中考试理数(平行班)试卷
西安中学2017-2018学年度第一学期期中考试高二数学理科（平行班）试题（时间：120分钟满分：150分）命题人：第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填涂在答题纸上指定位置。
）1．为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为()A．40B．30 C．20D．122．命题“存在”的否定是（）A ．存在B．存在C ．任意D ．任意3．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和是()A．62 B．63 C．64 D．654．有分别写着数字1到120的120张卡片，从中取出1张，这张卡片上的数字是3的倍数的概率是( )A ．B．34C．47D．125．已知点(413)(251)A B-，，，，，，C为线段AB上一点，且13ACAB=，则C的坐标为（）A．715222⎛⎫-⎪⎝⎭，，B．3328⎛⎫-⎪⎝⎭，，C．107133⎛⎫-⎪⎝⎭，，D．573222⎛⎫-⎪⎝⎭，，6．阅读如右图所示的算法框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写（）A．i 3 B．i 4 C．i 5 D．i 67．从800件产品中抽取60件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001,002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数(随机数表第7行至第9行的数如下)，则抽取的第4件产品的编号是()……8442175331572455068877047447672176335025839212067663016378591695566711691056717512867358074439523879332112342978645607825242074438 15510013429966027954……A．105 B．556 C．671 D．1698．下列各组事件中，不是．．互斥事件的是（）A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%9．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，8)，其回归直线方程是：y＝16x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝3，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝6，则a＝( )A．116B．18C．14D．111610．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为()A．8 B．15 C．16 D．3211．若()f x 是R 上的减函数，且(0)3f =，(3)1f =-，设{}|()12P x f x t =+-<，{}|()1Q x f x =<-，若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．2m n第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题（本大题有4小题,每小题5分,满分20分。
【精品】2018最新学年陕西省西安中学高二上学期期中数学试卷和解析
2018学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）由a1=1，d=3确定的等差数列{a n}中，当a n=298时，序号n等于（）A．99 B．100 C．96 D．1012．（4分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．3．（4分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．49 B．89 C．99 D．1014．（4分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．35．（4分）在等比数列{a n}中，a1=，q=，a n=，则项数n为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（4分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞07．（4分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解8．（4分）在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）9．（5分）在△ABC中，若a=3，cosA=﹣，则△ABC的外接圆的半径为．10．（5分）在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A=．11．（5分）已知等差数列{a n}的前3项依次为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项a n为．12．（5分）不等式＞1的解集是．13．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=．三、解答题（本大题共4个小题，共43分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
陕西省西安市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试卷Word版含解析
西安市第一中学2017-2018学年度第一学期期中高二数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列不等式的证明过程正确的是（）.ba baA •若a，b R，则；b》2a厂2B•若x , y R，贝V Igx Igy> 2 Igxlg yD •若x为负实数，则2x 2^ > 2 .2x 2* =2【答案】D【解析】A不正确，因为a , b不满足同号，故不能用基本不等式;B不正确，因为Igx和Igy不一定是正实数，故不能用基本不等式;C不正确，因为x和-不是正实数，故不能直接利用基本不等式；xD正确，因为2x和2〉都是正实数，故2x2^ > 2..2x 2」=2成立，当且仅当乞=2相等时（即x=0 时），等号成立.故选D .2. 已知a :■是等比数列，且a n 0 , a2d 2a3a5 a4a^36，那么a3 *5的值等于（）A. 6B. 12C. 18D. 24【答案】A【解析】由等比数列的性质可得a2a42a3a5■ a4a^a| ' 2a3a5af = （a3■逐）2=36 ,又・an,--a3 ' a5 - 0 ,C.若x为负实数，则故选A .3. 在△ ABC中，若.B=30 , AB =2.3 , AC =2，则满足条件的三角形有（A . 1 个B . 2 个C. 3个 D . 【答案】B【解析】设AB =c , AC = b , BC = a ,b csin B sinC2 _ 2 一31 sinC '2•• C打…sinC =-2•. C =120 或.C =60 .满足条件的三角形有2个.故选B .丄2x「y w 0 r「2x y4 .已知正数x、y满足，则z=2 y的最大值为（）.3y 5 > 0A. 8 B . 16 C. 3264D .【答案】B【解析】f2x —vw 0满足约束条件的平面区域如下图所示：|x _3y 5> 0」2x -y =0 由得 A （1,2）,|x -3y 5 =0由图可知：当x =1 , y =2时，z=22x 'v 的最大值为24 =16 . 故选B .【答案】B【解析】T a 1 a 2 *a 3 = —24 , +a 〔9 *a 2o =78 ,…a 1 ■ a 20 'a 2' ■ a 3■=54 =3(a 1 ■ a 20),…a1a20=18 ,... EQ =20(a1 a20)wo .2故选B .5.等差数列\aj , a 1 a 2 a 3 = -24 ,-• a ?。
2017-2018年陕西省西安中学高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2017-2018学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设i是虚数单位，若复数，则=（）A．B．C．D．2．（5分）若集合A={x|y=}，B={x|x≥﹣1}，则A∩B=（）A．[﹣1，1）B．[﹣1，0]C．（﹣1，+∞）D．（0，1]3．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件4．（5分）指数函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），在R上是减函数，则函数g（x）=（a﹣2）x3在R上的单调性为（）A．单调递增B．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增C．单调递减D．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减5．（5分）若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为3π，则ω的值为（）A．B．C．D．26．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，0 B．2，C．2，﹣D．2，7．（5分）函数y=sinx（3sinx+4cosx）（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（）A．（5，π） B．（4，π） C．（﹣1，2π）D．（4，2π）8．（5分）设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小为（）A． B．C． D．9．（5分）函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2） C．（0，3） D．（0，2）10．（5分）已知函数f（x）=（2x﹣1）e x+ax2﹣3a（x＞0）为增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣e，+∞）C．（]D．（] 11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（﹣+x）=f（+x），当x∈[0，]时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．912．（5分）如果函数满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f （x1）﹣f（x2）|≤1恒成立，则a的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知sin，且0，则sinα=，cosα=．14．（5分）对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：数列{x n}满足：x1=1，且对于任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2016+x2017的值为．15．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x2﹣4x）=6的不同实根的个数为．16．（5分）已知函数f（x）=（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在（，+∞）上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f（）＜．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知c=，△ABC 的面积为，又tanA+tanB=（tanAtanB﹣1）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求a+b的值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．19．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．下面的临界值表仅供参考：20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣x2+2a+b（x∈R）的图象在x=0处的切线为y=bx．（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）+（3x2﹣5x﹣2k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（0≤α＜π，t为参数），曲线C的极坐标方程为．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段C的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．2017-2018学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设i是虚数单位，若复数，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由=，得．故选：A．2．（5分）若集合A={x|y=}，B={x|x≥﹣1}，则A∩B=（）A．[﹣1，1）B．[﹣1，0]C．（﹣1，+∞）D．（0，1]【解答】解：集合A={x|y=}={x|lg（1﹣x）≥0}={x|1﹣x≥1}={x|x≤0}，B={x|x≥﹣1}，则A∩B={x|﹣1≤x≤0}=[﹣1，0]．故选：B．3．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．4．（5分）指数函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），在R上是减函数，则函数g（x）=（a﹣2）x3在R上的单调性为（）A．单调递增B．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增C．单调递减D．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减【解答】解：∵指数函数f（x）=a x在R上是减函数，∴0＜a＜1，∴﹣2＜a﹣2＜﹣1，∴函数g（x）=（a﹣2）x3在R递减，故选：C．5．（5分）若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为3π，则ω的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：函数=2sin（ωx﹣），∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为3π，可知：，可得T=12π，由T=，∴ω=，故选：A．6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，0 B．2，C．2，﹣D．2，【解答】解：由函数的图象可知：==，T=π，所以ω=2，A=1，函数的图象经过（），所以1=sin（2×+φ），因为|φ|＜，所以φ=．故选：D．7．（5分）函数y=sinx（3sinx+4cosx）（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（）A．（5，π） B．（4，π） C．（﹣1，2π）D．（4，2π）【解答】解：y=sinx（3sinx+4cosx）=3sin2x+4sinxcosx==故可得函数的最大值为4，函数的周期T=π故选：B．8．（5分）设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小为（）A． B．C． D．【解答】解：∵，∴sinA•cos﹣cosA•sin=cosA，…（2分）∴sinA=cosA，tanA=．…（4分）又0＜A＜π，∴A=．…（5分）故选：D．9．（5分）函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2） C．（0，3） D．（0，2）【解答】解：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解得0＜a＜3，故实数a的取值范围是（0，3），故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=（2x﹣1）e x+ax2﹣3a（x＞0）为增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣e，+∞）C．（]D．（]【解答】解：∵函数f（x）=（2x﹣1）e x+ax2﹣3a（x＞0）为增函数，∴f′（x）=（2x+1）e x+2ax≥0，化为2a≥﹣，令g（x）=﹣，则g′（x）=﹣，可得：x=时，函数g（x）取得极大值即最大值，=﹣4．∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．故选：A．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（﹣+x）=f（+x），当x∈[0，]时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．9【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（﹣+x）=f（+x），∴f（）=f（），可得f（x+3）=f（x），函数f（x）的周期为3，∵当x∈[0，]时，f（x）=ln（x2﹣x+1），令f（x）=0，则x2﹣x+1=1，解得x=0或1，又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴在区间∈[﹣，]上，有f（﹣1）=﹣f（1）=0，f（0）=0．由f（﹣+x）=f（+x），取x=0，得f（﹣）=f（），得f（）=f（﹣）=0，∴f（﹣1）=f（1）=f（0）=f（）=f（﹣）=0．又∵函数f（x）是周期为3的周期函数，∴方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，，2，3，4，，5，6．共9个，故选：D．12．（5分）如果函数满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f （x1）﹣f（x2）|≤1恒成立，则a的取值范围是（）A． B． C．D．【解答】解：由题意f′（x）=x2﹣a2当a2≥1时，在x∈[0，1]，恒有导数为负，即函数在[0，1]上是减函数，故最大值为f（0）=0，最小值为f（1）=﹣a2，故有，解得|a|≤，故可得﹣≤a≤当a2∈[0，1]，由导数知函数在[0，a]上减，在[a，1]上增，故最小值为f（a）=，最大值为f（0）或f（1），a∈[0，1]成立，同样a∈[﹣1，0]成立．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知sin，且0，则sinα=，cosα=．【解答】解：∵已知sin=﹣sin（+α）•cos（+α）=﹣cosα•（﹣sinα），即sinαcosα=．结合0，sin2α+cos2α=1，求得sinα=，cosα=，故答案为：；．14．（5分）对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：数列{x n}满足：x1=1，且对于任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2016+x2017的值为7561．【解答】解：∵数列{x n}满足：x1=1，）都在函数y=f（x）的图象上，且对于任意n∈N*，点（x n，x n+1∴x1=1，x n+1=f（x n），∴x1=1，x2=f（x1）=f（1）=3，x3=f（x2）=f（3）=5，x4=f（x3）=f（5）=6，x5=f（x4）=f（6）=1，x6=f（x5）=f（1）=3，x7=f（x6）=f（3）=6…∴{x n}是周期数列，周期为4，一个周期内的和为：1+3+5+6=15，∴x1+x2+x3+x4+…+x2016+x2017=504×15+1=7561．故答案为：7561．15．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x2﹣4x）=6的不同实根的个数为4．【解答】解：由y=，得，当x∈（0，1）时，y′＜0，当x∈（1，+∞）时，y′＞0，∴y=在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数．作出函数f（x）=的图象如图，设f（x）与y=6的交点的横坐标分别为t1、t2、t3，则，0＜t2＜1，t3＞1．由x2﹣4x=t1，得x2﹣4x﹣t1=0，此时△＜0，方程无解；由x2﹣4x=t2，得x2﹣4x﹣t2=0，此时△＞0，方程有两不同解；由x2﹣4x=t3，得x2﹣4x﹣t3=0，此时△＞0，方程有两不同解．综上，关于x的方程f（x2﹣4x）=6的不同实根的个数为4．故答案为：4．16．（5分）已知函数f（x）=（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在（，+∞）上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f（）＜．其中正确命题的序号是①④．【解答】解：①由函数f（x）=（a是常数且a＞0）的图象可知，函数在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故①正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；所以②不正确；③只需说明f（x）＞0在（，+∞）上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，f（）=a﹣1≥0，可得a≥1，所以，若f（x）＞0在（，+∞）上恒成立，则a的取值范围是a≥1，故③不正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故④正确．故答案为：①④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知c=，△ABC的面积为，又tanA+tanB=（tanAtanB﹣1）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求a+b的值．【解答】解：（I）∵tanA+tanB=（tanAtanB﹣1），∴tan（A+B）==﹣，∴A+B=，从而C=．（7分）（II）由S==，C=得ab=6，△ABC又cosC==，c=，∴a+b=．（14分）18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）设AB中点为D，连结PD，CD，∵AP=BP，∴PD⊥AB．又AC=BC，∴CD⊥AB，∴∠PDC就是二面角P﹣AB﹣C的平面角．又由已知∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AD=BD=CD=，AB=2．又△PAB为正三角形，且PD⊥AB，∴PD==．∵PC=2，∴PC2=CD2+PD2．∴PD⊥CD．又AB∩CD=D，∴PD⊥平面ABC，∵PD⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．解：（2）由（1）知DC，DB，DP两两垂直．以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系．D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣，0），P（0，0，）．∴=（，0），=（）．设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=﹣1，z=．平面PAC的一个法向量为=（1，﹣1，）．平面PAB的一个法向量为=（）．∴cos＜＞==．由图可知，二面角B﹣AP﹣C为锐角．∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．19．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为， （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由； （3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差． 下面的临界值表仅供参考：【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得 列联表补充如下（2）因为 K 2=，即K 2==，所以 K 2≈8.333又 P （k 2≥7.879）=0.005=0.5%，所以，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．（3）现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行胃病的排查， 记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．故P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，则ξ的分布列：则Eξ=1×+2×+3×=0.9，Dξ=×（0﹣0.9）2+×（1﹣0.9）2+×（2﹣0.9）2+×（3﹣0.9）2=0.49 20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k2=﹣=﹣1﹣（10分）因为，所以，12≤a2＜18．（11分）所以，即．（13分）21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣x2+2a+b（x∈R）的图象在x=0处的切线为y=bx．（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）+（3x2﹣5x﹣2k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．【解答】解：（I）f′（x）=e x﹣2x，f′（0）=1=b，f（0）=1+2a+b=0，联立解得b=1，a=﹣1．（II）由（I）可得：f（x）=e2﹣x2﹣1．f（x）+（3x2﹣5x﹣2k）≥0对任意x∈R恒成立⇔k≤e x+﹣x﹣1对∀x∈R恒成立．令h（x）=e x+﹣x﹣1，h′（x）=e x+x﹣，h″（x）=e x+1＞0恒成立．∴h′（x）在R上单调递增．h′（0）=＜0，h′（1）=＞0，=＜0，=﹣﹣=0．∴存在唯一零点x0∈，使得h′（x0）=0，当x∈（﹣∞，x0）时，h′（x0）＜0，函数h（x）在（﹣∞，x0）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h′（x0）＞0，函数h（x）在（x0，+∞）上单调递增．∴h（x）min=h（x0）=+﹣﹣1，又h′（x0）=+x0﹣=0，∴=﹣x0，∴h（x0）=﹣x0+﹣﹣1=，∵x0∈，∴h（x0）∈．又k≤e x+﹣x﹣1对∀x∈R恒成立⇔k≤h（x0），k∈Z．∴k的最大值为﹣1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（0≤α＜π，t为参数），曲线C的极坐标方程为．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段C的长．【解答】解：（1）由可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，（y≠0）∴曲线C表示的是焦点为（1，0），准线为x=﹣1的抛物线（原点除外）．（2）将（1，0）代入，得，∴tanα=﹣1，∵0≤α＜π，∴，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入y2=4x：得，由直线参数方程的几何意义可知，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。
2017-2018年陕西省西安一中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
2017-2018学年陕西省西安一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列不等式的证明过程正确的是（）A．若a，b∈R，则=2B．x，y∈R+，则lgx+lgyC．若x为负实数则x=﹣4D．若x为负实数，则2x+2﹣x=22．（3分）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=36，则a3+a5的值等于（）A．6 B．12 C．18 D．243．（3分）在△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，则满足条件的三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个4．（3分）已知正数x、y满足，则z=22x+y的最大值为（）A．8 B．16 C．32 D．645．（3分）等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200 D．2206．（3分）一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（α，β）（α＞0），则不等式cx2+bx+a ＞0的解集为（）A．（） B．（）C．（） D．（）7．（3分）在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2 D．28．（3分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元9．（3分）已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．410．（3分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．11．（3分）在△ABC中，sin2=（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形12．（3分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上）13．（4分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）．14．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为．15．（4分）设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是．16．（4分）若不等式对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是．17．（4分）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，AC的取值范围为．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（10分）已知a，b均为正实数，且a+b=1，求y=（a+）（b+）的最小值．19．（10分）在等差数列{a n}中a2=6，a3+a6=27．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的通项公式为b n=3n﹣1，求数列{a n，b n}的前n项和T n．20．（12分）已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．21．（12分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．2017-2018学年陕西省西安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列不等式的证明过程正确的是（）A．若a，b∈R，则=2B．x，y∈R+，则lgx+lgyC．若x为负实数则x=﹣4D．若x为负实数，则2x+2﹣x=2【解答】解：对于A：a，b∈R，不满足条件，对于B，x，y∈R+，lgx，lgy与0的关系无法确定，对于C：x为负实数则x+=﹣（﹣x+）≤﹣2=﹣4，故错误，对于D：正确，故选：D．2．（3分）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=36，则a3+a5的值等于（）A．6 B．12 C．18 D．24【解答】解：由等比数列的性质可得a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=36，又∵a n＞0，∴a3+a5＞0∴a3+a5=6故选：A．3．（3分）在△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，则满足条件的三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【解答】解：在△ABC中，∠B=30°，AB=2，AC=2，则：AB＞AC＞ABsinB．故△ABC有两解．故选：B．4．（3分）已知正数x、y满足，则z=22x+y的最大值为（）A．8 B．16 C．32 D．64【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由得A（1，2），由图可知：当x=1，y=2时z=22x+y的最大值为24=16，故选：B．5．（3分）等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200 D．220【解答】解：∵a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3（a1+a20）∴a1+a20=18∴=180故选：B．6．（3分）一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（α，β）（α＞0），则不等式cx2+bx+a ＞0的解集为（）A．（） B．（）C．（） D．（）【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为（α，β），其中0＜α＜β，则α，β是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，且a＜0；∴α+β=﹣，αβ=；则不等式cx2+bx+a＜0化为x2+x+1＞0，即αβx2﹣（α+β）x+1＞0；化为（αx﹣1）（βx﹣1）＞0，又0＜α＜β，∴0＜＜．∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为：（，）．故选：C．7．（3分）在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，∴AB•AC•sinA=，即×2×AC×=，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=1+4﹣2=3，则BC=．故选：B．8．（3分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元【解答】解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z 元，则z=1600x+2400y，其中x、y满足不等式组，（x、y∈N）∵A型车租金为1600元，可载客36人，∴A型车的人均租金是≈44.4元，同理可得B型车的人均租金是=40元，由此可得，租用B型车的成本比租用A型车的成本低因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低由此进行验证，可得当x=5、y=12时，可载客36×5+60×12=900人，符合要求且此时的总租金z=1600×5+2400×12=36800，达到最小值故选：C．9．（3分）已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，∴．当且仅当x=y时取“=”，故选：D．10．（3分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m＜﹣．故选：C．11．（3分）在△ABC中，sin2=（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【解答】解：因为sin2==，即，由余弦定理可得，可得a2+b2=c2，所以三角形是直角三角形．故选：B．12．（3分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上）13．（4分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为2000（米）．【解答】解：记公路一侧所植的树依次记为第1棵、第2棵、第3棵、…、第20棵设在第n个树坑旁放置所有树苗，领取树苗往返所走的路程总和为f（n）（n 为正整数）则f（n）=[10+20+…+10（n﹣1）]+[10+20+…+10（20﹣n）]=10[1+2+…+（n﹣1）]+10[1+2+…+（20﹣n）]=5（n2﹣n）+5（20﹣n）（21﹣n）=5（n2﹣n）+5（n2﹣41n+420）=10n2﹣210n+2100，∴f（n）=20（n2﹣21n+210），相应的二次函数图象关于n=10.5对称，结合n为整数，可得当n=10或11时，f（n）的最小值为2000米．故答案为：200014．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为．【解答】解：∵△ABC的面积为S=absinC，∴由S=（a2+b2﹣c2），得（a2+b2﹣c2）=absinC，即absinC=（a2+b2﹣c2）∵根据余弦定理，得a2+b2﹣c2=2abcosC，∴absinC=×2abcosC，得sinC=cosC，即tanC==∵C∈（0，π），∴C=故答案为：15．（4分）设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是9．【解答】解：设，∴，∴∴∵4≤≤9，∴①．又∵3≤xy2≤8，∴②，①×②可得：．∴，当且仅当=9，且xy2=3，即x=3，y=1时，的最大值是9．故答案为：9．16．（4分）若不等式对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是[﹣，] ．【解答】解：∵|x+|=|x|+≥2∴不等式对一切非零实数x恒成立，等价于|2a﹣1|≤2∴﹣2≤2a﹣1≤2∴∴实数a的取值范围是[﹣，]故答案为：[﹣，]．17．（4分）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，AC的取值范围为．【解答】解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴＜3 A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，故＜cosA＜．由正弦定理可得：=，∴b=2cosA，∴＜b＜，即b．故答案为：三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（10分）已知a，b均为正实数，且a+b=1，求y=（a+）（b+）的最小值．【解答】解：y=（a+）（b+）=ab+++=ab++=ab+﹣2，∵a+b=1，∴ab≤（）2=，当且仅当a=b=时取等号，设ab=x，则0＜x≤，则y=x+﹣2，函数f（x）=x+﹣2，在（0，]上单调递减，∴y min=f（）=+8﹣2=故y=（a+）（b+）的最小值．19．（10分）在等差数列{a n}中a2=6，a3+a6=27．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的通项公式为b n=3n﹣1，求数列{a n，b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2=6，a3+a6=27，可得a1+d=6，2a1+7d=27，解得a1=3，d=3，则a n=3+3（n﹣1）=3n；（2）a n b n=n•3n，前n项和T n=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，3T n=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，两式相减可得，﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1，=﹣n•3n+1，化简可得T n=．20．（12分）已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）∵≥==4，故的最小值为4．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，即|2+x|+|2﹣x|≤恒成立，故|2+x|+|2﹣x|不大于的最小值．（4分）由（1）可知，的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a﹣b）≥0时取等号，∴的最小值等于4．（8分）∴x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集．解不等式得﹣2≤x≤2，故实数x的取值范围为[﹣2，2]．（10分）21．（12分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．【解答】解：如图所示，设缉私船追上走私船需t 小时， 则有CD=，BD=10t ．在△ABC 中，∵AB=﹣1，AC=2，∠BAC=45°+75°=120°． 根据余弦定理可求得BC=．∠CBD=90°+30°=120°．在△BCD 中，根据正弦定理可得 sin ∠BCD=，∵∠CBD=120°，∴∠BCD=30°，∠BDC=30°， ∴BD=BC=，则有10t=，t==0.245（小时）=14.7（分钟）．所以缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题(实验班)含答案
长安一中2017-2018学年度第一学期期中考试高二级 数学试题（理科实验）时间:100分钟 总分：150分 命题人：任晓龙 审题人：李林刚一、选择题(本大题共14小题,每小题5分,共70分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设),2,3(),3,4,(z b x a ==，且b a //，则xz 等于（ ） A 。
9B 。
4-C ．964 D 。
9-2．抛物线22x y -=的焦点坐标为( )A.（21-,0) B 。
（0，21-) C 。
(81-,0） D.（0，81-) 3。
下列说法正确的是（ )KS5UKS5UKS5U ］ A. “若,1>a 则12>a ”的否命题是“若,1>a 则12≤a ”B ．在ABC ∆中， “A B >”是“22sinsin A B >”的必要不充分条件C. “若tan α≠3πα≠"是真命题D.0(,0)x ∃∈-∞,使得0034x x <成立4。
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
"其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问第三天走了（ ）A 。
60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里5。
函数())cos sin f x x xx x=+-的最小正周期是（ )A 。
2π B. πC 。
32πD 。
2π6。
已知222:450,:210p x x q x x λ-->-+->，若p 是q 的充分不必要条件,则正实数λ的取值范围是( )A ．(]0,1 B ．()0,2 C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ． (]0,2 7．已知点P 在曲线4e 1xy =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ）A ．π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦ D ．3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.P为双曲线22221(0,0)x y a b a b =>>－上一点,21,F F 为焦点，如果1275,PF F ∠=2115,PF F ∠=则双曲线的离心率为( ）A.B 。
陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学(实验班)试题含答案
长安一中高2016级（高二阶段）第一学期第一次月考数学试题 （理科实验）总分：150分 时间：120分钟 命题人：任晓龙 审题人：王斌一.选择题（每小题5分,共60分)1。
k （k ≥3，k ∈N *)棱柱有f (k ）个对角面，则（k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为（ )A ．f (k ）＋k －1B ．f (k ）＋k ＋1C ．f （k ）＋kD ．f （k ）＋k －22.直线m x y +=34与双曲线116922=-y x 的交点个数是() ( ）A ．0B ．1C ．2D ．视m 的值而定3。
等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点 。
若43AB =则C 的实轴长为( ） A 2 B 。
22 C.4 D 。
84.命题“任意[]1,2x ∈,20x a ≤－”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5 5。
在三棱柱ABC .A 1B 1C 1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则αsin 的值是（ ）A.错误! B ．错误! C 。
错误! D ．错误! 6。
已知双曲线错误!－错误!＝1（b 〉0）,以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形） A 。
错误!错误!＝1 C.错误!－错误!＝1D 。
错误!7.正三棱柱ABC 。
A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( ）A. 错误!B. 错误!C. 错误!D. 错误!8．直线l ：(y k x =与曲线()2210xy x -=>相交于A 、B 两点，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A.[)0,πB 。
西安长安区第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试题(重点、平行班) 含解析
长安一中高2016级（高二阶段）第一学期第一次月考数学试题（理科重点平行）一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. “若，则"的逆否命题是（）A. 若，则B。
若，则C。
若，则D。
若，则【答案】C【解析】试题分析：根据逆否命题的概念，可知命题“若，则"的逆否命题是“若，则",故选C。
考点：四种命题改写.2。
设，为非零向量，则“存在负数，使得"是“”的（)A。
充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D。
既不充分也不必要条件【答案】A【解析】为非零向量，存在负数，使得,则向量共线且方向相反,可得，反之不成立，非零向量的夹角为钝角，满足,而不成立，∴为非零向量，则“存在负数,使得”是”的充分不必要条件，故选A。
3。
已知，命题,则（）A. 是假命题，B. 是假命题，C. 是真命题，D。
是真命题，【答案】C【解析】，，，∴是上是减函数，∵，∴，∴命题是真命题，,故选C. 4。
若一条直线与一个平面成72°角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（）A。
72° B。
90° C。
108° D. 180°【答案】B【解析】略5。
已知向量，,且∥，则实数的值等于（）A。
B。
—2 C。
0 D。
或—2【答案】B6。
已知非零向量，不共线，如果，,，则四点( ）A. 一定共圆B. 恰是空间四边形的四个顶点C. 一定共面D。
肯定不共面【答案】C【解析】因为非零向量不共线，如果，，，所以,所以，由平面向量基本定理可知，四点共面，故选C。
7。
已知,则最大值为( )A. B. C. D。
【答案】D【解析】∵，，∴，，,∴;设,则，∴，∴;设，则，即，∴,∴当时,取得最大值为故选D.点睛：本题考查了利用向量的数量积求夹角的应用问题，也考查了函数在闭区间上的最值问题，是基础题目；根据两向量的数量积求出夹角的余弦值，再利用换元法求出它的最大值即可.8。
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2017-2018学年陕西省西安市长安一中实验班高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设=（x，4，3），=（3，2，z），且∥，则xz的值为（）A．9 B．﹣9 C．4 D．2．（5分）抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．B．（﹣1，0）C．D．3．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．在△ABC中，“A＞B”是“sin2A＞sin2B”必要不充分条件C．“若tanα，则”是真命题D．∃x0∈（﹣∞，0）使得3＜4成立4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里5．（5分）函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A．B．πC． D．2π6．（5分）已知p：x2﹣4x﹣5＞0，q：x2﹣2x+1﹣λ2＞0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2） C． D．（0，2]7．（5分）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，）B．C．D．8．（5分）P为双曲线上一点，F1，F2为焦点，如果，则双曲线的离心率为（）A．.B．.C．.D．．9．（5分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n ﹣1）（n∈N*）时，从n=k（k∈N*）到n=k+1时左边需增乘的代数式是（）A．2k+1 B．2（2k+1）C．D．10．（5分）函数f（x）=x2•e x+1，x∈[﹣2，1]的最大值为（）A．4e﹣1B．1 C．e2D．3e211．（5分）已知函数f（x）=2sinx﹣3x，若对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣3）+f （a2）＞0的恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）12．（5分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．913．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O 在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．414．（5分）设f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导数，且满足xf'（x）﹣2f（x）＞0，若△ABC中，∠C是钝角，则（）A．f（sinA）•sin2B＞f（sinB）•sin2A B．f（sinA）•sin2B＜f（sinB）•sin2AC．f（cosA）•sin2B＞f（sinB）•cos2A D．f（cosA）•sin2B＜f（sinB）•cos2A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题纸的相应横线上.）15．（5分）计算：=．16．（5分）F1、F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于．17．（5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为．18．（5分）设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f （x）≥0成立，则实数a的值为．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答时应写出必要的文字说明或演算步骤，请在答题纸的相应位置作答）19．（12分）S n为数列{a n}前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和．20．（12分）一辆家庭轿车在x年的使用过程中需要如下支出：购买轿车的费用12万元；保险费、燃油费等每年1万元；维修保养费用万元；使用x年后汽车价值万元．在这辆汽车上的年平均支出y（单位：万元）是使用时间x（单位：年）的函数．（1）求出y关于使用时间x的函数解析式；（2）随着x的变化，函数值y的变化有何规律；并求当x取何值时，函数y有最小值，求出最小值．21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．22．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A（0，﹣2）的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．23．（12分）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．2017-2018学年陕西省西安市长安一中实验班高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设=（x，4，3），=（3，2，z），且∥，则xz的值为（）A．9 B．﹣9 C．4 D．【解答】解：∵=（x，4，3）与=（3，2，z），共线，故有．∴x=6，y=．则xz的值为：9故选A．2．（5分）抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．B．（﹣1，0）C．D．【解答】解：∵在抛物线y=﹣2x2，即x2=﹣y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，﹣），故选D．3．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．在△ABC中，“A＞B”是“sin2A＞sin2B”必要不充分条件C．“若tanα，则”是真命题D．∃x0∈（﹣∞，0）使得3＜4成立【解答】解：对于A，命题的否定既要否定条件又要否定结论，故错；对于B，在△ABC中，“A＞B”⇒a＞b⇒a2＞b2⇒（2RsinA）2＞（2RsinB）2⇒sin2A ＞sin2B，反之亦然，应是充要分条件，故错；对于C，若tanα，则+kπ⇒，故正确；对于D，∀x0∈（﹣∞，0）使得3＜4成立，故错；故选：C4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{a n}，且公比为，∵6天后共走了378里，∴S6=，解得a1=192，∴第三天走了a3=a1×=192×=48，故选B．5．（5分）函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A．B．πC． D．2π【解答】解：函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos （x+）=2sin（2x+），∴T=π，故选：B6．（5分）已知p：x2﹣4x﹣5＞0，q：x2﹣2x+1﹣λ2＞0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2） C． D．（0，2]【解答】解：解x2﹣4x﹣5＞0得：x∈（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞），解：x2﹣2x+1﹣λ2＞0，得：x∈（﹣∞，1﹣λ）∪（1+λ，+∞），若p是q的充分不必要条件，则，解得：λ∈（0，2]，故选：D．7．（5分）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，）B．C．D．【解答】解：因为y′===，∵，∴e x+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴≤α＜π故选：D．8．（5分）P为双曲线上一点，F1，F2为焦点，如果，则双曲线的离心率为（）A ．.B ．.C ．.D ．．【解答】解：由 ，可得∠F 1PF 2=90°．∴|PF 1|=2ccos75°，，根据双曲线的定义可得2csin75°﹣2ccos75°=2a ，∴===．故选C ．9．（5分）用数学归纳法证明（n +1）（n +2）（n +3）…（n +n ）=2n ×1×3×…×（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从n=k （k ∈N *）到n=k +1时左边需增乘的代数式是（ ） A ．2k +1B ．2（2k +1）C ．D ．【解答】解：n=k 时，左边=（k +1）（k +2）（k +3）…（k +k ）， 当n=k +1时，左边=（k +2）（k +3）…（k +k ）（k +k +1）（k +k +2）， ∴需要增乘的式子为=2（2k +1）．故选：B ．10．（5分）函数f （x ）=x 2•e x +1，x ∈[﹣2，1]的最大值为（ ） A ．4e ﹣1 B ．1C ．e 2D ．3e 2【解答】解：f′（x ）=xe x +1（x +2） 令f′（x ）=0得x=﹣2或x=0当f′（x ）＞0时，x ＜﹣2或x ＞0；当f′（x ）＜0时，﹣2＜x ＜0 当x=﹣2时f （﹣2）=；当x=0时，f （0）=0；当x=1时，f （1）=e 2 所以函数的最大值为e 2 故选C11．（5分）已知函数f （x ）=2sinx ﹣3x ，若对任意m ∈[﹣2，2]，f （ma ﹣3）+f （a 2）＞0的恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C ．（﹣3，3）D ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解答】解：∵f（﹣x）=2sin（﹣x）﹣3（﹣x）=﹣（2sinx﹣3x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，又f'（x）=2cosx﹣3＜0，∴f（x）单调递减，f（ma﹣3）+f（a2）＞0可化为f（ma﹣3）＞﹣f（a2）=f（﹣a2），由f（x）递减知ma﹣3＜﹣a2，即ma+a2﹣3＜0，∴对任意的m∈[﹣2，2]，f（ma﹣3）+f（a2）＞0恒成立，等价于对任意的m∈[﹣2，2]，ma+a2﹣3＜0恒成立，则，解得﹣1＜a＜1，故选：A．12．（5分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1∵=，∴点F是△ABC重心则x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6故选C13．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O 在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：根据题意，设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），∵AF的中点为M，BF的中点为N，∴M（（x1+2），y1），N（（﹣x1+2），﹣y1）．∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴∠NOM=90°，可得=（4﹣）﹣=0．…①又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为，∴，…②．由①②联解消去x1、y1，得﹣=，…③又∵F（2，0）是双曲线的右焦点，可得b2=c2﹣a2=4﹣a2，∴代入③，化简整理得a4﹣8a2+7=0，解之得a2=1或7，由于a2＜c2=4，所以a2=7不合题意，舍去．故a2=1，得a=1，离心率e==2．故选：C14．（5分）设f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导数，且满足xf'（x）﹣2f（x）＞0，若△ABC中，∠C是钝角，则（）A．f（sinA）•sin2B＞f（sinB）•sin2A B．f（sinA）•sin2B＜f（sinB）•sin2AC．f（cosA）•sin2B＞f（sinB）•cos2A D．f（cosA）•sin2B＜f（sinB）•cos2A 【解答】解：∵=，x＞0时，＞0，∴在（0，+∞）递增，又∵∠C是钝角，∴cosA＞sinB＞0，∴＞，∴f（cosA）sin2B＞f（sinB）cos2A，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题纸的相应横线上.）15．（5分）计算：=．【解答】解：由该定积分的几何意义可知为半圆：x2+y2=1（y≥0）的面积．所以==．故答案为．16．（5分）F1、F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于17．【解答】解：∵双曲线得：a=4，由双曲线的定义知||PF1|﹣|PF2||=2a=8，|PF1|=9，∴|PF2|=1＜（不合，舍去）或|PF2|=17，故|PF2|=17．故答案为17．17．（5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为3．【解答】解：设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27πS全面积=πr2+2πrh==（法一）令S=f（r），（r＞0）=令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r=3时取得最小值=πr2+2πrh==（法二）：S全面积==27π当且仅当即r=3时取等号当半径为3时，S最小即用料最省故答案为：318．（5分）设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f （x）≥0成立，则实数a的值为4．【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3，当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a ≥2，与已知矛盾，当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，②当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，③当x＞时，f（x）为递增函数．所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可由f（）≥0，即a•﹣3•+1≥0，解得a≥4，由f（﹣1）≥0，可得a≤4，由f（1）≥0解得2≤a≤4，综上a=4为所求．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答时应写出必要的文字说明或演算步骤，请在答题纸的相应位置作答）19．（12分）S n为数列{a n}前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，n≥2时，+2a n﹣1=4S n﹣1+3，相减可得：a n2+2a n﹣（+2a n﹣1）=4a n，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2=0，即a n﹣a n﹣1=2，又=4a1+3，a1＞0，解得a1=3．∴数列{a n}是等差数列，首项为3，公差为2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和=+…+==．20．（12分）一辆家庭轿车在x年的使用过程中需要如下支出：购买轿车的费用12万元；保险费、燃油费等每年1万元；维修保养费用万元；使用x年后汽车价值万元．在这辆汽车上的年平均支出y（单位：万元）是使用时间x（单位：年）的函数．（1）求出y关于使用时间x的函数解析式；（2）随着x的变化，函数值y的变化有何规律；并求当x取何值时，函数y有最小值，求出最小值．【解答】解：（1）y==0.1x++1.9，x＞0，（2）由y=0.1x++1.9，x＞0，求得y′=0.1﹣，x＞0，当y′=0.1﹣＜0时，x∈（0，2）；当y′=0.1﹣＞0时，x∈（2，+∞）；当x=2时，函数有最小值为≈2.79．21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为22．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A（0，﹣2）的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．【解答】解：（1）设F（c，0），由条件知⇒c=．又a2=b2+c2，可得b2=1，a2=4，∴椭圆E的方程：．（2）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入椭圆E的方程：．由△＞0，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即k2．，从而|PQ|=|x1﹣x2|=．又点O到直线PQ的距离d=．=|PQ|=所以△OPQ的面积s△OPQ设=t，则t＞0，∴．当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．23．（12分）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．【解答】解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．综上所知，k的最大值为2．。