极坐标与参数方程经典练习题-带详细解答汇编

1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为
极轴.已知直线l
的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为
2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两
点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1
(,1)2P ，倾斜角α＝6
π
，圆C 的极坐标方程
为)4
π
ρθ=
-.
(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程是)(242
2
2
2
是参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+==，圆C 的极坐标方程为
)4
cos(2π
θρ+=．
（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴
重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩
（α为参数），
点Q
的极坐标为7
)4
π。

（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；
（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。

5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,
3(π
，曲线C 的方程为)4
sin(22π
θρ+
=；以极点
为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．
（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．
6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为
⎩⎨
⎧+==α
α
sin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与曲线1C ，2C 交于不同于原
点的点A,B 求AB
7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程．
8．在直角坐标系中，曲线C 1
的参数方程为：2cos x y αα
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极
点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；
(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.
9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l
的参数方程为1221122
x x t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A
的极坐标为24π⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .
（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.
10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x t
y t
=⎧⎨
=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=
与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。

（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

11．已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲
线C 上的点按坐标变换13
12
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '．（1）求曲线C '的普通方程；
（2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程．
12．已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+-=t y t x 5425
3（t 为
参数）.
（I ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是,M N 为曲线C 上一动点，求MN 的最大值.
13．已知曲线C:ρsin(θ+)=,曲线P:ρ2
-4ρcos θ+3=0,
(1)求曲线C,P 的直角坐标方程.(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A,B,求|AB|.
14．极坐标与参数方程： 已知点P
是曲线2cos ,
:(,
x C y θθπθπθ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩为参数，2)
上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为
3
π
，求点P 的直角坐标． 15．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨
⎧-=-=2
cos 3sin 32θα
y x ，（其中α为参
数，R ∈α），在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，曲线2C
的极坐标方程为cos()4
a π
ρθ-
=．
（1）把曲线1C 和2C 的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线1C 上恰有三个点到曲线2C 的距离为
3
2
，求曲线2C 的直角坐标方程． 16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C
的参数方程为3cos 13sin x y θ
θ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），
以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()06
π
ρθ+
=.
⑴写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程；⑵求圆C 截直线l 所得的弦长. 17．圆O 1和O 2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，． （1）把圆O 1和O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过圆O 1和O 2交点的直线的直角坐标方程．
18．已知曲线C 1的参数方程为(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 19．极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴。

已知曲线1C 的极坐标方
程
为
θ
ρcos 2=，曲线
2
C 的参数方程为
)),0[(sin 3cos 2πααα
α
∈⎩⎨
⎧+=+=为字母常数且为参数，其中t t y t x 求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； 当曲线1C 和曲线2C 没有公共点时，求α的取值范围。

20．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C 1的极坐标方程为：=2cos()3πρθ-，曲线C 2的参数方程为：4cos cos 3
(0)2sin sin 3x t t y t πααπα
⎧
=+⎪⎪>⎨⎪=+⎪⎩
为参数，，点N 的
极坐标为(4)3
π
，．（Ⅰ）若M 是曲线C 1上的动点，求M 到定点N 的距离的最小值；
（Ⅱ）若曲线C 1与曲线C 2有有两个不同交点，求正数t 的取值范围．
21．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐极系，并在两种坐极系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为4
π
θ=
（R ∈ρ）,它与曲线
⎩
⎨
⎧+=+=ααsin 22,
cos 21y x （α为参数）相交于两点A 和B,求AB 的长． 22．选修4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩
⎨⎧==ααsin cos 3y x ，（α为参数），以原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4
sin(=+
π
θρ．
（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值． 23．已知曲线1C 的极坐标方程为82cos 2=θρ，曲线2C 的极坐标方程为6
π
=θ，曲线1C 、2C 相交于A 、B 两点. （R ρ∈）
（Ⅰ）求A 、B 两点的极坐标； （Ⅱ）曲线1C 与直线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 2123
1（t 为参数）分别相交于N M ,两点，求线段MN 的长度.
24．在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2
:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为
:2,4x y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
直线l 与曲线C 分别交于,M N
(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值. 25．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为
56
π.
(1)写出直线l 的参数方程；
(2)设此直线与曲线C ：24x cos y sin θθ⎧⎨
⎩
＝，
＝ (θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.
26．平面直角坐标系中，直线l
的参数方程是x t
y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极
点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为
2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=．
(Ⅰ)求直线l 的极坐标方程；(Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||AB ．
27． 已知直线l
的参数方程为12(1x t t y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩为参数), 曲线C
的极坐标方程为4πρθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
,直线l 与曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P . （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）求
11
PA PB
+的值. 28．已知曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为4,5
325x t y t
⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t
为参数）．（1）判断1C 与2C 的位置关系；（2）设M 为1C 上的动点，N 为2C 上的动点，求MN 的最小值.
29．已知曲线1C 的参数方程为431x t
y t =⎧⎨=-⎩
（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点
为P ，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程
为ρ=
（1）求证：曲线1C 的极坐标方程为3cos 4sin 40ρθρθ--=；
（2）设曲线1C 与曲线2C 的公共点为,A B ，求PA PB ∙的值.
30．已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直
线l
的参数方程为5212
x t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设曲线C 与直线l 相交于P Q 、两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积.
31．已知直线l 过点(0,4)P -，且倾斜角为
4
π
，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 和圆C 相交于A 、B ，求||||PA PB ⋅及弦长||AB 的值．
32．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为112x t y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C
的方程为ρθ=． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P 的直角坐标为(1,0)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值． 33．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的
长度单位．已知：直线l 的参数方程为
1122
x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数）， 曲线C 的极坐
标方程为（1＋sin 2
θ）ρ2
＝2．
（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若点P 为（1，0），求
2
2
11AP
BP
+
34．在直角坐标系xoy 中，以原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已
知曲线
1
C 的极坐标方程为
22
21sin ρθ
=
+，直线l 的极坐标方程
为ρ=
．（Ⅰ）写出曲线1C 与直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设Q 为曲线1C 上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．
35．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为：2cos (sin x t t y t α
α
=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数，其中
0)2π
α<<
，椭圆M 的参数方程为2cos (sin x y β
ββ
=⎧⎨=⎩为参数)，圆C 的标准方程为()
2
211x y -+=.（1）写出椭圆M 的普通方程；
（2）若直线l 为圆C 的切线，且交椭圆M 于,A B 两点，求弦AB 的长.
36．已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-．以极点为原点，极轴为x 轴的
正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=-+⎩（t 为参数）．
（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l 和曲线C 相交于,A B
两点，且AB =l 的斜率．
37．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为为参数）
t t y t x (,2,
22⎩
⎨⎧+-=+=,在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的方程为θ
ρ2
sin 312+=
.
（1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；
（2）（2）若A 、B 分别为曲线1C 、2C 上的任意点，求AB 的最小值.
38．已知在直角坐标系x y O 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），
在极坐标系（与直角坐标系x y O 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半
轴为极轴）中，直线l
的方程为sin 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长． 39．已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴
为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩
⎨
⎧=+=αα
是参数)．
（1）写出曲线C 的参数方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，求直线l 的倾斜角α的值． 40．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴，建立极坐标系.
设曲线⎩
⎨⎧==αα
sin cos 3y x C ：（α为参数）； 直线4)sin (cos =+θθρ：l .
（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.
41．在直角坐标系xoy 中，直线l
的参数方程为1
2 (1x t t y ⎧⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）
，曲线C 的参
数方程为2cos (2sin x y θ
θθ=⎧⎨=⎩
为参数）.（Ⅰ）将曲线C 的参数方程转化为普通方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，试求线段AB 的长.
42．在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲
线的极坐标方程为，直线的参数方程为: （为参数），两曲线相交于两点. 求：（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若求的值.
xoy O x C 2
sin 4cos ρθθ=
l 22
42
x y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
t ,M N C l (2,4)P --PM PN +
43在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐
标系 的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的
极坐标方程为．直线与曲线
交于两点，求线段AB 的长.
xoy
l 12x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩t xOy O Ox C 2cos()4
π
ρθ=-l C ,A B
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参考答案
1．(Ⅰ) 2
8y x =；（Ⅱ）32
||3
AB =. 【解析】
试题分析：本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长.
试题解析：（Ⅰ）由2
sin 8cos ρθθ=，得22sin 8cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程
为2
8y x =．
5分
（Ⅱ）将直线l 的方程代入2
8y x =，并整理得，2316640t t --=，12163t t +=，1264
3
t t =-．
所以1232
||||3
AB t t =-==
． 10分
考点：1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理. 2．（1）2
2
1
11()()2
2
2
x y -+-=；（2）14.
【解析】
试题分析：（1）由参数方程的概念可以写成l 的参数方程为1cos 26
1sin
6x t y t ππ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，化简为
12112
x y t
⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩ (t 为参数)
；在)4πρθ=-两边同时乘以ρ，且ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴2
2
1
11
()()2
2
2
x y -+-=
.（2）在l
取一点，用参数形式表示12112
x y t
⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩，再代入22111()()222x y -+-=，得到t 2＋12t －14＝0，|PA|·|PB|＝|t 1t 2|
＝
14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14
. 试题解析：(1)直线l 的参数方程为1cos 261sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,
即12112
x y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)
由)4
π
ρθ=
-,得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
∵ρ2
＝x 2
＋y 2
，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴2
2
111()()2
2
2
x y -+-=
. (2)
把122112
x y t
⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩代入22111()()222x y -+-=. 得t 2
＋
12t －14＝0，|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14
. 考点：1.参数方程的应用；2.极坐标方程与直角坐标方程的转化.
3．（I
）22
-；(Ⅱ
)【解析】(I)把圆C 的极坐标方程利用2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==化成普通方程，再求其圆心坐标.
（II ）设直线上的点的坐标
为+,然后根据切线长公式转化为关于t 的函数来研究其最值即可.
解：（I ）θθρsin 2cos 2-= ，
θρθρρsin 2cos 22-=∴， ………（2分）
02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分）
即1)22()22(22=++-
y x ，)2
2,22(-∴圆心直角坐标为．…………（5分） （II ）：直线l 上的点向圆C 引切线长是
6224)4(4081)242
222()2222(
2222≥++=++=-+++-t t t t t ， …………（8分） ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 …………（10分）
∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- …………（10分）
4．（1）2
2cos 2sin 20ρρθρθ-+-=（2）40x y --= 【解析】
试题分析：(1) 先化参数方程为普通方程，然后利用平面直角坐标与极坐标互化公式：
222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===即可；（2）先把Q 点坐标化为平面直角坐标，根据圆
的相关知识明确：当直线l ⊥CQ 时，MN 的长度最小，然后利用斜率公式求出MN 斜率. 试题解析：(1)圆C 的直角坐标方程为2
2
2
2
(1)(1)42220x y x y x y -++=⇒+-+-=，2分
又2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ+=== 4分
∴圆C 的极坐标方程为2
2cos 2sin 20ρρθρθ-+-= 5分
（2）因为点Q 的极坐标为7
)4
π，所以点Q 的直角坐标为（2，-2）7分 则点Q 在圆C 内，所以当直线l ⊥CQ 时，MN 的长度最小 又圆心C （1，-1），∴2(1)
121
CQ k ---=
=--，
直线l 的斜率1k = 9分 ∴直线l 的方程为22y x +=-，即40x y --= 10分
考点：（1）参数方程与普通方程；（2）平面直角坐标与极坐标；（3）圆的性质. 5．解：（1）∵点M 的直角坐标是)3,0(，直线l 倾斜角是 135， …………（1分）
∴直线l 参数方程是⎩⎨⎧+==
135sin 3135cos t y t x ，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 2232
2
， ………（3分） )4
sin(22π
θρ+=即2(sin cos )ρθθ=+，
两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+，曲线C 的直角坐标方程
曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；………………（5分）
（2）⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧+=-
=t y t x 22322
代入02222=--+y x y x ，得03232=++t t
∵06>=∆，∴直线l 的和曲线C 相交于两点A 、B ，………（7分） 设03232=++t t 的两个根是21t t 、，321=t t ，
∴||||MB MA ⋅3||21==t t ． ………………（10分）
【解析】略 6．
曲线2C 的极坐标方程为θρsin 8=，它们与射线3
π
θ=
交于A 、B 两点的极径分别是
343
sin
8,323
sin
421====π
ρπ
ρ，因此，3221=-=ρρAB
点评：本题考查坐标系与参数方程的有关内容，求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解（关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系） 【解析】略
7．（1）点M 的极坐标为(2,0)，点N 的极坐标为π2⎫
⎪⎪⎝⎭
;（2） 0=θ，ρ∈R ．
【解析】
试题分析：（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C 的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2
=x 2
+y 2
，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出点M 的直角坐标为(2,0)，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OM 极坐标方程即可．
解：（1）由πcos =13ρθ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
，
得
1
2
ρcos θsin θ＝1，
∴曲线C 的直角坐标方程为
1=122
x y +，
即x －2＝0．
当θ＝0时，ρ＝2，∴点M 的极坐标为(2,0)；
当π
=2θ时，=ρN 的极坐标为π32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
．
（2）由（1）得，点M 的直角坐标为(2,0)，点N 的直角坐标为0,
3⎛
⎝⎭
， 直线OM 的极坐标方程为0=θ，ρ∈R ．
考点：1．极坐标和直角坐标的互化；2．曲线的极坐标方程．
8．(1) 2
21124x y ⎛
⎫-+= ⎪⎝⎭
;(2) min 12PQ =
【解析】
试题分析：(1)把222
cos ,x y ρθρ==+代入曲线C 2是极坐标方程cos ρθ=中，即可得到曲线C 2的直角坐标方程；
(2)由已知可知P （ααsin 2,cos 2）,)0,2
1(2C ，由两点间的距离公式求出2PC 的表达式，再根据二次函数的性质，求出2PC 的最小值，然后可得min PQ =2PC min －
12
. 试题解析： (1)θρcos = ， 2分
22x y x +=
2
2
1124x y ⎛⎫-+= ⎪
⎝⎭
. 4分 (2)设P （ααsin 2,cos 2）,)0,2
1
(2C
2PC === 6分
1
cos 2
α∴=
时，2min 2PC =， 8分
min PQ =
. 10分 考点：1.极坐标方程和直角坐标方程的互化；2.曲线与曲线间的位置关系以及二次函数的性质.
9．（1）()2
211x y -+=；（2）1
2
. 【解析】
试题分析：（1）在极坐标方程2cos ρθ=的两边同时乘以ρ，然后由2
2
2
x y ρ=+，cos x ρθ=即可得到圆C 的直角坐标方程；
（2）将直线l 的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去x 、y 得到有关t 的参数方程，然后利用韦达定理求出AP AQ ⋅的值.
（1）由2cos ρθ=，得2
2cos ρρθ=
222x y ρ=+，cos x ρθ=，
222x y x ∴+=即()2
211x y -+=，
即圆C 的直角坐标方程为()2
211x y -+=；
（2）由点A
的极坐标4π⎫⎪⎪⎝⎭
得点A 直角坐标为11,22⎛⎫
⎪⎝⎭，
将1211y 22
x t
⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩代入()2211x y -+=消去x 、y
，整理得2102t --=， 设1t 、2t
为方程2
102t -
-=的两个根，则121
2
t t =-， 所以1212
AP AQ t t ⋅==
. 考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理
【答案】（Ⅰ）cos cos 2sin sin 2x y αα
αα=+⎧⎨=+⎩
,(α为参数,02απ<<)（Ⅱ）过坐标原点
【解析】（Ⅰ）由题意有,(2cos ,2sin )P αα, (2cos 2,2sin 2)Q αα,
因此(cos cos 2,sin sin 2)M αααα++,
M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αα
αα=+⎧⎨
=+⎩
,(α为参数,02απ<<).
（Ⅱ）M 点到坐标原点的距离为
2)d απ==<<，
当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点.
本题第（Ⅰ）问，由曲线C 的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点P 的坐标,求出答案; 第（Ⅱ）问，由互化公式可得.对第（Ⅰ）问，极坐标与普通方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.
【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.
11．（1）2
2
1x y +=；（2）223
1()24
x y -+=. 【解析】
试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式等基础知识，考查学生
的转化能力、分析能力、计算能力.第一问，将曲线C 的坐标直接代入13
12
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩中，得到曲
线C '的参数方程，再利用参数方程与普通方程的互化公式，将其转化为普通方程；第二问，设出P 、A 点坐标，利用中点坐标公式，得出00,x y ，由于点A 在曲线C '上，所以将得到的
00,x y 代入到曲线C '中，得到,x y 的关系，即为AB 中点P 的轨迹方程.
试题解析：（1）将3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ 代入1
3
12
x x y y
⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ，得C '的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
∴曲线C '的普通方程为2
2
1x y +=． 5分
（2）设(,)P x y ，00(,)A x y ，又(3,0)B ，且AB 中点为P
所以有：0023
2x x y y
=-⎧⎨
=⎩
又点A 在曲线C '上，∴代入C '的普通方程22
001x y +=得2
2
(23)(2)1x y -+=
∴动点P 的轨迹方程为2231
()24
x y -+=
． 10分 考点：参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式.
12．（1）22
20x y y +-=；（2
1.
【解析】
试题分析：（1）根据222
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==可以将极坐标方程转化为坐标方程，（2）将直线的参数方程转化成直角坐标方程，再根据平时熟悉的几何知识去做题. 试题解析：（1）θρsin 2=两边同时乘以ρ得2
2sin ρρθ=，则2
2
2x y y +=
曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为：2
2
20x y y +-=
（2）直线l 的参数方程化为直角坐标方程得：4
(2)3
y x =-
- 令0y =得2x =，即(2,0)M ，又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，
半径1r =
，则MC =
1MN MC r ∴≤+=.
考点：1.极坐标与直角坐标的转化，2.参数方程与直角坐标方程的转化. 13．(1) x 2
+y 2
-4x+3=0 (2)
【解析】(1)由ρsin(θ+)=,得
ρ[sin θ·(-)+cos θ·]=, ∴ρcos θ-ρsin θ-1=0, ∴x-y-1=0,
由ρ2
-4ρcos θ+3=0, 得x 2
+y 2-4x+3=0.
(2)曲线P 表示为(x-2)2
+y 2
=1表示圆心在(2,0),半径r=1的圆, 由于圆心到直线C 的距离为d==, ∴|AB|=2
=
.
14
．
(
【解析】
试题分析：利用22
cos sin 1θθ+=消去参数，得曲线C 的直角坐标方程为
22
1,(0)43x y y +=≤，注意参数对范围的限制. 直线OP
方程为y =,
联立方程解得，
5x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（舍去）
，或,5
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点P
的直角坐标为().55-- 解：由题意得，曲线C 的直角坐标方程为22
1,(0)43x y y +=≤， （2分）
直线OP
方程为y =，---------------（4分）
联立方程解得，,5x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（舍去）
，或5
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故点P
的直角坐标为( （10分）
考点：参数方程
15．（1）曲线1C 的直角坐标方程为：9)2()2(2
2=++-y x ；曲线2C 的直角坐标方程为
a y x 2=+；
（2）曲线2C 的直角坐标方程为2
2
3±
=+y x . 【解析】
试题分析：（1）对于曲线1C ，把已知参数方程第一式和第二式移向，使等号右边分别仅含
αsin 3、αcos 3，平方作和后可得曲线1C 的直角坐标方程；对于曲线2C ，把⎩⎨
⎧==θρθρs i
n c o s y x 代入极坐标方程cos()4
a π
ρθ-
=的展开式中即可得到曲线2C 的直角坐标方程.
（2）由于圆1C 的半径为3，所以所求曲线2C 与直线0=+y x 平行，且与直线0=+y x 相距
23时符合题意.利用两平行直线的距离等于2
3
，即可求出a ，进而得到曲线2C 的直角坐标方程.
试题解析：（1）曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=2cos 3sin 32θαy x ，即⎩⎨⎧+=-=2
cos 32sin 3y x
θα，将两式子平
方化简得，
曲线1C 的直角坐标方程为：9)2()2(2
2=++-y x ；
曲线2C 的极坐标方程为a =+=
-
θρθρπ
θρsin 2
2
cos 22)4
cos(，即a y x =+2
2
22， 所以曲线2C 的直角坐标方程为a y x 2=
+.
（2）由于圆1C 的半径为3，故所求曲线2C 与直线0=+y x 平行，且与直线0=+y x 相
距23时符合题意.由
232
2=
a ，解得2
3
±=a .故曲线2C 的直角坐标方程为2
2
3±
=+y x . 考点：圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．
16．（1）03=-y x
和22
((1)9x y +-=；（2
）
【解析】
试题分析：（1）圆的参数方程化为普通方程，消去参数即可，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用两者坐标之间的关系互化，此类问题一般较为容易；（2）求直线被圆截得的弦长，一般不求两交点的坐标而是利用特征三角形解决.
试题解析：解：⑴消去参数θ，得圆C
的普通方程为：22
((1)9x y +-= ；
由cos()06
π
ρθ+
=，得
0sin 2
1
cos 23=-θρθρ， ∴直线l 的直角坐标方程为03=-y x . 5分
⑵圆心到直线l 的距离为()11
31
332
2
=+-⨯=
d ，
设圆C 截直线l 所得弦长为m ，则
22192
22=-=-=d r m
， 24=∴m . 10分
考点：极坐标方程和参数方程.
17．（1）2
2
40x y x +-=为圆1O 的直角坐标方程，2
2
40x y y ++=为圆2O 的直角坐标方程． （2）y x =-
【解析】(I)根据c o s
x ρθ=，sin y ρθ=把极坐标方程化成普通方程. （II ）两圆方程作差，就可得到公共弦所在直线的方程.
解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得2
4cos ρρθ=．所以2
2
4x y x +=．
即22
40x y x +-=为圆1O 的直角坐标方程． 同理22
40x y y ++=为圆2O 的直角坐标方程．
（Ⅱ）由22
22
4040
x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，解得1100x y =⎧⎨=⎩，
，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即圆1O ，圆2O 交于点(00)，
和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．
18．(1)
(2)(
,
),(2,
)
【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程 ,
即C 1:.
将代入得
.
所以C 1的极坐标方程为.
(2)C 2的普通方程为 .
由
解得或
所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(, ),(2, )
19．（1）曲线1C ：0222
=-+x y x
，曲线0tan 23)(tan :2=-+-ααy x C ；
)
,2
()6,0[),0[3
3tan 1
1
tan |3tan |0tan 23)(tan :)2(2
2ππ
παπαααααα⋃∈∴∈<
∴=>++-=
∴=-+- r d y x C
【解析】本试题主要是考查了极坐标与参数方程的综合运用。

（1）利用方程由θρcos 2=得θρρcos 22
=，结合极坐标与直角坐标的关系式得到结论。

（2）因为曲线1C 和曲线2C 没有公共点时，表明了圆心到直线的距离大于圆的半径，可知角的范围。

解析：（1）由θρcos 2=得θρρcos 22
=
所以x y x
222
=+，即曲线1C ：0222=-+x y x
曲线0tan 23)(tan :2=-+-ααy x C …………………………………4分
)
,2
()6,0[),0[3
3tan 1
1
tan |3tan |0tan 23)(tan :)2(2
2ππ
παπαααααα⋃∈∴∈<
∴=>++-=
∴=-+- r d y x C ………………………………8分
………………………………………10分 20．（Ⅰ）2；
（Ⅱ）1,1)．
【解析】
试题分析：分别将极坐标方程与参数方程转化为普通方程，根据点与圆的几何意义求MN 的最小值；
根据曲线C 1与曲线C 2有有两个不同交点的几何意义，求正数t 的取值范围． 试题解析：
解：（Ⅰ）在直角坐标系xOy
中，可得点(2,N ，曲线1C
为圆2
2
112x y ⎛⎛
⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，
圆心为11,2O ⎛ ⎝⎭
，半径为1，
∴1O N =3，
∴MN 的最小值为312-=． （5分）
（Ⅱ）由已知，曲线1C 为圆2
2
112x y ⎛⎛
⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，
曲线2C 为圆222(2)((0)x y t t -+-=>，圆心为2(2,
O ，半径为t ，
∵曲线1C 与曲线2C 有两个不同交点，
11,0t t t -<+>∴，
11t <，
∴正数t 的取值范围是1,1)． （10分）
考点：极坐标与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化． 21．AB ＝14 【解析】
试题分析：将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程为x y =，将曲线的参数方程转化为直角坐标方程为2
2
)2()1(-+-y x ，问题转化为求直线与圆的相交弦长问题，可解出两点，
由两点间距离公式求弦长，也可先求出弦到直线的距离2
2
，再根据弦心距，半径，弦构成的直角三角形求距离．
解：坐标方程为4
π
θ=
（R ∈ρ）对应的直角坐标方程为x y =，曲线⎩
⎨
⎧+=+=ααsin 22,
cos 21y x （α
为参数）对应的普通方程为2
2
)2()1(-+-y x ＝４．圆心（１，２）到直线x y =的距离
为
2
2
，由半径R=2知弦长为14．即AB ＝14． 考点：1．极坐标方程与直角坐标方程的转化；2．参数方程与普通方程的转化；3．圆与直线的位置关系．
22．（1）13
22
=+y x ，08=-+y x ；（2）23 【解析】
试题分析：（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若y x ,有范围限制，要标出y x ,的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式θρcos =x 及
θρsin =y 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如
θρcos ，θρsin ，2ρ的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及
方程的两边平方是常用的变形方法.
试题解析：（1）由曲线1C ：⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x 得⎪⎩⎪⎨⎧==α
αsin cos 3y x
即：曲线1C 的普通方程为：13
22
=+y x 由曲线2C ：24)4
sin(=+
π
θρ得：
24)cos (sin 2
2
=+θθρ 即：曲线2C 的直角坐标方程为：08=-+y x 5分
（2） 由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点，
椭圆上的点)sin ,cos 3(ααP 到直线08=-+y x 的距离为
2
8
)3sin(228sin cos 3-+=
-+=
π
αααd 所以当1)3
sin(=+
π
α时，d 的最小值为23 10分
考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、点到直线的距离公式. 23．（Ⅰ）：)6,4(),6,4(π-πB A 或)6
7,4(π
B ；
（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由2cos 28
6ρθπ
θ⎧=⎪
⎨=
⎪⎩
得：2cos 83πρ=即可得到ρ .进而得到点,A B 的极坐标.
（Ⅱ）由曲线1C 的极坐标方程82cos 2=θρ化为()
222cos sin 8ρθθ-=,即可得到普通方程228x y -=.将直线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21231代入228x y -=,
整理得2140t +-= .进而得到MN .
试题解析：（Ⅰ）由⎪⎩
⎪⎨⎧π
=
θ=θρ68
2cos 2得：83cos 2
=πρ 162=ρ∴，即4±=ρ 3分 所以A 、B 两点的极坐标为：)6,4(),6,4(π-πB A 或)6
7,4(π
B 5分
（Ⅱ）由曲线1C 的极坐标方程得其普通方程为22
8x y -= 6分 将直线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 2123
1代入228x y -=，整理得014322=-+t t 8分
所以1721
)
14(4)32(||2=-⨯-=
MN
考点：1、点的极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程化成普通方程． 24．(1)22,2y ax y x ==- (2)1a =
【解析】(1)对于直线l 两式相减，直接可消去参数t 得到其普通方程， 对于曲线C ，两边同乘以ρ,再利用222
,c o s ,s i n x y x y ρρθρθ=+==可求得其普通方程.
（2）将直线
l
的参数方程代入曲线
C
的普通方程可知，
212212112||||||,||||,||||PM PN t t MN t t t t t t ==--=,借助韦达定理可建立关于a 的方程，
求出a 的值.
25．（1
）53362513362x tcos t y tsin t
ππ⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
＝－＋＝－－，＝＋＝＋（2）11613 【解析】(1)直线l
的参数方程是53362513362x tcos y tsin t ππ⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
＝－＋＝－－，＝＋＝＋ (t 为参数)． (2)消去曲线C 中的参数，得4x 2
＋y 2
－16＝0，把直线的参数方程代入曲线C 的普通方程，得
432t ⎛
⎫--
⎪
⎪⎝⎭2＋132t ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭2＝16，化简为13t 2
＋12(1＋
)t ＋116＝0. 由t 的几何意义，知|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|， ∴|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝
116
13
. 26．(Ⅰ)()3
π
θρR =
∈；(Ⅱ
【解析】
试题分析：(Ⅰ)先消去参数t 求得直线的普通方程，然后将极坐标与直角坐标的关系式
cos sin ρθ
ρθx y =⎧⎨
=⎩
代入直线方程，根据特殊角的三角函数值即可求解；(Ⅱ)直线的极坐标方程
与曲线的极坐标方程联立方程组，消去一个未知数，求得2
30ρ--=，根据方程的根与系数的关系以及两点间的距离公式求解.
试题解析：(Ⅰ)消去参数得直线l
的直角坐标方程为：y =. 2分
由cos sin ρθ
ρθx y =⎧⎨
=⎩
代入得，sin cos ρθθ=，
解得()3
π
θρR =
∈.
(也可以是：3
π
θ=
或()403
π
θρ=
≥.) 5分 (Ⅱ)由2222cos sin 2sin 303ρθρθρπ
θθ+⎧=
--=⎪⎨⎪⎩
得，2
30ρ--=， 设1,3πρA ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，2,
3πρB ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，则
12ρρAB =-==. 10
分
考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.两点间的距离公式；3.极坐标方程的简单应用；4.特殊角的三角函数值
27．（1）()()22
112x y -+-=
（2【解析】
试题分析：（1）由2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将极坐标方程化为直角坐标方程
()()
22
112x y -+-=（2）
根据直线参数方程几何意义得121212
1111t t PA PB t t t t -+=+=，
因此将直线l 的参数方程
为12(12
x t t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩为参数), 代入曲线C 的普通方程是
()()
22
112x y -+-=中, 得210t t --=，再结合韦达定理得结果
试题解析：（1）利用极坐标公式, 把曲线C
的极坐标方程4πρθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
化为
22sin 2cos ρρθρθ=+,所以曲线C 的普通方程是2222x y y x +=+,即
()()
22
112x y -+-=.
（2）直线和曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P ,
把直线的参数方程12(1x t t y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩为参数) 代入曲线C 的普通方程是()()2
2
112x y -+-=中, 得210t t --=,
(1212112121211111
,1
t t t t t t t PA PB t t t t +=-⎧∴∴+=+==
=⎨=-⎩
考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义 28．(1)相离；(2)5
6. 【解析】
试题分析：(1)借助题设条件将极坐标方程和参数方程化为直角坐标方程求解；(2)借助题设条件运用数形结合的思想求解. 试题解析：
（1）222
1:2cos ,20C x y x ρρθ=∴+-=,所以1C 的普通方程为()2
211x y -+=,
24
:
,34823
x C x y y -=∴=--+,所以2C 的普通方程为3480x y ++=,圆心()11,0C 到3480x y ++=的距离13811
1,55
d C +=
=>∴与2C 相离.。