2007年全国高中数学联赛湖北省预赛

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3. B.
( 1) 证明 : Q 是线段 MN 的中点 ; (2) 分别过点 M 、 N 作双曲线的切线 l 1 、
l 2 ,证明 : 三条直线 l 、 l1 、 l 2 相交于同一点 ;
根据题设条件可知 π π π 8 f( ) =f(+ 3π) = f ( - ) 3 3 3
= - f( 4. C.
6. 使得 3 + 81 是完全平方数的正整数 ) 个. n 有 ( (A) 0 (B) 1 ( C) 2 (D) 3
3 2 AB , AP = AD + BC . 4 5
S △A PD ). 则 = ( S △ABC
二、 填空题 ( 每小题 9 分 ,共 54 分)
7 ( C) 15 8 (D) 15 7. 设 [ x ]表示不大于 x 的最大整数 ,集合
(3) 设 P 为直线 l 上一动点 , 过 P 作双
π π 3 ) = - sin = . 3 3 2
曲线的切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B ,证明 : 点 Q 在直线 AB 上 .
14. 已知数列{ an }满足
an + 1 =
如图 1 , 易知 AC ⊥平 面 D1 B 1 BD . 设
5. 有编号分别为 1 ,2 ,3 ,4 ,5 的 5 个红球
和 5 个黑球 ,从中取出 4 个 . 则取出的球的编 ). 号互不相同的概率为 (
(A) 5 21
n
2. 设 D 为 △ABC 的边 AB 上一点 , P 为
(B)
2 7
( C)
1 3
(D)
8 21
△ABC 内一点 ,且满足
AD =
1 x < 2 < 8 的解为 - 3 < x < 3 , 8
x - 2[ x ] = 3 ,
2
n
因此 , a n + 1 - a n = 于是 , a n = a1 +
9112.
4 2 2 + ( n - 1) = ( n + 1) . 3 3 3
2 1 (2 + 3 + …+ n) = n ( n + 1) . 3 3
ax + bx , 存在一
2
的最小值为
11. 对于函数 f ( x ) =
个正数 b , 使得 f ( x ) 的定义域和值域相同. 则非零实数 a 的值为
. 12. 已知双曲线的中心在原点 ,焦点在坐
+
t
3
= -
4 . 3
解得 t1 = - 1 , t 2 = - 3. 所以 ,1 + log3 x = - 1 或 1 + log3 x = - 3. 故方程的两根分别为
所以 , B = ( - 3 ,3) . 当 x ∈A ∩B 时 ,
- 3 < x < 3.
当且仅当
故 [ x ] 只可能取值 - 3 , - 2 , - 1 ,0 ,1 ,2.
2 若 [ x ] ≤ - 2 , 则 x = 3 + 2 [ x ] < 0 , 没有
| z1 | + | z2 | + | z3 | 取得最小值 .
4 名 ,可以被两名教师全部挑选 .
若 s + 1 < t ,则 as 、 as + 1 、 at 满足
as > as + 1 > at ; s + 1 = t .
因为 m ≥5 , 所以 , 要么在 as 、 as + 1 的前 面 ,要么在 as 、 as + 1 的后面至少有两个数 . 不妨设在 as 、 as + 1 的后面有两个数 as + 2 、
z2 = ( 3 + 2 a) + ( 2 + 3 b) i , z3 = ( 3 - a ) + ( 3 - 2 b) i ,
为 1 的正方体 , O1 是底面 A 1 B 1 C1 D1 的中 心 , M 是棱 BB 1 上的点 ,且 S △DBM ∶ S △O1 B 1 M =
). 2∶ 3. 则四面体 O1 ADM 的体积为 (
联结 PD ,则 DP =
.
2 BC . 5
三、 解答题 ( 每小题 20 分 ,共 60 分) 13. 过点 Q ( - 1 , - 1) 作已知直线 l ∶ y=
1 x 2 x + 1 的平行线 , 交双曲线 - y = 1 于点 4 4
M、 N.
2
所以 , DP ∥BC , ∠ADP = ∠B . 1 | AD| ・ | DP| sin ∠ ADP S △APD 2 3 故 = = . S △ABC 1 10 | AB | ・ | BC| sin B 2
=
S △DBM S △O1 B 1 M
图1
≥( 3 ) n an . 2
( 2) 若 a1 = 1 ,证明 : 当 n ≥ 5 时 ,有
k =1
BD ・ BM BM 2 =2 × = , O1 B 1 ・ B1 M B1 M 3 BM 1 = . B1 M 3
6
n
1
ak
< n - 1.
所以 ,
15. 求所有的正整数 n ,使得 n + 36 是一
2 , an + 1 - an = 3
2 ( an + 1 + an ) , 3
当 n≤ 4 时 , 易知 3 + 81 不是完全平方 数 . 故设 n = k + 4 ( k ∈N+ ) . 则
n
又由递推关系式易知数列{ an }是单调递 增数列 ,则 an + 1 - an - 1 ≠ 0. 故 3 ( an + 1 - 2 an + a n - 1 ) = 2 ] ( an + 1 - an ) - ( an - a n - 1 ) = 2 . 3 所以 ,数列{ an + 1 - an } 是以 a2 - a1 =
4 10
方得 3 ( an + 1 - an ) = 2 ( an + 1 + an ) . 又 3 ( an - an - 1 ) = 2 ( an + an - 1 ) ,两式相 减得
3 ( an + 1 - an - 1 ) ( an + 1 - 2 a n + a n - 1 ) = 2 ( an + 1 - an - 1 ) .
2 为首项 、 为公差的等差数列 . 3 4 3
3 + 81 = 81 ( 3 + 1) .
n
k
因为 3 + 81 是完全平方数 , 而 81 是平 方数 ,所以 ,一定存在正整数 x ,使得
x - 1 = ( x + 1) ( x - 1) . k
n
2
故 x + 1、 x - 1 都是 3 的方幂 . 又两个数 x + 1 、 x - 1 相差 2 , 则只可能 是 3 和 1. 从而 , x = 2 , k = 1. 因此 ,存在唯一的正整数 n = k + 4 = 5 , 使得 3 + 81 为完全平方数 . 二、 7. { - 1 , 7}. 因不等式
一、 选择题 ( 每小题 6 分 ,共 36 分) 1. 已知 a 、 b 是方程 log 3 x 3 + log 27 ( 3 x ) =
4 ). 的两个根 . 则 a + b = ( 3 (A) 10 27 (B) 4 81 ( C) 10 81 (D) 28 81 (A) 7 24 (B) 3 16 ( C) 7 48 (D) 11 48
s < t.
其中 , a 、 b ∈R. 当 | z1 | + | z2 | + | z3 | 取得最 中一定有一个成立 . 引用上面的结论 , 当 n = 4 时 , 第一名教 师至少可以挑选 3 名学生 ; 若余下的学生大 于或等于 5 名 , 则第二名教师也至少可以挑 选 3 名学生 ; 这时 ,剩下的学生的数目不超过
相同 ,可以先从 5 个编号中选取 4 个编号 ,有
C5 种选法 . 对于每一个编号 , 再选择球 , 有两
4
种颜色可供挑选 ,所以 ,取出的球的编号互不 相同的取法有 C5 ・ 2 = 80 种 . 故取出的球的
80 8 编号互不相同的概率为 = . 210 21 6. B.
4 4
由 a1 = 求得 a2 = 2.
wwwcnkinet从10个球中取出如果要求取出的球的编号互不相同可以先从5个编号中选取4个编号有对于每一个编号再选择球有两种颜色可供挑选所以取出的球的编号互不相同的取法有故取出的球的编号互不相同的概率为8021081不是完全平方81是完全平方数相差2则只可能81为完全平方数
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中 等 数 学
2007 年全国高中数学联赛湖北省预赛
(A) 3 3 1 1 (B) ( C) (D) 2 2 2 2
则 A ∩B =
8. 数列{ an } 满足
a1 =
2 , an + 1 - an = 3 .
2 ( an + 1 + an ) . 3
则 a2 007 =
4. 已知 ABCD - A 1 B 1 C1 D1 是一个棱长
9. 设复数 z1 = ( 6 - a) + ( 4 - b) i ,
= 1 7 S ・ AO = . 3 △DO1 M 48 811 343 352. 2 ( a n + 1 + a n ) , 两边平 3
2 2 2
2
则 VA 5. D.
O MD 1
由 an + 1 - a n =
2
从 10 个球中取出 4 个 , 不同的取法有
C = 210 种 . 如果要求取出的球的编号互不
个完全平方数 ,且除了 2 或 3 以外 , n 没有其
于是 , BM =
1 3 , B1 M = . 4 4

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A = { x | x - 2[ x ] = 3} , B = { x|
2
3 (A) 10
2 (B) 5
3. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 既是奇函数 又是周期函数 . 若 f ( x ) 的最小正周期是π ,且
1 x < 2 < 8}. 8 .
π π 8 当 x ∈[0 , ) 时 , f ( x ) = sin x ,则 f ( ) 的值 2 3 ). 为 (
O 是底面 ABCD 的中
1 2 a - an + 2 ( n ≥ 1 , n ∈N) . 2 n
( 1) 若 a1 = 4 ,证明 : (i) 当 n ≥ 2 时 ,有 a n + 1 ≥ 2 an ; ( ii ) 当 n ≥ 1 时 ,有 a n + 1
心 , 则 AO ⊥ 平 面 DO1 M . 因
2008 年第 2 期
25
小值时 ,3 a + 4 b =
10. 设 x ∈( 0 ,
y=
.
他的质因数 .
π ) . 则函数 2
参考答案
一、 1. C. 原方程变形为 1 + log3 x 1 4 + = . 1 + log3 x 3 3 令 1 + log3 x = t ,则
1
t
225 2 + 2 4sin x cos x .
2. A. 1 1 10 、 ,其和为 . 9 81 81
标轴上 , 点 P ( - 2 ,0 ) 到其渐近线的距离为
2 6 2 . 若过点 P 作斜率为 的直线交双曲线 3 2
于 A、 B 两点 ,交 y 轴于点 M ,且 PM 是 PA 与
PB 的 等 比 中 项 , 则 双 曲 线 的 半 焦 距 为
as + 3 . 从而 , as > as + 2 > as + 3 与 as + 1 < as + 2 < as + 3
因此 , n 的最小值为 4.
( 李建泉 提供)

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故 a2 007 = 1 343 352. 易求得 z1 + z2 + z3 = 12 + 9 i . 于是 ,
| z1 | + | z2 | + | z3 | ≥ | z1 + z2 + z3 | = 15. 6 - a 3 + 2 a 3 - a 12 = = = 时, 4 - b 2 +3b 3 - 2b 9 7 5 ,b = . 3 4
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中 等 数 学
故 S △DO1 M
= S 四边形 D1 B1 BD - S △DD1 O1 - S △O1 B1 M - S △DBM 7 2 = . 16
若 [ x ] = 0 ,则 x = 3 ,没有符合条件的解 ; 若 [ x ] = 1 ,则 x = 5 ,没有符合条件的解 ; 若 [ x ] = 2 ,则 x = 7 ,解得 x = 7 . 因此 , A ∩B = { - 1 , 7}.
解得 a =
实数解 ; 若 [ x ] = - 1 ,则 x = 1 ,解得 x = - 1 ;
2
故 3 a + 4 b = 12. 10168.

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