五年级最值问题讲义

“最值”问题
在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。

解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和
方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：
1、极端情形；
2、分析推理、
3、枚举比较；
4、估计并构造。

例1、北大新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的20个门，他最多要尝试多少次才能把所有门打开？
例2、如图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，且边长均为2cm.又E点是正方形 ABCD的中心，求两个正方形公共部分（图中阴影部分）的面积S.
【边学边练】
五种颜色不同的信号旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？
例3、如右图所示分布着9个点，以这9个点为端点能构成多少个三角
形？
例4、平面上有101条直线，它们最多有多少个不同的交点？
【边学边练】
将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少
于50个小纸片，至少要画多少条直线?请说明．
例5、某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分.问：此次测验至多有多少种不同的分数？
【边学边练】
一次考试有4道题，100人参加了考试，考试结果，第一题有91人答对，第二题有83人答对，第三题有89人答对，第四题有95人答对，请问四道题全答对的至少有多少人？
例6、5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形？
【边学边练】
三条平行线上分别有2，4，3个点(下图)，已知在不同直线上的任意三个点都不共线．问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？
【课外拓展】
1、满满一杯牛奶，小明先喝了半杯；然后添水加满，之后再喝去半杯；再一次添水加满，最后把它全部喝完．请问小明一共喝了多少杯牛奶多少杯水?
2、乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行．甲每小时走千米，乙每小时走千米．与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，……这只狗就这样往返于甲、乙之间直到二人相遇而止，则相遇时这只狗共跑了多少千米？
3、在前1000个自然数中不是8的倍数的有多少个？
4、设a1，a2，a3，a4，a5，a6是1到9中任意6个不同的正整数，并且a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6。

试用这6个数分别组成2个三位数，使它们的乘积最大。

5、在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。

要求：（1）算式的结果等于37；（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。

那么，这些减数的最大乘积是多少？
一、填空
(1)用 12个边长是 1cm 的小正方形摆一个长方形,你会几种摆法?
①可以摆成长是 ( )厘米,宽是 ( ) 厘米的长方形,即 ( ) ×( )=12。

②可以摆成长是 ( )厘米,宽是 ( )厘米的长方形,即 ( ) ×( ) =12。

③可以摆成长是 ( )厘米,宽是 ( ) 厘米的长方形,即 ( )×( ) =12。

以上所填的都是 12的 ( ) , 12是这些数的 ( )。

(2)如果 a ×b =c (a、 b 、 c 是不为 0的整数 ) ,
那么, c 是( )和( ) 的倍数, a 和 b 是 c 的( )
如果 A、B 是两个整数(B ≠ 0) ,且 A ÷B =2,那么 A 是 B 的( ) ,
B 是 A 的( ) 。

(3)在 1、 6、 7、 12、 14、 49这六个数中,是 7的倍数的数有 ( )
(4) 12的因数有 ( ) ,4的倍数有( ) (从小到大写 5个 ) ,
一个数的倍数的个数是 ( )
(5)在 1, 2, 3, 6, 9, 12, 15, 24中, 6的因数有( ) , 6的倍数有( )
(6)一个数,它的倍数的个数是 ( )个,其中最小的一个因数是( ) ,最大的一个因数是( ) 。

(7) 5的因数有 ( ) , 5的倍数有 ( )(写 5个) , 5既是 5的 ( ) ,又是 5的
( ) 。

二、判断
(1)一个数的因数的个数是无限的,而倍数的个数是有限的 ( )
(2)因为 7×8=56,所以 56是倍数, 7和 8是因数 ( )
(3) 14比 12大,所以 14的因数比 12的因数多 ( )
(4) 1是 1, 2, 3, 4, 5…的因数 ( )
(5)一个数的最小因数是 1,最大因数是它本身。

( )
(6)一个数的最小倍数是它本身 ( )
(7) 12是 4的倍数, 8是 4的倍数, 12与 8的和也是 4的倍数。

( )
三、把下列各数填入相应的地方
4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 32, 36
4的倍数：
36的因数：
四、选择题
(1)属于因数和倍数关系的等式是( )
A 、 2×0.25=0.5 B、 2×25=50 C、 2×0=0
(2)下列各数中,不是 12的倍数的数是( )
A 、 12 B、 24 C、 38 D、 48
(3)下面各数中,不是 60的因数的数是( )
A 、 15 B、 12 C、 60 D、 24
五、应用题
1.有一些糖果，分给8个人或者10个人，正好分完，这些糖果最少有多少颗？
2.有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个地数余3个，5个5个地数余4个，问盘子
里最少有多少个水果？
3.一个数被2除余1，被3除余2，被4除余4，被6除余5，此数最小是几？
4.有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果数和梨子数相同，最多可以装几
盘？每个盘子里苹果和梨各多少个？
5.五年级学生参加植树活动，人数在30-50之间，如果分成3人一组，4人一组，6人一组
或者8人一组都正好分完，问一共有多少学生？
6.中心小学五年级同学，分为6人一组，8人一组，9人一组排队做早操，都刚好分完，
这个年级至少有多少人？
7.数学兴趣小组有24个男同学，20 个女同学，现在要分成小组，每个小组男，女生人数
分别相等，，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？
8.学校合唱团排练时，如果每7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱团有多少人？
9.用每一块长6CM，宽4CM的长方体彩色瓷砖贴在墙壁上，贴成正方形的图案，问：拼
成的正方形的面积最小是多少？
10.有一个电子表，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响
铃又亮灯，请问下一次既响铃又亮灯在几点钟？
11.把37支钢笔和38本书，平均分给几个同学，结果钢笔多一支，书还缺2本，最多有几
个同学？
12.38支钢笔和41本书，平均分给几个学习好的同学，结果钢笔少2支，书多6本，最多
有几个同学？
13.两个整数的最小公倍数为140.最大公因数为4，且小数不能整除大数，求这两个数？
14.两个整数的最小公倍数为180.最大公因数为12，且这两个数不是倍数关系，求这两个
数？
15.有一个数是4，5, 6的倍数，这个数最小是多少？
16.1路车和2路车都在高尔夫站发车，1路车每3分钟发一次车，2路车每5分钟发一次车，
这两路车同时发车以后，至少再过多久又同时发车？
17.甲乙丙三人跑步，甲跑完一圈要3分钟，已跑完一圈要7分钟，丙跑完一圈要6分钟，
三人同时从起点出发，经过多长时间三人再次在起点处相遇？
18.客运站有A,B两趟客车，A车每45分钟发一次车，B车每一小时发一次车，两车同时
有上午6点发车，下一次同时发车是什么时候？
1、甲、乙、丙三个班的同学去公园划船,甲班 49人,乙班 56人,丙班 42人。

把各班同学分别分成若干小组,分乘若干条小船,使每条船上人数相等,最少要多少条船?
2、有三根铁丝,长度分别是 120厘米、 180厘米、 300厘米。

现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余。

每小段最长多少厘米?一共可以截成多少段?
3、兄弟三人在外工作,大哥 6天回家一次,二哥 8天回家一次,小弟 12天回家一次。

兄弟三人同时在十月一日回家,下一次三人再见面是哪一天?
4、三个朋友每人隔不同的天数去图书馆一次,甲 3天一次,乙 4天一次,丙 5天一次。

上次三人是星期二在图书馆相逢的,至少要过多少天才能在图书馆重逢?重逢时是星期几?
5、两个数的最大公因数是 14,最小公倍数是 84。

已知其中一个数是 28,则另一个数是多少?
6、甲数是 28,甲、乙两数的最小公倍数是 168,最大公约数是 4,求乙数。

7、三个连续自然数的最小公倍数是 360,求这三个数。

8、儿子今年 11岁,父亲今年 43岁,几年后父亲的年龄是儿子的 3倍。

9、体育室有乒乓球和羽毛球共 120个,乒乓球借出 20个后,羽毛球的个数是乒乓球的 3倍。

原来有乒乓球和羽毛球各几个?
10、甲乙两列火车同时从相距 960千米的两地相向而行。

甲列车的速度比乙列车慢 40千米,经过 2.4小时后两列火车在途中相遇。

相遇时两列火车各行驶多少千米?
11、师徒两人加工 96个零件。

徒弟先加工 2小时,每小时加工 3个,然后师傅开始加工,每小时加工 12个。

师徒两人还要加工多少小时可以完成任务?
12、大客车和小轿车从甲地开往乙地,大客车每小时行 60千米,比小轿车早出发 2小时,大客车行了 5小时后,小轿车和大客车同时到达乙地。

求小轿车的速度。

13、师徒两人合作加工 143个零件。

徒弟每小时加工 8个,师傅的工作效率比徒弟的 2倍少 2个。

他们需要几小时能完成任务?师徒两人各加工了多少个零件?
14、用 120cm 长的铝合金做两个长方形的镜框,要求每个镜框的长是 18cm ,那么宽应该是多少 cm?
15、食堂买了 8千克黄瓜,付出 15元,找回 1.4元,每千克黄瓜是多少钱?(用方程解答)。