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题一图

答一图

2008年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）

试题参考答案

说明：

1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档

次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、（本题满分50分）

如题一图，ABCD 是圆内接四边形．AC 与BD 的交点为

P ，E 是弧AB 上一点，连接EP 并延长交DC 于点F ，点,G H

分别在CE ，DE 的延长线上，满足E A G F A D ∠=∠，

EBH FBC ∠=∠，求证：,,,C D G H 四点共圆．

[证] 由已知条件知

FAG FAE EAG FAE FAD DAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．

又 180DAE DCE ∠+∠=︒， 所以 180FAG DCE ∠+∠=︒， 从而,,,A F C G 四点共圆，此圆记为1Γ．

同理可证：,,,B F D H 四点共圆，此圆记为2Γ． 点E 在圆1Γ，2Γ内．延长FE 与圆1Γ相交于点I ，则 IP PF AP PC DP PB ⋅=⋅=⋅， 故,,,B F D I 四点共圆．

所以I 在BFD ∆的外接圆上，故I 在2Γ上． 再用相交弦定理：

E C E G E

F E I E ⋅=⋅=⋅，

故,,,C D G H 四点共圆．

二、（本题满分50分）

求满足下列关系式组

2222,

50,

x y z z y z ⎧+=⎨

<≤+⎩

的正整数解组(,,)x y z 的个数．

[解] 令r y z =-，由条件知050r <≤，方程化为

222()2x z r z ++=，即2222x zr r z ++=． （1）

因0y z r -=>，故22222z x y z x =+->，从而z x >． 设0p z x =->．因此（1）化为

22220zp p zr r -+++=． （2）

下分r 为奇偶讨论，

（ⅰ）当r 为奇数时，由（2）知p 为奇数． 令121r r =+，121p p =+，代入（2）得

221111112()10p p zp zr r r +-++++=． （3）

（3）式明显无整数解．故当r 为奇数时，原方程无正整数解．

（ⅱ）当r 为偶数时，设12r r =，由方程（2）知p 也为偶数．从而可设12p p =，代入（2）化简得

2211110p zp zr r -++=． （4）

由（4）式有221111()0z p r p r -=+>，故11p r

>，从而可设11p r a =+，则（4）可化为2211()0r a za r +-+=，

2211220r ar za a +-+=． （5）

因2

1122r z r a a

=++为整数，故212a r ． 又1122()z z x p r a >-==+，因此

2

2

111()2()r a r za r a a ++=>+，得2212a r <，

a ．

因此，对给定的11

,2,,25r =⋅⋅⋅，解的个数恰是满足条件a <的212r 的正因数a 的个数

1()N r ．因212r 不是完全平方数，从而1()N r 为212r 的正因数的个数21(2)r σ的一半．即

211()(2)/2N r r σ=．

由题设条件，1125r ≤≤．而

25以内有质数9个：2，3，5，7，11，13，17，19，23．将25以内的数分为以下八组：：

012341{2,2,2,2,2}A =， 2{23,25,27,211}A =⨯⨯⨯⨯，

223{23,25}A =⨯⨯， 34{23}A =⨯， 25{23}A =⨯，

1{3,5,7,11,13,17,19,23}B =，

222{3,5}B =， 3{35,37}B =⨯⨯，

从而易知

012341()(2)(2)(2)(2)(2)1234515N A N N N N N =++++=++++=， 2()(23)46424N A N =⨯⨯=⨯=， 3()9218N A =⨯=，

4()12N A =， 5()10N A =， 1()3824N B =⨯=， 2()5210N B =⨯=， 3()9218N B =⨯=，

将以上数相加，共131个．因此解的个数共131．

三、（本题满分50分）

设0k a >，1,2,

,2008k =．证明：当且仅当2008

1

1k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：

（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；

（ⅱ）lim n n x →∞

存在；

（ⅲ）20082007

111

n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,

n =．

[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为 2008

111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，

其中00x =．

将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得 111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-+

+-．

由（ⅱ）可设lim n n b x →∞

=，将上式取极限得 112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++- 2008

1122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-++

+∑

2008

1

k k b a =<⋅∑，

因此2008

1

1k k a =>∑．

充分性：假设2008

1

1k k a =>∑．定义多项式函数如下：

2008

1

()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，

则()f s 在[0,1]上是递增函数，且

(0)10f =-<，2008

1

(1)10k k f a ==-+>∑．

因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．

下取数列{}n x 为01n

k

n k x s ==∑，1,2,

n =，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且

1

000

10

1n n

k

n k s s x s s +=-==-∑．