《三角形内角和定理》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】第1课时

第七章平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
第 1 课时教学设计
一、教学目标
1．证明三角形内角和定理，并能运用这些定理解决简单的问题．
2．经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力．
3．在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力．
二、教学重点及难点
重点：理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程．
难点：能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明．
三、教学用具
多媒体课件，三角板、直尺。

四、相关资源
《撕角证明三角形内角和180°》动画，《三角形加辅助线》图片．
五、教学过程
【复习导入】
我们知道三角形内角和等于180°，请回忆这个结论的探索过程.
设计意图：引导学生回顾原来的探究与验证的过程，从探究与验证活动中获取证明的思路.
【合作探究】
你还有什么方法可以达到同样的效果？
参考答案：可以用“两直线平行，同旁内角互补”来说明.
可以通过作辅助线实现移动的效果，例如延长BC到点D，过点C作射线CE∥BA，这样就相当于把∠A移到了∠1的位置，∠B移到了∠2的位置.这里的CD、CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线。

想一想：还有其他方法证明三角形内角和定理吗？
已知：如图，在△ABC中．
求证：△A＋△B＋△C＝180°.
解析：要证明三角形的内角和是180°，需要从涉及180°角的知识去考虑，涉及180°角的知识有：△平角；△邻补角；△两直线平行下的同旁内角．可从这三个方面分别考虑，添加辅助线．
证明：
证法1：(如图△)过点A作PQ△BC，则△1＝△B，△2＝△C(两直线平行，内错角相等)．△△1＋△BAC＋△2＝180°(平角的定义)，
△△B＋△BAC＋△C＝180°(等量代换)．
证法2：(如图△)过点C作CE△AB，则△1＝△A(两直线平行，内错角相等)，△B＋△BCE ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
△△BCE＝△BCA＋△1，
△△B＋△BCA＋△1＝180°(等量代换)，
△∠B＋△BAC＋△A＝180°(等量代换)．
证法3：(如图△)过BC边上的一点P作QP△AC，RP△AB，交AB于Q，交AC于R，则△1＝△B，△2＝△C(两直线平行，同位角相等)．△A＝△BQP＝△QPR(两直线平行，同位角相等，内错角相等)．
△△1＋△2＋△QPR＝180°(平角的定义)，
△△A＋△B＋△C＝180°(等量代换)．
方法总结：三角形内角和定理的证明方法很多，但指导思想都是通过添加辅助线，利用平行线的性质，把三角形三个内角集中起来．
设计意图：鼓励学生寻求多样的证明方法，同时在多样的证明方法中感受共性：将分散的要素集中到一起.
【典例精析】
例如图，在△ABC中，△B=38°，△C=62°，AD是△ABC的角平分线，求△ADB的度数.
解：在△ABC 中， ∠BAC +∠B +∠C =180°(三角形内角和定理）.
△ △B =38°，△C =62°（已知），
∴∠BAC =180°－38°－62°=80°（等式的性质）.
∵ AD 平分∠BAC （已知）,
∴∠BAD =∠CAD=21∠BAC=2
1×80°=40°（角平分线定义）. ∵ △B =38°（已知），∠BAD =40°（已证），
∴∠ADB =180°－38°－40°=102°（等式的性质）.
设计意图：得到三角形内角和定理后，自然应通过简单应用加以巩固.
【课堂练习】
1.求出下列各图中的x 值．
答：x =70，x =60，x =30，x =50. 2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .280° 3.在△ABC 中，如果∠A ＝12∠B ＝12
∠C ，求∠A 、∠B 、∠C 分别等于多少度？ 解析：这是一道利用三角形内角和求各角度的计算题，由已知得∠B ＝∠C ＝2∠A .因此可以先求∠A ，再求∠B 、∠C .
解：∵∠A ＝12∠B ＝12
∠C (已知)， ∴∠B ＝∠C ＝2∠A (等式的性质)．
∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°(三角形的内角和等于180°)，
40
70 x x °x °x °2x °
x °25°45°20°
x °B
A C D 4 1 3 2
E 40° （
∴∠A ＋2∠A ＋2∠A ＝180°(等量代换)．
∴∠A ＝36°，∠B ＝72°，∠C ＝72°.
方法总结：求三角形内角度数时，要充分利用各角之间的关系，用其中一个角表示另外两个角，再借助三角形的内角和定理构建方程．
4.如图，在△ABC 中，∠B =42°，∠C =78°，AD 平分∠
BAC ．求∠ADC 的度数.
解：∵∠B =42°，∠C =78°，
∴∠BAC =180°-∠B -∠C =60°.
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠CAD =2
1∠BAC =30°， ∴∠ADC =180°-∠B -∠CAD =72°.
六、课堂小结
今天这节课你学到了什么知识？
1．三角形内角和等于180°.
2．定理的证明
3．定理的应用
设计意图： 通过对三角形内角和定理的证明，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性． 通过自主探究与合作交流的学习方式，使学生形成一定的逻辑思维能力和推理能力.
七、板书设计
7.5 三角形内角和定理（1）
1．三角形内角和等于180°.
2．定理的证明
3．定理的应用。