高一数学 函数单调性与最值(含解析)

函数单调性
引入
对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随着增大”；
在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ，
，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.
一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义
一般地，设函数 的定义域为 ： 如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）
如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.
【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A ．f (x )＝3－x
B ．f (x )＝x 2
－3x C ．f (x )＝－
1
x ＋1
D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2
－3x 为减函数，当x ∈
⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.
【例2】判断函数g (x )＝－2x
x －1
在(1，＋∞)上的单调性．
【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)
(x 1－1)(x 2－1)
，
因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 【例3】 求下列函数的单调区间．
(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2
＋2x －3|； (3)y ＝－x 2
＋2|x |＋1.
【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
3x ， x ≥0，－3x ， x <0.
图象如图所示．
f
(x )在(－∞，0]上是减函数，
在[0，＋∞)上是增函数．
(2)令g (x )＝x 2
＋2x －3＝(x ＋1)2
－4.
先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方
的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2
＋2x －3|的图象，如图所示．
由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．
(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－(x －1)2
＋2，x ≥0，
－(x ＋1)2
＋2，x ＜0.
画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2
＋x －6的单调区间．
【解】令u ＝x 2
＋x －6，y ＝x 2
＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2
＋x －6的复合函数．
由u ＝x 2
＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.
∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．
∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【例5】证明：函数 在R 上是增函数
【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数 在区间 上是增函数。

【例6】讨论函数
的单调性，请作出当a=1时函数的图像。

【变式2】讨论
的单调性
2、函数的单调区间
如果函数 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做 的单调区间. （1）区间端点的确认
函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义。

因此，书写函
数的单调区间时，若函数在区间端点处有意义，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处无意义，则必须写成开区间。

（2）多个单调区间的写法
当同增（减）单调区间有多个时，区间之间不一定能写成并集。

【注意】一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接。

【例7】求下列函数的单调区间：
（1） ；（2）
【变式3】（1）作出函数 的图像，并指出函数 的单调区间 （2）求函数 的单调区间。

【例8】求解下列问题： （1）求函数
的单调区间 （2）求函数 的单调区间
【练习1】
1、设函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为减函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小顺序
2、()y f x =在(0,2)上是增函数，(2)y f x =+是偶函数，则1
57(),(),()222
f f f 的大小关系 3、判断正误
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( )
(2)函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)( )
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”( ) (4)函数y ＝1
x
的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)( )
(5)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)( ) 4．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x 2
－2x (x ∈[2,4])的增区间为________． 5．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则k 的取值范围是________．
二、函数最值 1、函数最值定义
一般地，设函数 的定义域为，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的 ，都有
（2）存在 ，使得 那么，我么称M 是函数 的最大值（maximum value ）
请你模仿函数最大值的定义，给出函数 的最小值（minimum value ）的定义。

【例9】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x
，x ≥1，
－x 2＋2，x ＜1
的最大值为________．
【解析】当x ≥1时，函数f (x )＝1
x
为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1
时，易知函数f (x )＝－x 2
＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.
【例10】函数
在区间 （
）上的最大值是1，最小值是
，则
【变式4】函数
的最大值为
【例11】写出函数 的单调区间，并求其最值。

【练习2】
1．判断正误
(1)所有的单调函数都有最值( ) (2)函数y ＝1x 在[1,3]上的最小值为1
3( )
2．(人教A 版教材例题改编)已知函数f (x )＝2
x －1
(x ∈[2,6])，则函数的最大值为________．
2、二次函数的单调性与最值
【例12】若函数 的单调区间是 ，则实数a 的取值范围是
【变式5】若函数 在区间 上单调递减，则实数a 的取值范围是
【例13】已知二次函数 （1）当 时，求 的最值 （2）当 时，求 的最值
（3）当 时，求 的最小值
【变式6】设函数 ， ， ，求函数 的最小值。

三、小结
1、设x 1，x 2∈[a ，b ]，如果
f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递增函数，如果f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
<0，则
f (x )在[a ，b ]上是单调递减函数．
2、确定单调性的方法
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再取值—作差—变形—确定符号—下结论．
(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
3、函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.
四、课后练习
一、选择题
1．下列说法中正确的有( )
①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2
在R 上是增函数；③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数；④y ＝1
x
的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【解析】选A 函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2
在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x
在
整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5而f (－3)>f (5)；④y ＝1
x
的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，
＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．
2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]
D ．[2，＋∞)
【解析】选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ，x ≥2，
－x 2
＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．
3．(2015·黑龙江牡丹江月考)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x
－1，则( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13 【解析】选B 由题设知，当x <1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又13<12<23<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23. 4．(创新题)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2
，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )
A ．－1
B ．1
C ．6
D ．12
【解析】选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3
－2.∵f (x )＝x －2，
f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.
5．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( )
A ．最小值是0，最大值是4
B ．最小值是－4，最大值是0
C ．最小值是－4，最大值是4
D ．没有最大值也没有最小值 【解析】选C y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－4 (x ≥3)－2x ＋2 (－1≤x <3)
4 (x <－1)
作出图象可求．
6．(2015·长春调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )
A ．可能为0
B ．恒大于0
C ．恒小于0
D ．可正可负
【解析】选C 由x 1x 2<0不妨设x 1<0，x 2>0. ∵x 1＋x 2<0，∴x 1<－x 2<0. 由f (x )＋f (－x )＝0知f (x )为奇函数．又由f (x )在(－∞，0)上单调递增得，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)<0.故选C. 二、填空题
7．已知函数f (x )为R 上的减函数，若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是________．
【解析】由题意知f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)；则⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1x >1，即|x |<1，
且x ≠0.故－1<x <1且x ≠0.
8．已知函数f (x )＝x 2
－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________． 【解析】函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，
画出草图如图所示．
由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性， 因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，
只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)
9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，
g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．
【解析】由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
，x >1，0，x ＝1，
－x 2，x <1.
函数图象如图所示，其递减区间是
[0,1)．
10．设函数f (x )＝
ax ＋1
x ＋2a
在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________． 【解析】f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2
－1
x ＋2a
，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1＞0，－2a ≤－2⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
2a 2－1＞0，a ≥1⇒a ≥1.答案 [1，＋∞) 三、解答题
11．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1x
2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.
(1)求f (1)的值；
(2)证明：f (x )为单调递减函数；
(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．
【解】(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.
(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2
>1，由于当x >1时，f (x )<0，
所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．
由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.
12．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.
(1)求证：f (x )在R 上是减函数；
(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．
【证明】(1)设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．
又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数．
(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
13．函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2
＋a －5)<2.
【解】(1)设x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.
f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，
∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数． (2)∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，
∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1，
f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4，
∴f (1)＝2，∴f (a 2
＋a －5)<2＝f (1)，
∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．。