2018_2019学年八年级数学第15课图形与证明例题课件

失误防范
中考题中与三角形有关的综合题:
类型一：构造法添加辅助线 当题目中的结论在现有图形中难以解决时，我们自然会考虑添加辅助线， 而构造全等三角形来转化线段或角是我们常用的方法之一． 类型二：在变化的图中探究同一类问题 这类问题往往是方法的延续，而第一问是很容易入手的，因此对比第一 问，利用第一问的方法就可以解决后面的问题．
重点中学与你有约
例1.如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE//AB， ∠B=∠DAE.求证：BC=AE.
解题技巧
解： ∵DE//AB， ∴∠CAB=∠ADE
在△ABC和△DAE中，
CAB ADE

AB

DA
B DAE
△ABC △DAE(ASA )
∴BC=AE.
掌重握要三结角论形：
2
重要结论：
全等三角
一三四二 读解悟联
关形键熟的词练性：掌质握， 直垂中求关全形直形中的角线点线系所定断全本键等的角斜线应三，，段.学理三等题．三判三边性用角之性，角是的角定角上质.形间质判形解关，，
重要方法：
综合法
举一反三
已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点 （点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足 分别为E、F，点O为AC的中点． （1）当点P与点O重合时如图1，求证：OE=OF （2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当点P在对角线AC上时，且 ∠OFE=30°时，如图2，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量 关系？并给予证明． （3）当点P在对角线CA的 延长线上时，且∠OFE=30° 时，如图3，猜想线段CF、 AE、OE之间有怎样的数量 关系？直接写出结论即可．
∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC=36°，∴∠CDE=72°， ∴∠CDE=∠CED=72°，∴CD=CE， 则BC=BE+EC=AB+CD；
灵重活要运结用论三：
一二四三 读联悟解
用截长或补 角证解题短三然边重关三三等形决明的法角后要相键角角。全此方关先形再方等词形形证法等类键证全得法.：，全明是的问. 明等出：，
思答路案分：析证:明延：长延A长D、ADE、F交EF于交点于G点，GD，E=BD，再根据 ∠当BDDAE==B∠DEDG，BD=ED，证出△ABD≌△GED， 得∵出EAF∥B=AGBE，，∴又∠因BA为D=∠∠BEAGDD，=∠DAC，所以 ∠又∴FG∵△D∠A=BB∠DD≌DA=△A∠CGE，EDDAG，，F∴=BGADBF==，EGD即E，，可证出AF+EF=AB
在△ACE和△ABD中，
AC AB CAE BAD
一二四三 读联悟解
AE AD
∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∴CE=BD，∠ACE=∠ABD．
在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACE=90°， ∴∠ABD+∠ABC=90°,即∠CBD=90° , BD⊥CE．
掌重握要三结角论形： 先证明三角 全和决的形利内得重关三三等等此判关全用角要出键角角，的类定键等三和方结词形形判是性问. ，角定法论：，全断解质题再形理：. 定理运用
重点中学与你有约
例3.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC，BD 平分∠BAC，交AC于D.求证：BC=CD+AB.
解题技巧
解：
法1：（截长法）在BC上取点E使BE=BA， 连接DE，如图1 ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠EBD， 在△ABD和△EBD中， AB=EB，∠ABD=∠EBD,BD=BD ∴△ABD≌△EBD（SAS）， ∴∠BAC=∠BED=108°，AD=DE， ∴∠DEC=72゜，
∵∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中， ∵AC=DC，∠ACE=∠DCB，CE=CB,
一四三二
∴△ACE≌△DCB，∴AE=BD；
读 悟解联
（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，而A、C、B
三点共线，∴∠DCN=60°，
数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段
BA（或AB）的延长线上时，
此时（2）的结论是否成立？ Nhomakorabea请画出图形并给予证明．
解题技巧
（1）AE∥BF,QE=QF， 解：（2）QE=QF，
证明：延长FQ交AE于点D，如图. ∵AE⊥CP，BF⊥CP，∴AE∥BF，∴∠1=∠2. ∵Q为斜边AB的中点，∴AQ=BQ， ∵∠3=∠4， ∴△AQD≌△BQF，∴QD=QF. ∵AE⊥CP，∴QE为Rt△DEF斜边FD上的中线， ∴QE= 1 FD=QF. （3）（2 2）中结论仍然成立. 理由：如图，延长EQ、FB交于点D， ∵AE∥BF，∴∠1=∠D，∵∠2=∠3，AQ=BQ， ∴△AQE≌△BQD，∴QE=QD，∵BF⊥CP， ∴FQ为Rt△DEF斜边DE上的中线， ∴QF= 1 ED= QE．
举一反三
如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°， AB=AC，AD=AE，点C、D、E在同一直线上，连结 BD．（1）求证：BD=EC； （2）BD与CE有何位置关系？请证你的猜想．
答案：（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°， 思∴路∠分BA析C:﹣（∠1）DA求C出=∠∠DBAAED﹣=∠∠CDAAEC，，根即据∠SBAASD推=∠出CAE， △ （在A2△）BAD根B≌D据△和全A△等CA三EC，角E根形中据的，全性等质三得角出形，∠的B性DA质=推∠出E，即根可据； ∠∴E△+A∠BADD≌E△=9A0°CE求（出SA∠SB），DA∴+B∠DA=EDCE；=90°即可． （2）BD⊥CE，证明：∵△ABD≌△ACE，∴∠BDA=∠E， 又∵∠E+∠ADE=90°， ∴∠BDA+∠ADE=90°，即∠BDE=90°，∴BD⊥DE．
举一反三
思答路案分 ：析（:1（ ）∵1）A由E⊥△PABO，E≌CF△⊥CBPO，F即∴可∠得A出EO=结∠论CF．O=90°， （又2∠）A图OE=2中∠的CO结F，论AO为=O：C，CF=∴OE△+AAEO，E≌延△长CEOOF交 ，C∴F于OE=点OFG， ．只要证明 △（E2）OA图≌△2中GO的C结，论△为OFG：是C等F=边OE+三AE角．形，即可解决问题． （法证延∵3类明长A）E⊥似 如E图O交 B．下3P中C，：F于的CF结点⊥论GB，P，为∴：ACEF∥=OCE﹣F，AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方 ∴∠EAO=∠GCO，又AO=OC，∠AEO=∠COG， ∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG， 在Rt△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO， ∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°， ∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF， ∵OE=OF，∴OE=FG， ∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．
重点中学与你有约
例5.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A,B重合），
分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是
，
QE与QF的数量关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的
失误防范
全等三角形的性质：
1.全等三角形的对应角相等； 2.全等三角形的对应边相等； 3. 能够完全重合的顶点叫对应顶点； 4.全等三角形的对应边上的高对应相等； 5.全等三角形的对应角的角平分线相等； 6.全等三角形的对应边上的中线相等； 7.全等三角形面积和周长相等； 8.全等三角形的对应角的三角函数值相等.
灵重活要运结用论三：
一二三四 读联解悟
用截长或补 角证解题短三然边重关三三等形决明的法角后要相键角角。全此方关先形再方等词形形证等类法键证全得法.：，全明的问是. 明等出：，
截长补短法
举一反三
在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC 于点D，点E在DC的延长线上，且DE=BD，过E作 EF∥AB交AC的延长线于F． 求证：AF+EF=AB.
在△ACM与△DCN中，
∵∠CAM=∠NDC, AC=DC，∠ACM=∠DCN，
∴△ACM≌△DCN，∴MC=NC，
∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC=∠MCA=60°，∴MN∥AB．
重要结论：
据断与等与等关等交求关题出△，△是键点线系边等形与全形与意△D△D解词，段.三边的性等的性CCBN判答AA角：之三判质三判质全全CC此EM形间角定，角定. ， 题的重关要键方．法：
∵ED⊥AC， ∴∠EDA=90°．∴∠EDA=∠ACB． 在△ACB 和△EDA 中，
，
∴△ACB≌△EDA（AAS），∴AB=AE．
失误防范
全等三角形的判定：
SSS(边边边):三边对应相等的三角形是全等三角形； SAS(边角边):两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形； ASA(角边角):两角及其夹边对应相等的三角形全等； AAS(角角边):两角及其一角的对边对应相等的三角形全等； HL定理(斜边、直角边):在一对直角三角形中，斜边及另一条直角 边相等.
重点中学与你有约
例4.已知，点C是线段AB上除点A,B,外的任意一点，分别以AC,BC 为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M， 连接BD交CE于N，连接MN． （1）求证：AE=BD； （2）求证：MN∥AB．
解题技巧
（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形， 解：∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，
综合法
举一反三
在△ABC中，AD是△ABC的角平分线． （1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点， 连接AF，求证：AF⊥AD； （2）如图2，M为BC的中点， 过M作MN∥AD交AC于点N， 若AB=4，AC=7，求NC的长．
举一反三
答思案路：分（析1:）（证1）明推：出∵∠AD3为=∠△EA，BC推的出角A平C=分AE线，，根∴据∠等1腰=∠三2角．形性质得出 ∵AFC⊥E∥CEA，D，根∴据∠平1行=∠线E性，质∠推2=出∠即3．可∴；∠E=∠3．∴AC=AE． ∵（F2为）E延C的长中BA点与，MN∴延A长F⊥线E于C，点∵E，AD过∥BE作C，BF∥AC交NM延长线于点F，求出 ∴BF∠=CANF，E=A∠E=FAAND，=9B0E°=B．F．∴设AFC⊥N=AxD，．则BF=x，AE=AN=AC﹣CN=7﹣x， （BE2=）AB解+A：E=延4+长7﹣BAx与．M得N延出长方线程于4+点7﹣E，x=过x．B作求B出F∥即A可C交．NM延长线 于点F，∴∠3=∠C，∠F=∠4 ∵M为BC的中点,∴BM=CM． 在△BFM和△CNM中，∠3=∠C，∠F=∠4，BM=CM, ∴△BFM≌△CNM，∴BF=CN， ∵MN∥AD，∴∠1=∠E，∠2=∠4=∠5． ∴∠E=∠5=∠F．∴AE=AN，BE=BF． 设CN=x，则BF=x，AE=AN=AC﹣CN=7﹣x，BE=AB+AE=4+7﹣x． ∴4+7﹣x=x．解得 x=5.5．∴CN=5.5．
截长补短法
解题技巧
解：
法2：（补短法）延长BA至E，使BE=BC， 连接DE，如图2 ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD=∠CBD， 在△EBD和△CBD中， EB=CB，∠EBD=∠CBD,BD=BD ∴△EBD≌△CBD（SAS）， ∴DE=DC，∠E=∠C=36°， ∵∠EAD=72°， ∴∠EDA=∠EAD=72°， ∴EA=ED， ∴CD=DE=AE， 则BC=BE=AB+AE=AB+CD．
一二三四 读联解悟
先证明三角 全方此关形后或重定关三三等等类法键全再要理角键角角的问是. 等得方运相词形形解证题，出法用等：，全决明的然边：.
举一反三
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上的一 点，且AD=BC，DE⊥AC于D，∠EAB=90°．求 证：AB=AE．
答 ∴ ∵ ∴案 ∠ ∠ ∠思 再 出： EAB路根AA+CB∵∠分据DB=∠+=CA析A9∠AE0EA:A°BC由．，S=AB就9垂=B09=可°0直9．°0以，的°∴．得∠性出B质=△∠就AE可AB以DC．≌得△出E∠ABD=，∠就EA可D以，得
又∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC， ∴AF=GF，∴AF+EF=AB
失误防范
截长补短法：
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把 几何题化难为易的一种思想. 截长:1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同 的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短:1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起.
重点中学与你有约
例2.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°， 点B,C,E在同一直线上，AC=AB,AD=AE,且AE与BD交于 点F，你能判断出CE与BD的关系吗？请说明理由.
解题技巧
解： BD=CE，BD⊥CE，理由是： ∵∠DAE=∠BAC=90°， ∴∠CAE=∠BAD，