湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
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（2）要求平面 与平面 所成锐角的余弦值，需找两平面的法向量，取 中点为H，连接DH，可证 ，故以 中点H为原点， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知 是平面 的一个法向量，由 可得平面 的一个法向量为 ，然后由空间两向量夹角公式去求平面 与平面 所成锐角的余弦值。
试题解析：（1）证明：取DE中点G，连接FG,AG，CG.因为CF DG,所以FG∥CD.因为CG AB, ,
考点：（1）空间线面平行、面面平行、线面垂直判定定理的应用；（2）空间两平面夹角的定义、平面法向量的定义的应用；（3）空间向量的基本运算。
19.为了迎接2019年全国文明城市评比，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查.每一位市民有且仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示：
若关于 的不等式 与 同解，则方程 与 必同解，又 都不为0（ ），所以
所以“ ”是“关于 的不等式 与 同解”的必要不充分条件
故选：B.
【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，判断一个命题为假只需举一个反例即可.
5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
所以AG∥BC.所以平面AFG∥平面CBD，所以AF∥平面CBD.
（2）解， .
以 中点H为原点， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， 所以 的中点坐标为 因为 ，所以 易知 是平面 的一个法向量， 设平面 的一个法向量为
由
令 则 ， ，
,
所以面 与面 所成角的余弦值为 .
则第1行到第44行末共有990个奇数，
第1行到第45行末共有1035个奇数，则2019位于第45行；
而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；
故2019位于第45行，从右到左第20列，
则
故选B.
【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，数与式中的归纳推理，属于中等题.
11.已知 为抛物线 ： 的焦点， 为其准线与 轴的交点，过 的直线交抛物线 于 两点， 为线段 的中点，且 ，则 （）
判断 不成立，执行 ， ；
判断 不成立，执行 ， ；
判断 不成立，执行 ， ；
判断 成立，输出 .
算法结束
所以该算法的功能是计算数列 的前10项和
故选：A.
【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构，循环次数较多时，一般写出前几次循环找出规律.
7.如图是函数 图像的一部分，对不同的 ，若 ，有 ，则（）
18.如图1，直角梯形 中， 中， ， 分别为边 和 上的点，且 ， .将四边形 沿 折起成如图2的位置， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2） 。
【解析】
试题分析：（1）取DE中点G，连接FG,AG， 平面 ，只需证平面AFG∥平面CBD，又 平面 ， 平面 ，故只需证 ∥平面CBD， ∥平面CBD即可；
6.阅读如图所示的程序框图，若输入的 ，则该算法的功能是（）
A.计算数列 的前10项和B.计算数列 的前9项和
C.计算数列 的前10项和D.计算数列 的前9项和
【答案】A
【解析】
【分析】
从赋值开始，逐步分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能.
【详解】解：开始赋值： ， ；
判断 不成立，执行 ， ；
A.72B.71C.66D.65
【答案】B
【解析】
【分析】
先分析出奇数2019为第1010个奇数，按照蛇形排列，第1行到第 行末共有 个奇数，试值可以分析出第1010个奇数位于第45行，从右到左第20列，从而得出答案.
【详解】解：奇数2019为第1010个奇数,
按照蛇形排列，第1行到第 行末共有 个奇数，
【答案】
【解析】
试题分析： 的展开式中各项的系数之和为81 ， 的展开式的通项公式为：
令 ，解得
∴展开式中常数项为
∴直线 与曲线 围成的封闭区域面积为： ．
故答案为： ．
考点：二项式定理，定积分
16.已知点 均在表面积为 的球面上,其中 平面 , ,则三棱锥 的体积的最大值为__________．
【答案】
【详解】解：（1） ，
又∵ 成等比数列，得 ，由正弦定理有 ，
∵ ，∴ ，得 ，即 ，
由 知， 不 最大边，∴ .
（2）∵ 外接圆的面积为 ，∴ 的外接圆的半径 ，
由余弦定理 ，得 ，又 ，
∴ ，当且仅当 时取等号，又∵ 为 的内角，∴ ，
由正弦定理 ，得 .
∴ 的面积 ，
∵ ，∴ ，∴ .
【点睛】本题考查了三角函数式 化简，正余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积的最值问题，属于中档题.
4.已知 且 都不为0（ ），则“ ”是“关于 的不等式 与 同解”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
充分性：举反例 ， ，可判断不成立；必要性：不等式同解可得方程同解，从而证明必要性成立.
【详解】解：若 ，取 ， ，则解 得 ，解 得 ，所以关于 的不等式 与 不同解；
【详解】解：先画出约束条件 所代表的平面区域，如图中阴影
然后画出目标函数如图中过原点虚线所示
平移目标函数，在点 处取得最小值
由 ，解得
所以目标函数 最小值
故答案为： .
【点睛】本题考查了简单线性规划问题，平移目标函数时由目标函数 中 前系数小于0，故向上移越移越小.
15.若 的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为 ，则直线 与曲线 所围成的封闭区域面积为．
A. 在 上是减函数
B. 在 上是减函数
C. 在 上是增函数
D. 在 上是增函数
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意可知 ， ，从而有 ，结合题中条件，可知 ， ，结合 的范围，求得 ，所以 ，结合函数的性质，可知C是正确的，故选C．
考点：根据图像求函数解析式，正弦函数的性质．
8.如图所示，直线 为双曲线 ： 的一条渐近线， ， 是双曲线 的左、右焦点， 关于直线 的对称点为 ，且 是以 为圆心，以半焦距 为半径的圆上的一点，则双曲线 的离心率为（）
【分析】
通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出各棱长，从而求出各面的面积，相加即可.
【详解】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的直角三角形，
一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图
所以 ， ，
左边侧面为等腰三角形，底边为 ，高为
所以
三棱锥的表面积
故选B．
【点睛】本题考查了三视图与几何体的关系，空间几何体表面积的求法，考查了空间想象能力与计算能力.
因为 ，所以 ,所以 .
故答案为：D
点睛：（1）本题主要考查集合的交集和集合的关系，意在考查集合的基础知识的掌握能力.(2)本题有一个易错点，最后的答案容易加等号即 ，到底取等还是不取等，可以直接把a=1代入已知检验， ， ，不满足 ， （1,3）≠B.
2.复数 的共轭复数是（）
A. B. C. D.
【详解】解：由定义在 上的偶函数 ，可得
即 ，解得
所以
当 时， 单调递增， 单调递减，
所以 在 上单调递增
因为 ， ，
所以 ，且都属于
所以 ，即
故选：A.
【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合运用，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题.
10.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 行，第 列的数记为 ，比如 ， ， ，若 ，则 （）
试题分析:由题意，得 ，向量a，c的夹角 ，则由 ，得 ，则 ；故填2．
考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的模．
14.设 满足约束条件 ，则 的最小值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
先画出约束条件所代表的平面区域，再画出目标函数并平移目标函数确定最优解的位置，求出最优解代入目标函数求出最值即可.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.在 中，三边 所对应的角分别是 .已知 成等比数列.
（1）若 ，求角 的值；
（2）若 外接圆的面积为 ，求 面积的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）化简 ，可得 ，由 成等比数列，用正弦定理进行边角转化为 ，又 ，可解出 ，从而求出角 ；（2）由 外接圆的面积可求出外接圆半径，且 ，得 ， ，再由余弦定理可求出 的范围，得 的范围，从而求出 的范围.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：利用几何概型概率公式可得 .
详解： 小正方形边长为 ，所以圆半径为 ，圆面积为 ，
又 大正方形的棱长为 ，所以正方形面积为 ，
由几何概型概率公式可得 ，故选D.
点睛：本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验及几何概型概率公式，列出符合条件的面积与总面积之间的方程求解.
A.6B. C.8D.9
【答案】A
【解析】
【分析】
设直线 ，联立抛物线方程得韦达定理，求出点 坐标，由 列方程解出 ，然后可求出 .
【详解】解：根据题意可知直线的斜率是存在的，抛物线的焦点坐标是 ，
设直线 ，
将直线与抛物线方程联立 ，
化简得 ，
得 ，
所以 ，又 ，
根据 ，得 ，
解得 ，
所以 ，
故选A.
【答案】C
【解析】
本题考查共轭复数的概念，先把复数 的分母实数化， ，根据共轭复数的概念易得答案C。
3.如图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载.若图中大正方形 的边长为5，小正方形的边长为2.现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷 个点.有 个点落在中间的圆内，由此可估计 的近似值为（）
A. B. C.2D.3
【答案】C
【解析】
设焦点 关于渐近线 的对称点为 ，则 ，又点 在圆 上， ，故选C.
9.已知定义在 上的偶函数 （其中 为自然对数的底数），记 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由偶函数求出 ，然后分析出函数在 上单调递增，判断出以 ，且都属于 ，然后可比较大小.
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线焦点弦的性质，属于中档题.
12.已知函数 , 若存在 ,使得关于 方程 有解,其中 为自然对数的底数则实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：由题得 ，令 ， ，
利用导数性质能求出实数 的取值范围．
详解：由 ，得 ，
得 ，即 ，
【解析】
分析：先求出球的半径，再求出三棱锥 的体积的表达式，最后求函数的最大值.
详解：设球的半径为R,所以
设AB=x,则 ，由余弦定理得
设底面△ABC的外接圆的半径为r,则
所以PA= .
所以三棱锥 的体积
= .
当且仅当x= 时取等.
故答案为：
点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式： ，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值.
组别
频数
25
150
200
250
225
100
50
（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分 服从正态分布 ， 近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求 ；
（2）在（1）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
（i）得分不低于 的可以获赠2次随机话费，得分低于 的可以获赠1次随机话费；
令 ， ，则 ，
显然 是函数 的唯一零点，易得 ，∴ ，即 .
故选D.
点睛：本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．，属中档题，
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量 ，向量 的夹角是 ， ，则 等于________.
【答案】2
【解析】
长郡中学2019届高考模拟卷（一）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：先化简集合B,再根据 求出实数a的取值范围.
详解：由题得 .
试题解析：（1）证明：取DE中点G，连接FG,AG，CG.因为CF DG,所以FG∥CD.因为CG AB, ,
考点：（1）空间线面平行、面面平行、线面垂直判定定理的应用；（2）空间两平面夹角的定义、平面法向量的定义的应用；（3）空间向量的基本运算。
19.为了迎接2019年全国文明城市评比，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查.每一位市民有且仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示：
若关于 的不等式 与 同解，则方程 与 必同解，又 都不为0（ ），所以
所以“ ”是“关于 的不等式 与 同解”的必要不充分条件
故选：B.
【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，判断一个命题为假只需举一个反例即可.
5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
所以AG∥BC.所以平面AFG∥平面CBD，所以AF∥平面CBD.
（2）解， .
以 中点H为原点， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， 所以 的中点坐标为 因为 ，所以 易知 是平面 的一个法向量， 设平面 的一个法向量为
由
令 则 ， ，
,
所以面 与面 所成角的余弦值为 .
则第1行到第44行末共有990个奇数，
第1行到第45行末共有1035个奇数，则2019位于第45行；
而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；
故2019位于第45行，从右到左第20列，
则
故选B.
【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，数与式中的归纳推理，属于中等题.
11.已知 为抛物线 ： 的焦点， 为其准线与 轴的交点，过 的直线交抛物线 于 两点， 为线段 的中点，且 ，则 （）
判断 不成立，执行 ， ；
判断 不成立，执行 ， ；
判断 不成立，执行 ， ；
判断 成立，输出 .
算法结束
所以该算法的功能是计算数列 的前10项和
故选：A.
【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构，循环次数较多时，一般写出前几次循环找出规律.
7.如图是函数 图像的一部分，对不同的 ，若 ，有 ，则（）
18.如图1，直角梯形 中， 中， ， 分别为边 和 上的点，且 ， .将四边形 沿 折起成如图2的位置， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2） 。
【解析】
试题分析：（1）取DE中点G，连接FG,AG， 平面 ，只需证平面AFG∥平面CBD，又 平面 ， 平面 ，故只需证 ∥平面CBD， ∥平面CBD即可；
6.阅读如图所示的程序框图，若输入的 ，则该算法的功能是（）
A.计算数列 的前10项和B.计算数列 的前9项和
C.计算数列 的前10项和D.计算数列 的前9项和
【答案】A
【解析】
【分析】
从赋值开始，逐步分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能.
【详解】解：开始赋值： ， ；
判断 不成立，执行 ， ；
A.72B.71C.66D.65
【答案】B
【解析】
【分析】
先分析出奇数2019为第1010个奇数，按照蛇形排列，第1行到第 行末共有 个奇数，试值可以分析出第1010个奇数位于第45行，从右到左第20列，从而得出答案.
【详解】解：奇数2019为第1010个奇数,
按照蛇形排列，第1行到第 行末共有 个奇数，
【答案】
【解析】
试题分析： 的展开式中各项的系数之和为81 ， 的展开式的通项公式为：
令 ，解得
∴展开式中常数项为
∴直线 与曲线 围成的封闭区域面积为： ．
故答案为： ．
考点：二项式定理，定积分
16.已知点 均在表面积为 的球面上,其中 平面 , ,则三棱锥 的体积的最大值为__________．
【答案】
【详解】解：（1） ，
又∵ 成等比数列，得 ，由正弦定理有 ，
∵ ，∴ ，得 ，即 ，
由 知， 不 最大边，∴ .
（2）∵ 外接圆的面积为 ，∴ 的外接圆的半径 ，
由余弦定理 ，得 ，又 ，
∴ ，当且仅当 时取等号，又∵ 为 的内角，∴ ，
由正弦定理 ，得 .
∴ 的面积 ，
∵ ，∴ ，∴ .
【点睛】本题考查了三角函数式 化简，正余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积的最值问题，属于中档题.
4.已知 且 都不为0（ ），则“ ”是“关于 的不等式 与 同解”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
充分性：举反例 ， ，可判断不成立；必要性：不等式同解可得方程同解，从而证明必要性成立.
【详解】解：若 ，取 ， ，则解 得 ，解 得 ，所以关于 的不等式 与 不同解；
【详解】解：先画出约束条件 所代表的平面区域，如图中阴影
然后画出目标函数如图中过原点虚线所示
平移目标函数，在点 处取得最小值
由 ，解得
所以目标函数 最小值
故答案为： .
【点睛】本题考查了简单线性规划问题，平移目标函数时由目标函数 中 前系数小于0，故向上移越移越小.
15.若 的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为 ，则直线 与曲线 所围成的封闭区域面积为．
A. 在 上是减函数
B. 在 上是减函数
C. 在 上是增函数
D. 在 上是增函数
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意可知 ， ，从而有 ，结合题中条件，可知 ， ，结合 的范围，求得 ，所以 ，结合函数的性质，可知C是正确的，故选C．
考点：根据图像求函数解析式，正弦函数的性质．
8.如图所示，直线 为双曲线 ： 的一条渐近线， ， 是双曲线 的左、右焦点， 关于直线 的对称点为 ，且 是以 为圆心，以半焦距 为半径的圆上的一点，则双曲线 的离心率为（）
【分析】
通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出各棱长，从而求出各面的面积，相加即可.
【详解】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的直角三角形，
一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图
所以 ， ，
左边侧面为等腰三角形，底边为 ，高为
所以
三棱锥的表面积
故选B．
【点睛】本题考查了三视图与几何体的关系，空间几何体表面积的求法，考查了空间想象能力与计算能力.
因为 ，所以 ,所以 .
故答案为：D
点睛：（1）本题主要考查集合的交集和集合的关系，意在考查集合的基础知识的掌握能力.(2)本题有一个易错点，最后的答案容易加等号即 ，到底取等还是不取等，可以直接把a=1代入已知检验， ， ，不满足 ， （1,3）≠B.
2.复数 的共轭复数是（）
A. B. C. D.
【详解】解：由定义在 上的偶函数 ，可得
即 ，解得
所以
当 时， 单调递增， 单调递减，
所以 在 上单调递增
因为 ， ，
所以 ，且都属于
所以 ，即
故选：A.
【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合运用，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题.
10.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 行，第 列的数记为 ，比如 ， ， ，若 ，则 （）
试题分析:由题意，得 ，向量a，c的夹角 ，则由 ，得 ，则 ；故填2．
考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的模．
14.设 满足约束条件 ，则 的最小值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
先画出约束条件所代表的平面区域，再画出目标函数并平移目标函数确定最优解的位置，求出最优解代入目标函数求出最值即可.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.在 中，三边 所对应的角分别是 .已知 成等比数列.
（1）若 ，求角 的值；
（2）若 外接圆的面积为 ，求 面积的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）化简 ，可得 ，由 成等比数列，用正弦定理进行边角转化为 ，又 ，可解出 ，从而求出角 ；（2）由 外接圆的面积可求出外接圆半径，且 ，得 ， ，再由余弦定理可求出 的范围，得 的范围，从而求出 的范围.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：利用几何概型概率公式可得 .
详解： 小正方形边长为 ，所以圆半径为 ，圆面积为 ，
又 大正方形的棱长为 ，所以正方形面积为 ，
由几何概型概率公式可得 ，故选D.
点睛：本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验及几何概型概率公式，列出符合条件的面积与总面积之间的方程求解.
A.6B. C.8D.9
【答案】A
【解析】
【分析】
设直线 ，联立抛物线方程得韦达定理，求出点 坐标，由 列方程解出 ，然后可求出 .
【详解】解：根据题意可知直线的斜率是存在的，抛物线的焦点坐标是 ，
设直线 ，
将直线与抛物线方程联立 ，
化简得 ，
得 ，
所以 ，又 ，
根据 ，得 ，
解得 ，
所以 ，
故选A.
【答案】C
【解析】
本题考查共轭复数的概念，先把复数 的分母实数化， ，根据共轭复数的概念易得答案C。
3.如图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载.若图中大正方形 的边长为5，小正方形的边长为2.现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷 个点.有 个点落在中间的圆内，由此可估计 的近似值为（）
A. B. C.2D.3
【答案】C
【解析】
设焦点 关于渐近线 的对称点为 ，则 ，又点 在圆 上， ，故选C.
9.已知定义在 上的偶函数 （其中 为自然对数的底数），记 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由偶函数求出 ，然后分析出函数在 上单调递增，判断出以 ，且都属于 ，然后可比较大小.
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线焦点弦的性质，属于中档题.
12.已知函数 , 若存在 ,使得关于 方程 有解,其中 为自然对数的底数则实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：由题得 ，令 ， ，
利用导数性质能求出实数 的取值范围．
详解：由 ，得 ，
得 ，即 ，
【解析】
分析：先求出球的半径，再求出三棱锥 的体积的表达式，最后求函数的最大值.
详解：设球的半径为R,所以
设AB=x,则 ，由余弦定理得
设底面△ABC的外接圆的半径为r,则
所以PA= .
所以三棱锥 的体积
= .
当且仅当x= 时取等.
故答案为：
点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式： ，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值.
组别
频数
25
150
200
250
225
100
50
（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分 服从正态分布 ， 近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求 ；
（2）在（1）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
（i）得分不低于 的可以获赠2次随机话费，得分低于 的可以获赠1次随机话费；
令 ， ，则 ，
显然 是函数 的唯一零点，易得 ，∴ ，即 .
故选D.
点睛：本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．，属中档题，
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量 ，向量 的夹角是 ， ，则 等于________.
【答案】2
【解析】
长郡中学2019届高考模拟卷（一）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：先化简集合B,再根据 求出实数a的取值范围.
详解：由题得 .