初三数学(人教版)21.3实际问题与一元二次方程(1)
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初中数学
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121.
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( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. x + 1 + x2 + x = 121.
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. 解得 x1 =10， x2 = – 12 (不合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人. 进一步思考：按照这样的情形，三轮之后共有多 少人感染流感？
初中数学
进一步思考：按照这样的情形，n 轮之后共有多少 人感染流感？ 第一轮后：1 + 10 = 11 (人). 第二轮后：11 + 10×11 = 11×(1 + 10)= 112 (人). 第三轮后：121 + 10×121 = 121×(1 + 10) = 113 (人).
初中数学
进一步思考：按照这样的情形，n 轮之后共有多少 人感染流感？ 第一轮后：1 + 10 = 11 (人). 第二轮后：11 + 10×11 = 11×(1 + 10)= 112 (人). 第三轮后：121 + 10×121 = 121×(1 + 10) = 113 (人). …… 第 n 轮后共有 11n 人感染流感.
F
x 2 – 12x + 20 = 0.
2尺
A
D
(x – 2)(x – 10) = 0.
x
x-2
4尺
B
x-4 C
E
(x – 4) 2 + (x – 2) 2 = x 2. x 2 – 8x + 16 + x 2 – 4x + 4 = x 2.
x 2 – 12x + 20 = 0. (x – 2)(x – 10) = 0. ∴ x1 =10， x2 =2 (不合题意，舍去).
初中数学
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？
设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
则第一轮后共有
个人患了流感；
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. 则第一轮后共有 ( x + 1 ) 个人患了流感；
A
D
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4尺
B
C
E
【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
F
2尺
A
D
初中数学
4尺
B
C
E
【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
解：设 BD = x尺.
F
2尺
A
D
初中数学
x
B
4尺
C
E
B
F 2尺
D
x
x-2
4尺
x-4 C
E
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？
初中数学
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 第一轮的传染源有几人？
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 第一轮的传染源有几人？ 第一轮的传染源只有 1 个人.
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( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121.
初中数学
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121 ( x + 1 ) ( x + 1 ) = 121. ( x + 1 )2 = 121.
x + 1 =±11. ∴ x1 =10， x2 = – 12 (不合题意，舍去).
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 如何用算术的方法解决这样的问题？
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 如果用方程的方法，你认为相等关系是什么？
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 如何理解“两轮传染”？
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 如何理解“两轮传染”？ 第一轮由 1 个人传染给几个人，为了便于理解，我 们先假定为 3 个人，那么第一轮传染后共有 4 个人 患流感. 这 4 个人就成为第二轮的传染源，每个人 又分别传染给 3 个人，那么第二轮的新患流感人数 为12 人.
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( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. x + 1 + x2 + x = 121. x2 + 2x + 1 = 121. ( x + 1 )2 = 121.
x + 1 =±11.
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( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. x + 1 + x2 + x = 121. x2 + 2x + 1 = 121. ( x + 1 )2 = 121.
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 如何理解“共有”？
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 如何理解“共有”？ 按照我们刚才的假设，第一轮传染后有 4 名患者， 第二轮传染后有 12 名新患者，那么两轮之后的总 人数就是 16 人.
初中数学
4尺
B
x-4 C
E
(x – 4) 2 + (x – 2) 2 = x 2. x 2 – 8x + 16 + x 2 – 4x + 4 = x 2.
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(x – 4) 2 + (x – 2) 2 = x 2. x 2 – 8x + 16 + x 2 – 4x + 4 = x 2.
x 2 – 12x + 20 = 0.
121×10 = 1210 (人). 三轮后感染的总人数是：121 + 1210 = 1331 (人).
初中数学
进一步思考：按照这样的情形，n 轮之后共有多少 人感染流感？
初中数学
进一步思考：按照这样的情形，n 轮之后共有多少 人感染流感？ 第一轮后：1 + 10 = 11 (人). 第二轮后：11 + 10×11 = 121 (人). 第三轮后：121 + 10×121 = 1331 (人).
x
x-2
4尺
B
x-4 C
E
【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
解：设 BD = x尺. 由题意，∠BCD = 90°， ∴BC 2 + CD 2 = BD 2 . ∴(x – 4) 2 + (x – 2) 2 = x 2 .
F
2尺
A
D
x
x-2
初中数学
【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
A
D
初中数学
B
C
【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
A
D
初中数学
B
C
【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
初中数学
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【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
解：设 BD = x尺.
由题意，∠BCD = 90°，
∴BC 2 + CD 2 = BD 2.
A
∴(x – 4) 2 + (x – 2) 2 = x 2．
解得x1 =10，
x2 =2 (不合题意，舍去). 答：户斜10尺.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
进一步思考：按照这样的情形，三轮之后共有多少 人感染流感？ 两轮传染之后共有 121 个人患了流感，第三轮的传 染源也正是这 121 人，所以第三轮感染的人数是：
121×10 = 1210 (人).
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进一步思考：按照这样的情形，三轮之后共有多少 人感染流感？ 两轮传染之后共有 121 个人患了流感，第三轮的传 染源也正是这 121 人，所以第三轮感染的人数是：
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进一步思考：如果最初有两个人患了流感，按照上 述的传染模式，第一轮、第二轮传染之后分别共有 多少人感染流感？
初中数学
进一步思考：如果最初有两个人患了流感，按照上 述的传染模式，第一轮、第二轮传染之后分别共有 多少人感染流感？ 第一轮后：2 + 20 = 22 (人).
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进一步思考：如果最初有两个人患了流感，按照上 述的传染模式，第一轮、第二轮传染之后分别共有 多少人感染流感？ 第一轮后：2 + 20 = 22 (人). 第二轮后：22 + 10×22 = 22×(1+ 10)= 2×112 (人).
【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
解：设 BD = x尺.
F
2尺
A
D
初中数学
x
4尺
B
x-4 C
E
【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
解：设 BD = x尺.
F
2尺
A
D
初中数学
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？
设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. 则第一轮后共有 ( x + 1 ) 个人患了流感；
第二轮共有
个人新患了流感.
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. 则第一轮后共有 ( x + 1 ) 个人患了流感； 第二轮共有 x ( x + 1 ) 个人新患了流感.
国家中小学课程资源
21.3 实际问题与一元二次方程（1）
年 级：九年级 主讲人：秦书锋
学 科：数学（人教版） 学 校：北京市第十五中学
【引例】 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有 户不知高广，竿不知长短. 横之不出四尺，纵之不 出二尺，斜之适出. 问户斜几何.
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【引例】 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有 户不知高广，竿不知长短. 横之不出四尺，纵之不 出二尺，斜之适出. 问户斜几何. 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高 长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
x + 1 =±11. ∴ x1 =10， x2 = – 12 (不合题意，舍去).
初中数学
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. x + 1 + x2 + x = 121. x2 + 2x – 120 = 0. ( x + 12 )( x – 10 ) = 0. ∴ x1 =10， x2 = – 12 (不合题意，舍去).
初中数学
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. 解得 x1 =10， x2 = – 12 (不合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人.
初中数学
(x – 4) 2 + (x – 2) 2 = x 2. x 2 – 8x + 16 + x 2 – 4x + 4 = x 2.
x 2 – 12x + 20 = 0. (x – 2)(x – 10) = 0.
初中数学
初中数学
(x – 4) 2 + (x – 2) 2 = x 2.
x 2 – 8x + 16 + x 2 – 4x + 4 = x 2.
初中数学
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. x + 1 + x2 + x = 121. x2 + 2x + 1 = 121.
初中数学
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. x + 1 + x2 + x = 121. x2 + 2x + 1 = 121. ( x + 1 )2 = 121.
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121.
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( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. x + 1 + x2 + x = 121.
初中数学
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. 解得 x1 =10， x2 = – 12 (不合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人. 进一步思考：按照这样的情形，三轮之后共有多 少人感染流感？
初中数学
进一步思考：按照这样的情形，n 轮之后共有多少 人感染流感？ 第一轮后：1 + 10 = 11 (人). 第二轮后：11 + 10×11 = 11×(1 + 10)= 112 (人). 第三轮后：121 + 10×121 = 121×(1 + 10) = 113 (人).
初中数学
进一步思考：按照这样的情形，n 轮之后共有多少 人感染流感？ 第一轮后：1 + 10 = 11 (人). 第二轮后：11 + 10×11 = 11×(1 + 10)= 112 (人). 第三轮后：121 + 10×121 = 121×(1 + 10) = 113 (人). …… 第 n 轮后共有 11n 人感染流感.
F
x 2 – 12x + 20 = 0.
2尺
A
D
(x – 2)(x – 10) = 0.
x
x-2
4尺
B
x-4 C
E
(x – 4) 2 + (x – 2) 2 = x 2. x 2 – 8x + 16 + x 2 – 4x + 4 = x 2.
x 2 – 12x + 20 = 0. (x – 2)(x – 10) = 0. ∴ x1 =10， x2 =2 (不合题意，舍去).
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？
设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
则第一轮后共有
个人患了流感；
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. 则第一轮后共有 ( x + 1 ) 个人患了流感；
A
D
初中数学
4尺
B
C
E
【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
F
2尺
A
D
初中数学
4尺
B
C
E
【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
解：设 BD = x尺.
F
2尺
A
D
初中数学
x
B
4尺
C
E
B
F 2尺
D
x
x-2
4尺
x-4 C
E
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？
初中数学
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 第一轮的传染源有几人？
初中数学
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 第一轮的传染源有几人？ 第一轮的传染源只有 1 个人.
初中数学
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121.
初中数学
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121 ( x + 1 ) ( x + 1 ) = 121. ( x + 1 )2 = 121.
x + 1 =±11. ∴ x1 =10， x2 = – 12 (不合题意，舍去).
初中数学
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 如何用算术的方法解决这样的问题？
初中数学
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 如果用方程的方法，你认为相等关系是什么？
初中数学
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 如何理解“两轮传染”？
初中数学
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 如何理解“两轮传染”？ 第一轮由 1 个人传染给几个人，为了便于理解，我 们先假定为 3 个人，那么第一轮传染后共有 4 个人 患流感. 这 4 个人就成为第二轮的传染源，每个人 又分别传染给 3 个人，那么第二轮的新患流感人数 为12 人.
初中数学
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. x + 1 + x2 + x = 121. x2 + 2x + 1 = 121. ( x + 1 )2 = 121.
x + 1 =±11.
初中数学
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. x + 1 + x2 + x = 121. x2 + 2x + 1 = 121. ( x + 1 )2 = 121.
初中数学
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 如何理解“共有”？
初中数学
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 如何理解“共有”？ 按照我们刚才的假设，第一轮传染后有 4 名患者， 第二轮传染后有 12 名新患者，那么两轮之后的总 人数就是 16 人.
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4尺
B
x-4 C
E
(x – 4) 2 + (x – 2) 2 = x 2. x 2 – 8x + 16 + x 2 – 4x + 4 = x 2.
初中数学
(x – 4) 2 + (x – 2) 2 = x 2. x 2 – 8x + 16 + x 2 – 4x + 4 = x 2.
x 2 – 12x + 20 = 0.
121×10 = 1210 (人). 三轮后感染的总人数是：121 + 1210 = 1331 (人).
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进一步思考：按照这样的情形，n 轮之后共有多少 人感染流感？
初中数学
进一步思考：按照这样的情形，n 轮之后共有多少 人感染流感？ 第一轮后：1 + 10 = 11 (人). 第二轮后：11 + 10×11 = 121 (人). 第三轮后：121 + 10×121 = 1331 (人).
x
x-2
4尺
B
x-4 C
E
【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
解：设 BD = x尺. 由题意，∠BCD = 90°， ∴BC 2 + CD 2 = BD 2 . ∴(x – 4) 2 + (x – 2) 2 = x 2 .
F
2尺
A
D
x
x-2
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【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
A
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初中数学
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【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
A
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初中数学
B
C
【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
初中数学
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【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
解：设 BD = x尺.
由题意，∠BCD = 90°，
∴BC 2 + CD 2 = BD 2.
A
∴(x – 4) 2 + (x – 2) 2 = x 2．
解得x1 =10，
x2 =2 (不合题意，舍去). 答：户斜10尺.
初中数学
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
进一步思考：按照这样的情形，三轮之后共有多少 人感染流感？ 两轮传染之后共有 121 个人患了流感，第三轮的传 染源也正是这 121 人，所以第三轮感染的人数是：
121×10 = 1210 (人).
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进一步思考：按照这样的情形，三轮之后共有多少 人感染流感？ 两轮传染之后共有 121 个人患了流感，第三轮的传 染源也正是这 121 人，所以第三轮感染的人数是：
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进一步思考：如果最初有两个人患了流感，按照上 述的传染模式，第一轮、第二轮传染之后分别共有 多少人感染流感？
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进一步思考：如果最初有两个人患了流感，按照上 述的传染模式，第一轮、第二轮传染之后分别共有 多少人感染流感？ 第一轮后：2 + 20 = 22 (人).
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进一步思考：如果最初有两个人患了流感，按照上 述的传染模式，第一轮、第二轮传染之后分别共有 多少人感染流感？ 第一轮后：2 + 20 = 22 (人). 第二轮后：22 + 10×22 = 22×(1+ 10)= 2×112 (人).
【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
解：设 BD = x尺.
F
2尺
A
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B
x-4 C
E
【引例】 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放， 竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
解：设 BD = x尺.
F
2尺
A
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初中数学
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？
设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. 则第一轮后共有 ( x + 1 ) 个人患了流感；
第二轮共有
个人新患了流感.
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【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. 则第一轮后共有 ( x + 1 ) 个人患了流感； 第二轮共有 x ( x + 1 ) 个人新患了流感.
国家中小学课程资源
21.3 实际问题与一元二次方程（1）
年 级：九年级 主讲人：秦书锋
学 科：数学（人教版） 学 校：北京市第十五中学
【引例】 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有 户不知高广，竿不知长短. 横之不出四尺，纵之不 出二尺，斜之适出. 问户斜几何.
初中数学
【引例】 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有 户不知高广，竿不知长短. 横之不出四尺，纵之不 出二尺，斜之适出. 问户斜几何. 注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高 长出二尺；斜放恰好能出去. 求户斜多长.
x + 1 =±11. ∴ x1 =10， x2 = – 12 (不合题意，舍去).
初中数学
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. x + 1 + x2 + x = 121. x2 + 2x – 120 = 0. ( x + 12 )( x – 10 ) = 0. ∴ x1 =10， x2 = – 12 (不合题意，舍去).
初中数学
【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共 有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. 解得 x1 =10， x2 = – 12 (不合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人.
初中数学
(x – 4) 2 + (x – 2) 2 = x 2. x 2 – 8x + 16 + x 2 – 4x + 4 = x 2.
x 2 – 12x + 20 = 0. (x – 2)(x – 10) = 0.
初中数学
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(x – 4) 2 + (x – 2) 2 = x 2.
x 2 – 8x + 16 + x 2 – 4x + 4 = x 2.
初中数学
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. x + 1 + x2 + x = 121. x2 + 2x + 1 = 121.
初中数学
( x + 1 ) + x ( x + 1 ) = 121. x + 1 + x2 + x = 121. x2 + 2x + 1 = 121. ( x + 1 )2 = 121.