第六章 不等式、推理与证明第五节 合情推理与演绎推理

考点三 演绎推理 【典例 3】 (2017· 全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询 问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给 甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说： “我还是不知道我的成绩。”根据以上信息，则( A．乙可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 ) B．丁可以知道四人的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
第六章
第五节
不等式、推理与证明
合情推理与演绎推理
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★★★2018 考纲考题考情★★★ 考纲要求 真题举例 命题角度
1.了解合情推理的含义， 能进行简 2017· 全国卷Ⅱ· T7(5 分)(归 单的归纳推理和类比推理，体会 纳推理) 合情推理在数学发展中的作用 1.归纳推
推理。 (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，
这些特征 的推理。 推出另一类对象也具有____________
特殊 的推理。 特殊 到__________ ②特点：是由__________
2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称
2016· 全国卷Ⅱ· T15(5 分)(演 理 2．类比推
2．了解演绎推理的含义，掌握演 绎推理)
绎推理的“三段论”，并能运用 2016· 北京高考· T8(5 分)(演 理 “三段论”进行一些简单推理 绎推理) 3．演绎推
3．了解合情推理和演绎推理的联 2016· 山东高考· T10(5 分)(归 理 系和差异 纳推理)
特殊 的推理。 一般 到__________ 为演绎推理。简言之，演绎推理是由__________
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式
一般原理 。 ①大前提——已知的____________ 特殊情况 。 ②小前提——所研究的____________ 特殊情况 做出的判断。 ③结论——根据一般原理，对____________
－
一行 5 个数时，最后一行仅一个数，为 48＝25 2×(5＋1)；当第一行 6 个数
－
时， 最后一行仅一个数， 为 112＝26－2×(6＋1)。 归纳推理得， 当第一行 2 016 个数时，最后一行仅一个数，为 22 016 2×(2 016＋1)。故选 B。
－
答案 (1)B
(2)对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5；33＝7＋9＋11； 43＝13＋15＋17＋19。 根据上述分解规律，则 52＝1＋3＋5＋7＋9，若 m3(m∈N*)的分解中最 小的数是 73，则 m 的值为________。
(2)(2018· 济宁模拟)已知 ai>0(i＝1,2,3，…，n)，观察下列不等式： a1＋a2 2 ≥ a1a2； a1＋a2＋a3 3 ≥ a1a2a3； 3 a1＋a2＋a3＋a4 4 ≥ a1a2a3a4； 4 …… a1＋a2＋…＋an 照此规律，当 n∈N*，n≥2 时， ≥________。 n
小|题|快|速|练 一、回归教材 1．(选修 2－2P84A 组 T3 改编)对于任意正整数 n,2n 与 n2 的大小关系为 ( ) A．当 n≥2 时，2n≥n2 C．当 n≥4 时，2n>n2 B．当 n≥3 时，2n≥n2 D．当 n≥5 时，2n>n2
解析 当 n＝2 时，2n＝n2；当 n＝3 时，2n<n2；当 n＝4 时，2n＝n2； 当 n＝5 时，2n>n2；当 n＝6 时，2n>n2；归纳判断，当 n≥5 时，2n>n2。故 选 D。 答案 D
1．进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类 比，提出猜想。其中找到合适的类比对象是解题的关键。 2．类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等 差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比 等。
【变式训练】 (2018· 桂林模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割 圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周 合体而无所失矣。”它体现了一种无限与有限的转化过程。比如在表达式 1 ＋ 1 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过 1＋ 1＋… 1 1 ＋ x ＝ x 求 得 x ＝ 5＋1 。 类 比 上 述 过 程 ， 则 2 1
运用归纳推理时的一般步骤 1．通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)。 2．把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)。 3．对所得出的一般性命题进行检验。
【变式训练】 (1)(2018· 渭南一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成 各种形状来研究数，例如：
他们研究过图中的 1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将 其称为三角形数， 由以上规律， 知这些三角形数从小到大形成一个数列{an}， 那么 a10 的值为( A．45 C．65 ) B．55 D．66
重点微提醒 1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确， 若要确定其正确性，则需要证明。 2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比， 就会犯机械类比的错误。 3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提 与推理形式是正确的，结论必定是正确的。若大前提或小前提错误，尽管 推理形式是正确的，但所得结论是错误的。
解析 从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论： 正四面体的外接球和内切球的半径之比为 3∶1，故正四面体 P－ABC 的内
3 V1 1 1 切球体积 V1 与外接球体积 V2 之比等于V ＝ 3 ＝27。 2
1 答案 27
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考点一 归纳推理 【典例 1】 (1)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的
解析 由已知三个式子知 n＝1 时，a＝1；n＝2 时，a＝22＝4；n＝3 时，a＝33＝27，由此归纳可得 a＝nn。 答案 nn
4．在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外 S1 1 接圆面积为 S2，则 ＝ ，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体 P S2 4 V1 －ABC 的内切球体积为 V1，外接球体积为 V2，则 ＝________。 V2
x1x 解析 (2)设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则点 P1，P2 的切线方程分别是 2 － a y 1y x2x y2y x1x0 y1y0 因为点 P0(x0， y0)在这两条切线上， 故有 a2 － b2 ＝1， b2 ＝1，a2 － b2 ＝1。 x2x0 y2y0 x0x y0y － ＝ 1 ，这说明 P ( x ， y ) ， P ( x ， y ) 在直线 1 1 1 2 2 2 a2 b2 a2 － b2 ＝1 上，故切点 x0x y0y 弦 P1P2 所在的直线方程是 2 － 2 ＝1。 a b x0x y0y 答案 (2) 2 － 2 ＝1 a b
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自|主|全|排|查 1．合情推理 (1)归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的
全部对象 都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推 ____________
理。
个别 一般 的 部分 到 __________ 整体 ②特点：是由__________ 、由 __________ 到__________
方 程
2 018＋2 017 2 018＋2 017 …＝________。
解析 由题意可得 2 018＋2 017x＝x(x≥0)，整理得(x＋1)(x－2 018) ＝0(x≥0)，解得 x＝2 018，即 2 018＋2 017 2 018＋2 017 …＝2 018。 答案 2 018
【解题导引】 本题以古代数学名著《九章算术》中割圆术的有限与无限思想为背景， 考查类比推理、转化与化归能力。
解析 (1)设数列{an}的公差为 d1，数列{bn}的公比an＝a1＋(n－1)d1，在等比数列中 bn＝b1q 。因为 am＋n＝ ，所以 n－m
n－ m
bm＋n＝
dn cm。
n－ m
答案 (1)
dn cm
x2 y2 (2)若 P0(x0，y0)在椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)外，过 P0 作椭圆的两条切线的切 x0x y0y 点为 P1，P2，则切点弦 P1P2 所在的直线方程是 a2 ＋ b2 ＝1，那么对于双曲线 x2 y 2 则有如下命题：若 P0(x0，y0)在双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)外，过 P0 作双曲 线的两条切线，切点为 P1，P2，则切点弦 P1P2 所在直线的方程是________。
解析 f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确。故选 C。 答案 C
3．已知 x∈(0，＋∞)，观察下列各式： 1 x＋x ≥2， 4 x x 4 x＋x2≥2＋2＋x2≥3， 27 x x x 27 x＋ 3 ＝ ＋ ＋ ＋ 3 ≥4， x 3 3 3 x …… a 类比得，x＋xn≥n＋1(n∈N*)，则 a＝________。
解析 (2)根据 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，从 23 起， m3 的分解规律恰为数列 3,5,7,9…中若干连续项之和，23 为前两项和，33 为 接下来三项和， 故 m3 的首个数为 m2－m＋1。 因为 m3(m∈N*)的分解中最小 的数是 73，所以 m2－m＋1＝73，解得 m＝9。 答案 (2)9
二、小题查验 1．数列 2,5,11,20，x,47，…中的 x 等于( A．28 C．33 B．32 D．27 )
解析 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出 x－20＝12，所以 x＝32。 故选 B。 答案 B
2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝sin(x2 ＋1)是奇函数，以上推理( A．结论正确 C．小前提不正确 ) B．大前提不正确 D．全不正确
2．(选修 2－2P84A 组 T5 改编)在等差数列{an}中，若 a10＝0，则有 a1 ＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且 n∈N*)成立。类比上述性质，在 等比数列{bn}中，若 b9＝1，则存在的等式为________。
解析 根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差 数列中是和，在等比数列中是积，故有 b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且 n ∈N*)。 答案 b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且 n∈N*)
a1＋a2＋…＋an n * 解析 (2)根据题意有 ≥ a 1a2…an(n∈N ，n≥2)。 n 答案 (2) a1a2…an
n
考点二 类比推理 【典例 2】 (1)已知数列{an}为等差数列，若 am＝a，an＝b(n－m≥1， nb－ma m，n∈N*)，则 am＋n＝ 。类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数 n－m 列{bn}(bn>0，n∈N*)，若 bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N)，则可以得到 bm＋n＝________。
解析 (1)第 1 个图中，小石子有 1 个，第 2 个图中，小石子有 3＝1＋ 2(个)，第 3 个图中，小石子有 6＝1＋2＋3 个，第 4 个图中，小石子有 10 10×11 ＝1＋2＋3＋4 个， ……故第 10 个图中， 小石子有 1＋2＋3＋…＋10＝ 2 ＝55(个)，即 a10＝55，故选 B。 答案 (1)B
《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”。
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩 上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( A．2 017×22 013 C．2 017×22 015 B．2 017×22 014 D．2 016×22 016 )
解析 (1)如图， 当第一行 3 个数时， 最后一行仅一个数， 为 8＝23－2×(3 ＋1)；当第一行 4 个数时，最后一行仅一个数，为 20＝24 2×(4＋1)；当第