线代第三章矩阵的秩
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设一般线性方程组为
a11 x1 a x 21 1 am 1 x1
a12 x2 a22 x2 am 2 x2
a1n xn a2 n xn amn xn
b1 b2 bm (1)
a11 a12 a1n a a22 a2 n 为方程组(1)的系数矩阵。 则称矩阵 A 21 am 1 am 2 amn
3 1 2 1 0 0 1 2 0 0 0 1
最后一行有 0 x3
1,
可知方程组无解。
x1 2 x2 3 x3 x2 x3 例3：解线性方程组 x1 3 x2 7 x2 3 x3
1 0 解： ( A, b) 1 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 1 2 4 2 1 3 7 4 1 4 8 3 1 0 3 4 1 3 1 1 0 1 0
a12 x2 a22 x2 am 2 x2 a1 n xn a2 n xn amn xn 0 0 0 (2)
a11 x1 a x 21 1 am 1 x1
称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。
举例说明消元法具体步骤：
2 x1 例2：解线性方程组 4 x 1 2 x 1
x2 x2
3 x3
1 4 0
2 x2
5 x3 4 x3
1 2 1 3 1 2 1 3 解： A, b ) 4 2 5 4 0 ( 0 1 2 2 1 4 0 0 0 1 1
3) 等价的矩阵，秩相同。 4) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。 P 可逆， A, 有 r ( PA) r ( A) r ( AP ) (5)
r ( AB ) min r ( A), r ( B ); Amn , Bn p r ( AB ) r ( A) r ( B ) n;
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
等价的矩阵，秩相同。
题型1：利用初等变换求矩阵的秩 为了计算矩阵A的秩，只要用初等行变换把A变成阶梯形即可。
3 3 例3: A 2 1
2 2 0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
0 1 3 求A的秩。 4
R( A) 3.
2 a 例：已知A a a a a 2 a a 2 a a a a a
ra A) n ( a a a a a 的秩为4，则a 2 a a 2
二、矩阵秩的性质
1) 0 秩( A) min m , n
r ( A) r ( AT ) 2) 任意矩阵 A, 有
证： (1) 若 r ( A) n, 则 A 0.
AA A E ,
A A A ,
n
A 0,
r ( A ) n.
(2) 若 r ( A) n 1, 则 A 中至少有一个n－1阶子式不为0，而 A中元素都是
A 的n－1阶子式，所以 A中至少有一个元素不为0，
a11 a 称矩阵 B ( A, b ) 21 am 1
为方程组(1)的增广矩阵。
a12 a22 am 2
a1 n a2 n amn
b1 b2 am
当
bi 0 (i 1, 2, , m ) 时,齐次线性方程组
1) 若d r 1
2) 若 d r 1
0，则方程组无解。 0, 则方程组有解，
r n 有唯一解。 当 r n 有无穷多解。
3) 特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组 一定有解。
r n 有唯一的零解。 当 r n 有无穷多解，即有非零解。
设A 44 , 且R( A) 2, 则R( A* ) ______, A* ____
设Anm , Bmn , m n, 则 AB ____
例5：设 A, B 为 n 阶矩阵，ABA B 1 , E 为 n 阶单位矩阵。
证明：r ( E AB ) r ( E AB ) n
结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数 用矩阵k阶子式定义求矩阵秩
例1:
1 求矩阵 A 2 4
2
2 3 7
2 3
3 5 的秩. 1
0.
解： 在 A 中， 1
2 0 例2： 求矩阵 B 0 0
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0， R( A) 2.
1 3 0 0 0 1 0 0 3 2 4 0 2 5 的秩. 3 0
解：
B是一个行阶梯形矩阵， 其非零行有3行，
2 而 0 0
B 的所有 4 阶子式全为零.
1 3 0 3 2 0, 4
r ( B) 4
r ( B) 3
R( B ) 3.
s1 n s2 n srn 0 0 0
t1 t2 tr t r 1 0 0
1 0 化为行最 0 简形矩阵 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
c1,r 1 c2,r 1 cr ,r 1 0 0 0
c1n c2 n crn 0 0 0
d1 d2 dr d r 1 0 0
(3)
则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。
由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况
2 1 2 0
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 0 2 0 0 0 0
x1 1 对应的方程组为 x2 x4 0 x 2x 0 4 3
x1 1 即 x 2 x4 x 2x 4 3
x1 1 x2 k 所以一般解为 （k为任意常数） x3 2k x4 k
二. 齐次线性方程组
Amn xn1 0m1 (2) 0m1 有非零解
1. 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理1：齐次线性方程组 Amn xn1
r A n
证：( E AB )( E AB ) E AB AB AB AB
E ( ABA) B 1 EB B EE0 r ( E AB ) r ( E AB ) n ( E AB ) ( E AB ) 2E r ( E AB ) r ( E AB ) n
定义：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程 （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程 （3） 互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换
B ( A, b )
4 x4 1 x4 0 x4 0 3 x4 1
1 1 0 0 0 0 0 0
2 1 0 0
3 1 1 0
4 1 2 0
1 0 0 0
1 0 0 0
2 1 0 0
0 0 1 0
第三节 矩阵的秩
设矩阵
Amn ,
存在可逆矩阵
P,Q
标准型
Es 使得 PAQ o
o o
Es 即矩阵A可以经过初等变换化为 o
o 形式。 o
S 与行阶梯型矩阵非零行的行数是确定的
一、概念
定义1 在一个m n 矩阵A中，任意取出k个行和k个列，位于这些 行及列的交叉处的元素按原来的位置组成一个k阶行列式， 称其为矩阵A的一个k阶子式。
题型2：已知矩形的秩，求参数值 1）如果矩阵是方阵 方法
满秩
奇异矩阵
A 0
A 0
2）如果矩阵不是方阵，用初等变换或k+1阶子式等于零
当n阶方阵A的秩为n时，也称A为满秩矩阵，否则称A为降秩矩阵。 3 1 2 2 例：设A= 1 A 2 0 x , 若R( A) 2, 则x 3 下列说法等价 4 是非奇异矩阵 2 5 A 7 A 是可逆矩阵 A 是满秩矩阵
初等行变换
s11 0 化为行阶 梯形矩阵 0 0 0 0
s12 s22 0 0 0 0
s1r s1r srr 0 0 0
s1,r 1 s2,r 1 sr , r 1 0 0 0
k k 显然，k minm, n ，且矩阵A一共有 C m C n
个k阶子式
定义2 矩阵A的不等于零的子式的最高阶数称为A的秩，记作秩（A） 或R(A)，并规定零矩阵的秩是零
(1) A 有r 阶子式不为0
所有r+1阶子式全为0
r( A) r
秩 ( A) r A 中有一个r阶子式不为零； 秩 ( A) r A 中所有 r 1 阶子式全为零
Amn , Bn p
当AB=0时，有 r ( A) r ( B ) n.
r ( A B ) r ( A) r ( B );
例7：设 A 是n阶矩阵 A 的伴随矩阵， n 2,
n, 若 r ( A) n; 证明： ( A ) 1, 若 r ( A) n 1; r 0, 若 r ( A) n 1.
则 r ( A ) 1.
又由 r ( A) n 1, 知 A 0,
则 AA A E 0
则 r ( A) r ( A ) n,
r ( A ) n r ( A) n ( n 1) 1, r ( A ) 1. 综上，
(3) 若 r ( A) n 1, 则 A 中所有n－1阶子式全为0， 则 A 中元素全为0，即 A 0, r ( A ) 0.
综上，r ( E AB ) r ( E AB ) n
A 0 例4：证明 r r ( A) r ( B ) 0 B
证：设 r ( A) s, r ( B ) t
Es 则经过初等变换，有 A ~ 0
0 Et ,B ~ 0 0
0 0
0 0
Es 0 E A 0 0 0 ~ s t ~ 0 B Et 0 0 0 0 A 0 r s t r ( A) r ( B ) 0 B
第四节
线性方程组
高斯消元法
定理2：齐次线性方程组
r A n
推论：齐次线性方程组
Amn xn1 0m1 只有零解 Ann xn1 0n1 只有零解
r A n
即
A 0, 即系数矩阵A可逆。
例4 : 求下列齐次方程组的通解。
x1 (1) 2 x1 3 x 1
a11 x1 a x 21 1 am 1 x1
a12 x2 a22 x2 am 2 x2
a1n xn a2 n xn amn xn
b1 b2 bm (1)
a11 a12 a1n a a22 a2 n 为方程组(1)的系数矩阵。 则称矩阵 A 21 am 1 am 2 amn
3 1 2 1 0 0 1 2 0 0 0 1
最后一行有 0 x3
1,
可知方程组无解。
x1 2 x2 3 x3 x2 x3 例3：解线性方程组 x1 3 x2 7 x2 3 x3
1 0 解： ( A, b) 1 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 1 2 4 2 1 3 7 4 1 4 8 3 1 0 3 4 1 3 1 1 0 1 0
a12 x2 a22 x2 am 2 x2 a1 n xn a2 n xn amn xn 0 0 0 (2)
a11 x1 a x 21 1 am 1 x1
称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。
举例说明消元法具体步骤：
2 x1 例2：解线性方程组 4 x 1 2 x 1
x2 x2
3 x3
1 4 0
2 x2
5 x3 4 x3
1 2 1 3 1 2 1 3 解： A, b ) 4 2 5 4 0 ( 0 1 2 2 1 4 0 0 0 1 1
3) 等价的矩阵，秩相同。 4) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。 P 可逆， A, 有 r ( PA) r ( A) r ( AP ) (5)
r ( AB ) min r ( A), r ( B ); Amn , Bn p r ( AB ) r ( A) r ( B ) n;
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
等价的矩阵，秩相同。
题型1：利用初等变换求矩阵的秩 为了计算矩阵A的秩，只要用初等行变换把A变成阶梯形即可。
3 3 例3: A 2 1
2 2 0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
0 1 3 求A的秩。 4
R( A) 3.
2 a 例：已知A a a a a 2 a a 2 a a a a a
ra A) n ( a a a a a 的秩为4，则a 2 a a 2
二、矩阵秩的性质
1) 0 秩( A) min m , n
r ( A) r ( AT ) 2) 任意矩阵 A, 有
证： (1) 若 r ( A) n, 则 A 0.
AA A E ,
A A A ,
n
A 0,
r ( A ) n.
(2) 若 r ( A) n 1, 则 A 中至少有一个n－1阶子式不为0，而 A中元素都是
A 的n－1阶子式，所以 A中至少有一个元素不为0，
a11 a 称矩阵 B ( A, b ) 21 am 1
为方程组(1)的增广矩阵。
a12 a22 am 2
a1 n a2 n amn
b1 b2 am
当
bi 0 (i 1, 2, , m ) 时,齐次线性方程组
1) 若d r 1
2) 若 d r 1
0，则方程组无解。 0, 则方程组有解，
r n 有唯一解。 当 r n 有无穷多解。
3) 特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组 一定有解。
r n 有唯一的零解。 当 r n 有无穷多解，即有非零解。
设A 44 , 且R( A) 2, 则R( A* ) ______, A* ____
设Anm , Bmn , m n, 则 AB ____
例5：设 A, B 为 n 阶矩阵，ABA B 1 , E 为 n 阶单位矩阵。
证明：r ( E AB ) r ( E AB ) n
结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数 用矩阵k阶子式定义求矩阵秩
例1:
1 求矩阵 A 2 4
2
2 3 7
2 3
3 5 的秩. 1
0.
解： 在 A 中， 1
2 0 例2： 求矩阵 B 0 0
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0， R( A) 2.
1 3 0 0 0 1 0 0 3 2 4 0 2 5 的秩. 3 0
解：
B是一个行阶梯形矩阵， 其非零行有3行，
2 而 0 0
B 的所有 4 阶子式全为零.
1 3 0 3 2 0, 4
r ( B) 4
r ( B) 3
R( B ) 3.
s1 n s2 n srn 0 0 0
t1 t2 tr t r 1 0 0
1 0 化为行最 0 简形矩阵 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
c1,r 1 c2,r 1 cr ,r 1 0 0 0
c1n c2 n crn 0 0 0
d1 d2 dr d r 1 0 0
(3)
则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。
由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况
2 1 2 0
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 0 2 0 0 0 0
x1 1 对应的方程组为 x2 x4 0 x 2x 0 4 3
x1 1 即 x 2 x4 x 2x 4 3
x1 1 x2 k 所以一般解为 （k为任意常数） x3 2k x4 k
二. 齐次线性方程组
Amn xn1 0m1 (2) 0m1 有非零解
1. 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理1：齐次线性方程组 Amn xn1
r A n
证：( E AB )( E AB ) E AB AB AB AB
E ( ABA) B 1 EB B EE0 r ( E AB ) r ( E AB ) n ( E AB ) ( E AB ) 2E r ( E AB ) r ( E AB ) n
定义：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程 （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程 （3） 互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换
B ( A, b )
4 x4 1 x4 0 x4 0 3 x4 1
1 1 0 0 0 0 0 0
2 1 0 0
3 1 1 0
4 1 2 0
1 0 0 0
1 0 0 0
2 1 0 0
0 0 1 0
第三节 矩阵的秩
设矩阵
Amn ,
存在可逆矩阵
P,Q
标准型
Es 使得 PAQ o
o o
Es 即矩阵A可以经过初等变换化为 o
o 形式。 o
S 与行阶梯型矩阵非零行的行数是确定的
一、概念
定义1 在一个m n 矩阵A中，任意取出k个行和k个列，位于这些 行及列的交叉处的元素按原来的位置组成一个k阶行列式， 称其为矩阵A的一个k阶子式。
题型2：已知矩形的秩，求参数值 1）如果矩阵是方阵 方法
满秩
奇异矩阵
A 0
A 0
2）如果矩阵不是方阵，用初等变换或k+1阶子式等于零
当n阶方阵A的秩为n时，也称A为满秩矩阵，否则称A为降秩矩阵。 3 1 2 2 例：设A= 1 A 2 0 x , 若R( A) 2, 则x 3 下列说法等价 4 是非奇异矩阵 2 5 A 7 A 是可逆矩阵 A 是满秩矩阵
初等行变换
s11 0 化为行阶 梯形矩阵 0 0 0 0
s12 s22 0 0 0 0
s1r s1r srr 0 0 0
s1,r 1 s2,r 1 sr , r 1 0 0 0
k k 显然，k minm, n ，且矩阵A一共有 C m C n
个k阶子式
定义2 矩阵A的不等于零的子式的最高阶数称为A的秩，记作秩（A） 或R(A)，并规定零矩阵的秩是零
(1) A 有r 阶子式不为0
所有r+1阶子式全为0
r( A) r
秩 ( A) r A 中有一个r阶子式不为零； 秩 ( A) r A 中所有 r 1 阶子式全为零
Amn , Bn p
当AB=0时，有 r ( A) r ( B ) n.
r ( A B ) r ( A) r ( B );
例7：设 A 是n阶矩阵 A 的伴随矩阵， n 2,
n, 若 r ( A) n; 证明： ( A ) 1, 若 r ( A) n 1; r 0, 若 r ( A) n 1.
则 r ( A ) 1.
又由 r ( A) n 1, 知 A 0,
则 AA A E 0
则 r ( A) r ( A ) n,
r ( A ) n r ( A) n ( n 1) 1, r ( A ) 1. 综上，
(3) 若 r ( A) n 1, 则 A 中所有n－1阶子式全为0， 则 A 中元素全为0，即 A 0, r ( A ) 0.
综上，r ( E AB ) r ( E AB ) n
A 0 例4：证明 r r ( A) r ( B ) 0 B
证：设 r ( A) s, r ( B ) t
Es 则经过初等变换，有 A ~ 0
0 Et ,B ~ 0 0
0 0
0 0
Es 0 E A 0 0 0 ~ s t ~ 0 B Et 0 0 0 0 A 0 r s t r ( A) r ( B ) 0 B
第四节
线性方程组
高斯消元法
定理2：齐次线性方程组
r A n
推论：齐次线性方程组
Amn xn1 0m1 只有零解 Ann xn1 0n1 只有零解
r A n
即
A 0, 即系数矩阵A可逆。
例4 : 求下列齐次方程组的通解。
x1 (1) 2 x1 3 x 1