管理运筹学03对偶问题

解：对偶规划：
minW=2y1 +3y 2 -5y3 +y 4 y1 + y 2 -3y3 +y 4 5 2y +2y3 -y 4 4 1 y 2 +y3 +y 4 6 y1 0, y 2 0, y3 0, y 4无约束
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写出下列线性规划的对偶问题
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性质1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题

max Z=C X s.t. AX≥b X ≥0
min W= Y b s.t. YA ≥ C Y≤0
性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 (D)的可行解，则必有
和0 分别是问题(P)和 X Y0
m
CX Y b
0 0
Hale Waihona Puke Baidu即： c j x j yi bi
2
5 x 15 6 x 2 x 24
1 2
x x 5
1 2
厂 家
x,x 0
1 2
y 设：设备A —— 1
元／时 元／时
y2 设备B ––––
y3 调试工序 ––––
元／时
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
收 购

厂家能接受的条件：
5 y1 2 y 2 5 y1 4 y 2 3 s.t. y1 3 y 2 2 8 y1 2 y 2 4 y1 0, y2无约束
写出下列线性规划的对偶问题
maxZ= 5x1 +4x 2 +6x 3 2 x1 +2x 2 + x3 3 x1 -3x1 +2x 2 +x 3 -5 x -x +x =1 2 3 1 x1 0,x 2 0,x 3无约束
min z
的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题） 约束条件右端项 目标函数变量的系数 目标函数变量的系数 约束条件右端项 目标函数 max 目标函数 min 约 m个 m个 束 变 ≤ ≥0 条 量 ≥ ≤0 件 = 无约束 n个 n个 约 变 束 ≥0 ≥ 量 条 ≤0 ≤ 件 = 无约束
x1 X x2
Y (y1,y2 ,y3 )
A (aij )
b1 b b2 b3
特点：
1． max
min
价值向量C
其它形式 的对偶
?
2．限定向量b
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z 的LP约束“
”
minmax其它形式的对偶原问题或对偶问题对偶问题或原问题约束条件右端项目标函数变量的系数目标函数变量的系数约束条件右端项目标函数max目标函数minmax111212minw2y3y5y2y2y无约束解
对偶问题
一、对偶问题的提出 二、原问题与对偶问题的数学模 型 三、原问题与对偶问题的对应关 系 四、对偶问题的性质 五、对偶问题的经济意义 六、对偶单纯形法
y ,y ,y 0
1 2 3
厂 家
偶 问 题
原问题

对偶问题
max s.t.
z CX AX b X0
min s.t.
w Yb YA C Y 0
一 般 规 律
3个约束 2个变量
2个约束 3个变量
C (c1 , c2 )
j 1 i 1
n
推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值 的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目 标函数值的上界。
推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但 目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。这也是对 偶问题的无界性。
原问题与对偶问题可能出现的情况
原 问 题
max z 2 x1 x 2 s.t. 5 x 2 15 6 x1 2 x 2 24 x1 x 2 5 x1, x 2 0
min w 15 y1 24 y2 5 y3 s.t 6y y 2 对
2 3
收 购
5y 2y y 1
1 2 3
出让代价应不低于 2 6 y2 y3 用同等数量的资源 5 y1 2 y2 y3 1 自己生产的利润。
单位产品Ⅰ出租 收入不低于2元 单位产品Ⅱ出租 收入不低于1元

收购方的意愿： min w 15 y1 24 y2 5 y3
Ⅰ 设备A 设备B 调试工序 利润（元） 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 D 15时 24时 5时
（1）两者都有最优解，且最优值相等；
（2）一个有可行解，但无界，则另一个无可 行解； （3）两者都无可行解。
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minZ= 9x1 +6x 2 -3x3 2x1 + x 2 -4 x3 4 -3x -x +x =-2 1 2 3 2x1 +2x 2 +x3 6 x1 , x 2 ,x 3 0 解：上述问题的对偶规划：
maxW=4y1 -2y2 +6y3 2y1 －3 y2＋2y3 9 y －y +2y3 6 1 2 －4y1＋ y2 +y3 －3 y1 0, y2自由变量, y3 0

例:
max z 5 x1 3x 2 2 x3 4 x 4 5 x1 x 2 x3 8 x 4 8 s.t 2 x1 4 x 2 3x3 2 x 4 10 x1,x2 0 x3 ,x4 无约束
对偶问题为
min w 8 y1 10y2

一、对偶问题的提出
例：某家电厂家利用现有资源生产 两种产品， 有关数据如下表：
产品Ⅰ 设备A 设备B 调试工序 利润（元） 0 6 1 2 产品Ⅱ 5 2 1 1 D 15时 24时 5时
设
Ⅰ产量––––– Ⅱ产量–––––
x2
x1
1 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x x s.t.