第14课时三角形全等的判定(4)——HL
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
AD=AF，AC=AE．求证：BC=BE．
证明：∵AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，且
AD=AF，AC=AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．
∴CD=EF．
∵AD=AF，AB=AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．
∴BD=BF．
∴BD-CD=BF-EF．
即BC=BE．
9. 如图14-13，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD．求证：
= ____________，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
典型例题
知识点1
利用全等证明角或线段相等
【例1】 如图14-2，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足分别为B，C，
OB=OC，求证：∠OAB=∠OAC．
证明：∵OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠OBA=∠OCA=90°.在Rt△OAB和
∴∠A=∠D=90°．又∵BC=CE，AB=CD，
∴△ABC≌△DCE(HL)．
∴∠B=∠DCE．∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°．
∴∠BCE=90°，即BC⊥CE.
变式训练
3. 如图14-7， AB⊥AD，ED⊥AD，BD=CE，AD=DE，求证：
BD⊥CE.
证明：∵AB⊥AD，ED⊥AD，
= ，
ቊ
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD
（HL）.∴∠CBA=∠DAB.
B组
6. 如图14-10，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，
DE=BF．求证：（1）AF=CE；（2）AB∥CD．
证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
= ,
在△ABF和△CDE中，ቊ
= ,
Rt△OAC中，ቊ
= ,
∴Rt△OAB≌Rt△OAC
（HL）.∴∠OAB=∠OAC．
变式训练
1. 如图14-3，点C,E,B,F在一条直线上，AB⊥CF于点B，
DE⊥CF于点E，AC=DF，AB=DE．求证：CE=BF．
证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC=∠DEF=90°．
∴∠A=∠CDE=90°．
又∵BD=CE，AD=DE，
∴△ABD≌△DCE（HL）．
∴∠B=∠DCE．
∵∠B+∠ADB=90°，
∴∠ADB+∠DCE=90°,即BD⊥CE．
A组
4. 如图14-8，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．求证：
BD=CD，∠1=∠2．
证明：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
第十二章 全等三角形
第14课时
三角形全等的判定（4）——HL
目录
01 知识点导学
02 分层训练
A．斜边与一条直角边对应相 1. 根据左图14-1写出几何语
言：
等的两个直角三角形全等
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
（HL）．
____________
= ____________，
൜____________
证明：（1）∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°．
又∵BF=AC，FD=CD，
∴△ADC≌△BDF（HL）．
（2）∵△ADC≌△BDF，∴∠EBC=∠DAC．
又∵∠DAC+∠C=90°，∴∠EBC+∠C=90°．
∴∠BEC=90°.∴BE⊥AC．
C组
8. 如图14-12，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，如果
∴∠CEA=∠DFB=90°．
= ,
在Rt△ACE与Rt△BDF中,ቊ
= ,
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）．
∴∠A=∠B.∴AC∥BD．
典型例题
知识点3
利用全等证明垂直
【例3】如图14-6，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，BC=CE，求证：
BC⊥CE.
证明：∵AB⊥AD，ED⊥AD，
点F是CD的中点．
证明：如答图14-1，连接AC,AD.
在△ABC和△AED中，AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,
∴△ABC≌△AED（SAS）.
∴AC=AD.
∵AF⊥CD，
∴∠AFC=∠AFD=90°.
= ,
在RtD（HL）.∴CF=DF.
= ,
在Rt△ABD与Rt△ACD中，ቊ
= ,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴BD=CD，∠1=∠2.．
5. 如图14-9，AD，BC相交于点O，AD=BC，
∠C=∠D=90°．求证：∠CBA=∠DAB.
证明：∵∠D=∠C=90°，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴点F是CD的中点.
谢
谢
∴∠BAC=∠DCA=
90°．在Rt△ABC与Rt△CDA中，
= ，
ቊ
= ,
∴Rt△ABC≌Rt△CDA
（HL）.∴∠ACB=∠CAD.∴AD∥BC．
变式训练
2. 如图14-5，已知CE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AB，垂足为点F，
AC=BD，CE=DF，求证：AC∥BD．
证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
= ,
∴△ABF≌△CDE（HL）．
∴AF=CE．
（2）由（1）知△ABF≌△CDE,
∴∠DCE=∠BAF.
即∠ACD=∠CAB.
∴AB∥CD．
7. 如图14-11, AD为△ABC上的高，E为AC上一点,BE交AD
于点F,BF=AC，FD=CD．求证：
（1）△ADC≌△BDF；（2）BE⊥AC．
= ,
在Rt△ABC和Rt△DEF中，ቊ
= ,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
∴BC=EF．∴BC-BE=EF-BE,即CE=BF．
典型例题
知识点2
利用全等证明平行
【例2】如图14-4，AD=BC，AB⊥AC，AC⊥DC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC，AC⊥DC，
证明：∵AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，且
AD=AF，AC=AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．
∴CD=EF．
∵AD=AF，AB=AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．
∴BD=BF．
∴BD-CD=BF-EF．
即BC=BE．
9. 如图14-13，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD．求证：
= ____________，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
典型例题
知识点1
利用全等证明角或线段相等
【例1】 如图14-2，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足分别为B，C，
OB=OC，求证：∠OAB=∠OAC．
证明：∵OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠OBA=∠OCA=90°.在Rt△OAB和
∴∠A=∠D=90°．又∵BC=CE，AB=CD，
∴△ABC≌△DCE(HL)．
∴∠B=∠DCE．∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°．
∴∠BCE=90°，即BC⊥CE.
变式训练
3. 如图14-7， AB⊥AD，ED⊥AD，BD=CE，AD=DE，求证：
BD⊥CE.
证明：∵AB⊥AD，ED⊥AD，
= ，
ቊ
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD
（HL）.∴∠CBA=∠DAB.
B组
6. 如图14-10，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，
DE=BF．求证：（1）AF=CE；（2）AB∥CD．
证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
= ,
在△ABF和△CDE中，ቊ
= ,
Rt△OAC中，ቊ
= ,
∴Rt△OAB≌Rt△OAC
（HL）.∴∠OAB=∠OAC．
变式训练
1. 如图14-3，点C,E,B,F在一条直线上，AB⊥CF于点B，
DE⊥CF于点E，AC=DF，AB=DE．求证：CE=BF．
证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC=∠DEF=90°．
∴∠A=∠CDE=90°．
又∵BD=CE，AD=DE，
∴△ABD≌△DCE（HL）．
∴∠B=∠DCE．
∵∠B+∠ADB=90°，
∴∠ADB+∠DCE=90°,即BD⊥CE．
A组
4. 如图14-8，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．求证：
BD=CD，∠1=∠2．
证明：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
第十二章 全等三角形
第14课时
三角形全等的判定（4）——HL
目录
01 知识点导学
02 分层训练
A．斜边与一条直角边对应相 1. 根据左图14-1写出几何语
言：
等的两个直角三角形全等
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
（HL）．
____________
= ____________，
൜____________
证明：（1）∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°．
又∵BF=AC，FD=CD，
∴△ADC≌△BDF（HL）．
（2）∵△ADC≌△BDF，∴∠EBC=∠DAC．
又∵∠DAC+∠C=90°，∴∠EBC+∠C=90°．
∴∠BEC=90°.∴BE⊥AC．
C组
8. 如图14-12，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，如果
∴∠CEA=∠DFB=90°．
= ,
在Rt△ACE与Rt△BDF中,ቊ
= ,
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）．
∴∠A=∠B.∴AC∥BD．
典型例题
知识点3
利用全等证明垂直
【例3】如图14-6，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，BC=CE，求证：
BC⊥CE.
证明：∵AB⊥AD，ED⊥AD，
点F是CD的中点．
证明：如答图14-1，连接AC,AD.
在△ABC和△AED中，AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,
∴△ABC≌△AED（SAS）.
∴AC=AD.
∵AF⊥CD，
∴∠AFC=∠AFD=90°.
= ,
在RtD（HL）.∴CF=DF.
= ,
在Rt△ABD与Rt△ACD中，ቊ
= ,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴BD=CD，∠1=∠2.．
5. 如图14-9，AD，BC相交于点O，AD=BC，
∠C=∠D=90°．求证：∠CBA=∠DAB.
证明：∵∠D=∠C=90°，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴点F是CD的中点.
谢
谢
∴∠BAC=∠DCA=
90°．在Rt△ABC与Rt△CDA中，
= ，
ቊ
= ,
∴Rt△ABC≌Rt△CDA
（HL）.∴∠ACB=∠CAD.∴AD∥BC．
变式训练
2. 如图14-5，已知CE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AB，垂足为点F，
AC=BD，CE=DF，求证：AC∥BD．
证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
= ,
∴△ABF≌△CDE（HL）．
∴AF=CE．
（2）由（1）知△ABF≌△CDE,
∴∠DCE=∠BAF.
即∠ACD=∠CAB.
∴AB∥CD．
7. 如图14-11, AD为△ABC上的高，E为AC上一点,BE交AD
于点F,BF=AC，FD=CD．求证：
（1）△ADC≌△BDF；（2）BE⊥AC．
= ,
在Rt△ABC和Rt△DEF中，ቊ
= ,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
∴BC=EF．∴BC-BE=EF-BE,即CE=BF．
典型例题
知识点2
利用全等证明平行
【例2】如图14-4，AD=BC，AB⊥AC，AC⊥DC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC，AC⊥DC，