小学奥数公式

资料范本
本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载
小学奥数公式
地点：__________________
时间：__________________
说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容
公式
1. 平方差公式 a2 - b2 = ( a + b )( a – b )
2. 和平方公式 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
3. 差平方公式 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
4. 等差数列公式Sn = a1+an2×n = a1×n + n(n-1)2×d
n = an-a1d + 1
5. 立方和公式: a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 )
6. 立方差公式: a3 – b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 )
7. 奇数和公式: 1 + 3 + 5 + …… + (2n-1) = n2
8. 偶数和公式: 2 + 4 + 6 + …… + 2n = n(n+1)
9. 多数平方和公式: 12 + 22 + 32 + …… + n2 = nn+1(2n+1)6
10. 多数立方和公式: 13 + 23 + 33 + …… + n3 = (1 + 2 + …… + n)2
11. 特种公式: 1×2 + 2×3 + 3 LINK Word.Document.12 E:\\个人资料\\知识库\\生活点滴\\贝贝\\五年级家庭学习计划.docx OLE_LINK1 \a \r ×4 + …… + n× (n+1)
= 12 + 22 + 32 + …… + n2 + 1+ 2 + 3 + …… + n
=13 n(n+1)(n+2)
与因数相关的知识
1. 因数个数：分解质因数后，所有指数加1后的乘积。

2. 因数和：设A＝2a×3b×5c
那么因数和＝（20+21+…+2a）×（30+31+…+3b）×（50+51+…+5c）
3. 因数积：设A＝2a×3b×5c
那么因数积＝A因数个数/2(完全平方数除外)
4. 因数倒数和：设A＝2a×3b×5c
那么 1a + 1b + 1c = 因数和A 17
57
1
37
循环小数
7
4
7： 17＝0.142857
27＝0.285714
5
47
8
27
2
37＝0.428571
67
47＝0.571428
57＝0.714285
513
1213
1013
913
413
313
213
113
67＝0.857142
13： 113＝0.076923 213＝0.153846 8
3
5
1
6
4
3
2
9
6
7
313＝0.230769 513＝0.384615
413＝0.307692 613＝0.461538
713
1113
813
813
913＝0.692307 713＝0.538461
1013＝0.769230 813＝0.615384 1213＝0.923076 1113＝0.846153
排列组合进阶
※ 排列是先选再排，组合是只选不排。

Cnm=Cnn-m(n里选m个的数量和n里(n-m)个不选的数量是一样的)
Cn0=Cnn＝1（一个不选和全部都选只有一种情况）
Cn0+Cn1+Cn2+……+Cnn=2n(每个元素有选中和不选中两种情况)
常用方法：
1. 优限法：找出特殊的情况，先把特殊的情况分组（有可能需要细分，如0，2，4又分为0和2，4），再计算其他情况
2. 捆绑法：相邻问题，直接捆在一起，算一个，再与其他的排，注意捆在一起包内的，也
要排序，然后两个数乘积即可。

3. 插空法：求不相邻问题，那就把他们仍出去，先排剩下的，排完，再插空，查出多少个
空位再选多少个元素去插空即可。

4. 大除法：先把所有的元素排列数量求出来，再找出限定条件的元素单独排一排，并找到
限定条件后占全部限定元素排列的比率，再与所有排列数量相乘即可。

5. 插板法：都变为“至少一个”的情况，再查空位，插板，用C计算即可。

6. 排除法：正面求解困难，则利用反向求解，再用全部减去反向，可得正向解。

余数
a ÷
b = m ......n (0≤n＜b)
推论1： m为(a ÷ b)的整数部分,而n为(a ÷ b)的小数部分的b倍。

推论2：当a、b同时扩大k倍，则商值m不变，余数n扩大k倍。

推论3：（a, b）= （b, r）最大公因数相等，辗转相除求最大公因。

余数性质：
1. 周期性。

2. 余数的和等于和的余数。

3 余数的差等于差的余数。

虞姬每周拿着鱼叉去鱼河抓鱼。

4. 余数的积等于积的余数。

物不知数（中国剩余定理）
1. 减同余：如果一个数除以不同的数余数相同，则只需求出除数的最小公倍数，再加上余数，即为最小的被除数。

例：A÷3余1，A÷5余1，问A最小多少？
解：3和5的最小公倍数为15，15+1＝16，A最小值为16.
2. 加同补：如果一个数除以几个不同的数，余数分别与除数互补，则只需求出除数的最小公倍数，再减去补数，即为最小的被除数。

例：A÷7余6
A÷6余5，
A÷5余4，
A÷4余3，求A最小多少？
解：余数与除数互补，[7，6，5，4]＝420，420－1＝419，A最小为419.
3. 试数法：先找第一个式子满足的数，再套用第二个式子，求解。

例：A÷7余5
A÷6余3，求A最小多少？
解：试第一项满足的数：5，12，19，26，33，40
分别套用第二式，发现33满足条件，所以A最小为33，通式为33+42K。

4. 逐级满足法：用第一个式子设商值为K，然后求得被除数，代入二式，求K，即为最小的被除数。

例：A÷7余5
A÷6余3，求A最小多少？
解：设A÷7＝K余5
A=7K+5代入第二式中，得，（7K+5）÷6余3，得7K÷6余4
当K＝4时，满足。

即A=7K+5＝33，通式为A=33+42K
同余
定义：对于自然数A、B，除以相同的数m，所得的余数也相同，则称A、B 对于模m同余。

表示为A≡B（mod m）读作：“A同余于B，模m ”
推论1：若A＞B，A÷m＝X…….n
B÷m＝Y…….n
那么，A-B＝（X-Y）m; m能整除A、B的差, m∣(A-B).
推论２：若A≡B（mod m），B≡C（mod m）
那么，A≡C（mod m）；
推论３：若A≡B（mod m），C≡D（mod m）
那么，（A±C）≡（B±D）（mod m）；AC≡BD（mod m）
推论4：若A≡B（mod m），那么An≡B n（mod m）
分数比较大小
手段一：十字相乘法
ba dc b·aca d·acc bc ad 即bc代表左边，ad代表右边。

手段二：作差
A－B＞0 A＞B A－B＜0 A＜B
手段三：作商
AB＞1 A＞B AB＜1 A＜B
手段四：取倒数
1A＞1B A＜B 1A＜1B A＞B
手段五：化小数
手段六：基准法
真分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越大
假分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越小
在1013，1417之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是真分数，则1417＞1013
在1310，1714之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是假分数，则1310＞1714
手段七：通分差法（将分子分母变为差一定，再用手段六判断大小）
在56，1419之间比较大小，先将56变为2530，分子与分母差都为5，真分数，则56＞1419
手段八：糖水法（糖水的甜度＝糖糖+水）
模型一：ba＜b+ma+m (在糖水中加入糖，糖水的甜度增加，也可以理解为通分差)
模型二：ba＜b+da+c＜dc (糖水中加入另一糖水，新的糖水的甜度在二者之间)
模型三：ba=mbma＜mb+ndma+nc＜ndnc=dc ba＜mb+ndma+nc＜dc 有趣的巧数
1. 33......3×33......3＝11......1088 (89)
n个3 n个3 n－1个1 n－1个8
推论：6666×6666＝44435556，9999×9999＝99980001，3333×6666＝22217778
3333×9999＝33326667，6666×9999＝66653334
2. 33......3×33......34＝11......122 (2)
n个3 n－1个3 n个1 n个2
推论：6666×3334＝22224444，9999×3334＝33336666
3. 111＝3×37 10001＝73×37 2007＝
32×223
999＝27×37 10101＝3×7×13×37 2008＝23×251 11111＝271×41 1995＝3×5×7×19 2015＝5×13×31 111111＝3×7×11×13×37 1998＝2×33×37 2016＝25×3×7
4. 头同尾和10：两个两位数相乘，如首位相同，末位加和为10，则得数四位数中前两位为首位与首位加1的乘数，末两位为尾数相乘的乘数。

如：53×57＝3021，84×86＝7224，39×31＝1209……
5. 完全平方数口算：找到接近5与0的数再利用平方差公式计算
如：782＝802-（802－782）＝6400-（80+78）×2＝6400-316＝6084
762＝752+（762－752）＝5625+（76+75）＝5625+151＝5776
6. 123456789×8+9＝987654321
7. M×99……9的数字和为9K.（其中M＜99……9）
K个9
8. （13 + 17 + 115）×（17 + 115 + 123）－（13 + 17 + 115 + 123）×（17 + 115）＝13×123
两项乘积－两项乘积问题：把最长的算式看作小龙，则原式为：
（有头无尾小龙）×（无头有尾小龙）－小龙×（无头无尾小龙）
则结果为头尾相乘。

9. 1×2 + 2×3 +……+ n×(n+1) ＝13×n×n+1×(n+2)
1×a1 + 2×a2 +……+ n×an ＝16×n×(n+1)×(2an+a1),a1,a2……an 为等差数列
分数的分解
设 1A ＝ 1A+m + 1A+n ，
则得出：1A ＝ 1A+m + 1A+n ＝ 2A+m+nA+m（A+n)
所以：（A+m）(A+n)＝A×(2A+m+n)，即A2+(m+n)A+mn＝2A2+(m+n)A
可得：A2＝mn
解题思路：只需将分母平方后分解质因数，找到一对质因数后，分别加上原分母作为等式右边的两个分母。

例：将112拆分成若干个分数单位的和。

解：12的平方＝144，而144＝1×144＝2×72＝4×36＝8×18＝……
所以112 ＝ 113 + 1156 ＝ 114 + 184 ＝ 116 + 148 ＝ 120 + 130 ＝……
要拆分成三个式子相加如何做？
先拆成两个，再将其中一个拆成两个即可。

最值问题
（1）两数和一定，则两数差越小，乘积越大，两数差越大，乘积越小。

（2）两数积一定，则两数差越小，加和越小，两数差越大，加和越大。

（3）多3少2不拆1原则。

例：14拆成几个自然数的积，求积最大值？
+
六大几何模型
1. 等积模型：平行平移模型和等高模型
2. 一半模型：
3. 鸟头模型（共角模型）
S4
S3
S2
b
a
S3
S2
S4
D
A
A
D
AD×AEAB×AC＝SADESABC
O
E
C
B
B
C
4. 蝴蝶模型
（1）风筝模型（任意四边形）
S1×S3＝S2×S4 （对顶面积乘积相等）
AO:OC＝S1：S4＝S2：S3＝（S1+S2）：（S4+S3) （2）梯形中的蝴蝶模型（梯形）
S1
S1
S1＝S3
S1×S3＝S2×S4 （对顶面积乘积相等）
S1：S2：S3：S4＝ab:b2:ab:a2
梯形S对应的份数为(a+b)2
5. 燕尾模型
A
A
f
e
d
c
b
a
ab×cd×ef＝1 a×c×e＝b×d×f
左面积右面积＝左线段右线段（每一底边对应三对面积与线段的比）
串性：大面积小面积＝大面积包含的线段小面积包含的线段
6. 金字塔、沙漏模型（比例模型）：形状相同，大小不同的两个三角形。

如果DE平行BC，那么
（1）ADAB＝AEAC＝DEBC＝AFAG
B
G
F
E
E
D
D
C
C
B
（2）两个三角形面积比＝对应边长的平方比
7. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边长为a,b,斜边长为c,则有c2＝a2+b2
a
c
a
b
b
b
a
b
a
a
b
b
b
b
a
内弦图：外弦图：
a
b-a
a
S1
S2
S3
a
c
b
b-a
C2
a2
b2
a
b
a
常见勾股整数：常见模型：
3， 4， 5；
5，12，13；
S3
S2
S1
7，24，25；
8，15，17；
9，40，41； S1+S2＝S3
8. 毕克定理：计算点阵中顶点在格点上的多边形面积
S＝（n + l2 -1）×小四边形面积
其中：n是多边形内部的点数
l是多边形边界上点数
9. 海伦公式：S2＝p(p-a)(p-b)(p-c)，a,b,c为三角形三边长，p＝a+b+c2（半周长）
循环小数
1. 有限小数：分母质因子只有2或5
2. 纯循环小数：分母质因子无2也无5
3. 混循环小数：分母质因子即含其他也含2或5.
小数化分数：
1. 纯循环小数化分数：
0.a＝a9; 0.ab＝ab99; 0.abc＝abc999
2. 混循环小数化分数：
0.ab＝ab-a90; 0.abc＝abc-a990; 0.abcd＝abcd-ab9900 正方体展开图（共11种）
A1
A1
A1
A1
A2
A
A2
A
A2
A2
A
A
B
B
B
B
规律：（1）对面规律，两个相对的面展开后是日字或之字两个距离最远的面。

（2）对角点规律：在展开图中出现日字，通常用来寻找正方体复合的重合点。

如上图中，A点的对角点为B点，A1，A2点与A点重合。

质数
1. 0和1即不是质数，也不是合数。

2. 除了2其余的质数都是奇数，除了2和5，其余的质数个位数字只有1，3，7，9.
3. 最小的三位质数是101，最小的四位质数是1009.
质数的判定方法：
找到一个大于且接近该数的完全平方数K2，再列出所有不大于K的质数，判断这些质数能否被该数整除，如不能，则该数就是质数。

例149是否是质数：132是大于149的，最接近149的数，所以用149除以2，3，5，7，9，11，13，都不能整除，那么149是质数。

两数互质的情况：
1. 两个连续自然数必互质。

2. 两个连续奇数必互质。

3. 一个大质数与一个小合数必互质。

4. 1与任何非零自然数互质。

因数公因数公倍数
最大公因数性质：
1. 几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。

2. 几个数都乘以一个自然数N，所得积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以N
最小公倍数性质：
1. 两个互质的数的最小公倍数就是它们的乘积。

2. 两个数有倍数关系，则它们的最小公倍数就是较大的数，最大公因数为较小的数。

分数的最大公因数和最小公倍数：
最大公因数：先把带分数化为假分数，其他分数不变，求出各个分数的分母的最小公倍数A及分子的最大公因数B，AB 即为所求。

简记为“子同母反”（分子求最大公因，分母求最小公倍）
最小公倍数：先把带分数化为假分数，其他分数不变，求出各个分数的分子的最小公倍数A及分母的最大公因数B，AB 即为所求。

简记为“子同母反”（分子求最小公倍，分母求最大公因）
对于任意连接3个自然数，如果它们的奇偶性为：
奇偶奇：那么三个数的乘积为最小公倍数（三数互质）
偶奇偶：三个数乘积的一半为最小公倍数。

奇数偶数
推论：对于任意2个整数A，B ，有A+B与A-B同奇或同偶。

完全平方数
性质：
1. 尾数为0，1，4，5，6，9.
2. 被4除，余数为1或0.
3. 被3除，余数为1或0.
4. 偶指奇因：分解质因数后，指数都为偶数；完全平方数的因数个数为奇数。