极值点偏移问题的两种常见解法之比较

极值点偏移问题的两种罕见解法之比较之袁州冬雪创

作

浅谈部分导数压轴题的解法

在高考导数压轴题中，不竭出现极值点偏移问题，那末，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等教师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =

是持

续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点1202

x x x +=，

我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”分歧，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12

02

x x x +≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”.

极值点偏移问题常常使用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、，1212()()f x f x x x <⇔<；若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递减，则对区间(,)a b 内的任意两个变量

12

x x 、，

1212()()f x f x x x <⇔>. 二是操纵“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？

两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,

(,)ln ln ,,

a b

a b L a b a b

a a

b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩

对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是：

(,)2

a b

L a b +≤≤

，（此式记为对数平均不等式）

下面给出对数平均不等式的证明：

i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，无妨设0a b >>， ①先

证

ln ln a b a b

--，要

证

ln ln a b a b

--，只须证

：

ln

a b <

1x =>，只须证：12ln ,1x x x x ≤->

设

1()2ln ,1f x x x x x =-+>，则2

2221(1)()10x f x x x x

-'=--=-<，所以

()f x

在(1,)+∞内单调递减，所以()(1)0f x f <=，即12ln x x x

<-，

ln ln a b a b

--

②再证：ln ln 2

a b a b a b -+<-

要证：

ln ln 2

a b a b

a b -+<-，只须证：

1ln 21a a

b b a b

-<+ 令1a x b

=>，则只须证：1ln 1

2

x x x -<+，只须证2ln 1112

x x x -

<>+， 设2ln ()112x g x x =--+，1x >，则2

22

21(1)()0(1)22(1)

x g x x x x x --'=-=<++ 所以()g x 在区间(1,)+∞内单调递减，所以()g(1)0g x <=，即

2ln 112

x

x -

<+， 故ln ln 2

a b a b a b -+<-

综上述，当0,0a b >>

(,)2a b

L a b +≤≤

例1（2016年高考数学全国Ⅰ文科第21题）已知函数

2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点．

（Ⅰ）求a 的取值范围；

（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ． 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，

当0a =时，()(2)0x f x x e =-=，得2x =，只有一个零点，分歧题意；

当0a ≠时，()(1)[2]x f x x e a '=-+

当0a >时，由()0f x '=得，1x =，由()0f x '>得，1x >，由()0f x '<得，

1x <，

故，1x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点，所以

min ()(1)0f x f e ==-<

又(2)0f a =>，故在区间(1,2)内存在一个零点2x ，即212x <<

由2

1lim (2)lim lim 0,x x x

x x x x x e e

e

--→-∞→-∞→-∞

--===-又2

(1)0a x ->，所以，()f x 在区间

(,1)-∞存在唯一零点1x ，即11x <，

故0a >时，()f x 存在两个零点；

当0a <时，由()0f x '=得，1ln(2)x x a ==-或，

若ln(2)1a -=，即2

e a =-时，()0

f x '≥，故()f x 在R 上单调递增，与

题意不符

若ln(2)1a ->，即02

e a -<<时，易证()=(1)0

f x f e =-<极大值故()f x 在R 上

只有一

个零点，若ln(2)1a -<，即2

e a <-时，易证

()=(ln(2)f x f a -极大值2(ln (2)4ln(2)5)0a a a =---+<，故()f x 在R 上只有一