2018-2019学年线性代数试题及答案.ppt

(k 2)2
(k 2)2
则B与 相似， 当 k 0且k 2时
特征值都大于0，并且
BT B 所以为正定阵。
p


p1,
p2
,
p3




1 5
0
4
35 5
35
2 3 2
3

f 9 y32
八、1）解： 2 2 1
A 1 2 0, B 0
1 1 3 并且 AB 0,R(A) 3, R(B) 3
A 0, 1
七、（满分10分）
求一正交变换 x Py ，将二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 4x22 4x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
化为标准形。
八、（每小题5分，满分10分）
2x1 2x2 x3 0
1、设线性方程组 x1 x2 2x3 0 的系数矩阵A，三阶
3、已知三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则矩阵 B A2 E
的特征值为： 2,2,5 ， B 20
4、设有向量组 1 (1,1,2)T ,2 (1,2,3)T ,3 (1,3, t)T ,
问t 4
时向量组1,2 ,3 线性相关。
5、设3阶矩阵 A (,1, 2 ), B ( ,1, 2 ) ，且 A 3, B 5
x1 x2 3x3 0
矩阵B不等于零，且AB=0，试求 的值，并证明 B 0
1 0 1
2、设矩阵 A 0
2
0
，矩阵
B

(k
E

2
，其中k为
1 0 1
实数，E为3阶单位阵，试求对角矩阵 ，使B与对角阵
相似，并求k为何值时，B为正定矩阵。
1 1 2 23, 2 1 2 3, 3 1 2 ,
线性无关。
3、设4阶方阵A满足条件 3E 2A 0, AAT 2E, A 0 求A的伴随矩阵 A 的一个特征值。
五、解矩阵方程（满分7分）
2 设矩阵 A 3
2 6
1 3
则 A B 32
2 0 0
2 0 0
6、已知矩阵 A 0 0 1 与 B 0 y 0 相似，
0 1 x
0 0 1
则x 0
y 1
7、已知实二次型
f (x1, x2 , x3 ) a(x12 x22 x32 ) 4x1x2 4x1x3 4x2 x3
一、填空题（每小题2分，共14分）
1、设A是3阶矩阵，且 A ，1A 是A的伴随矩阵，则：
2
(3A)1 2A
16 27
2、设四元非齐次线性方程组 Ax b 的系数矩阵A的秩为3，且
1 (1,2,3,4)T ,2 (2,3,4,5)T 是该方程组的两个解，则
方程组 Ax b 的通解为: (1,2,3,4)T k(1,1,1,1)T , k R
三、计算行列式（每小题5分，共10 分）
410 5 1、 D 3 1 1 2
2 0 6 4 2 5 3 2
218
1 a1 1
2、Dn 1 1
1 1 a2
1 1
1 1 1 a3 1
其中 ai 0 (i 1,2, , n)
1
1

1

n1 n (1 i1 ai ) i1 ai
因为1）可知 R(B) 3, B 0
八、2）解：
1
E A 0
1
0
2
0
1
0 22
1
所以，A 的特征值为 1 0, 2 3 2.
所以，B 的特征值为 k 2 , k 2 4k 4, k 2 4k 4.
k 2
4、设A为n阶方阵，且 A a 0，则 A （ A ）
( A) an1; (B) 1 ; (C) a; (D)an. a
5、设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（A ） （A） A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关； （B） A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关； （C） A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关； （D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关；
1 an
四、完成下列各题（1、2小题3分，3题4分，共10 分） 1、已知n阶矩阵A满足A2+2A-3E=0，试证：A+4E可逆， 并求出（A+4E）-1.
( A 4E)(A 2E) 5E ( A 4E)[ 1 ( A 2E)] E
5
2、已知向量组 1, 2 ,3 线性无关，试证向量组：
经正交变换 x Py 可化为标准形 f 12 y12 ，则a=
二、单项选择题（每小题2分，共10 分）
1、若4阶矩阵A的元素均为1，则A的特征值为（ B ）
（A）1，1，1，1； （C）1，1，0，0；
（B）4，0，0，0； （D）1，0，0，0.
2、设A为m*n矩阵，且R(A)=m<n，则（ D ）
且
AB

A
B
，求矩阵B。
1 2 3
六、（满分9分）x1 x2 x3 x4 1
设有线性方程组
x2 x3 2x4 1 2x1 3x2 (a 2)x3

4x4

b

3
3x1 5x2 x3 (a 8)x4 5
问当a,b取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解， 并求有无穷多解时的通解。
（A）A的任意m个列向量线性无关；
（B）A经过若干交初等行变换可化为（Em,0)的形式； （C）A中任一m阶子式为零；
（D）Ax=0必有无穷多解。 3、设A为n阶方阵，则方阵（ C ）为对称矩阵。
（A）A-AT；
（B）CACT（C为任意n阶矩阵）
（C）AAT；
（D）(AAT)B (B为任意n阶对称矩阵）
国为向量组 1,2 ,3 线性无关，所以
k1 k2 k3 0 k1 k2 k3 0 2k1 k2 0
由此求方程组的系数行列式 1 1 1
只有惟一零解，所以 线性无关。
1 1 1 4 0 2 1 0
四、3）解：由
3E 2A

0
可知

3 2
是A的一个特征值。
AAT 2E 所以 A 2 2E 24 16
而因为 A 0 故 A 4
若 是 A的一个特征值，则 A 是 A 的特征值。
从而有 4 8 是 A 的一个特征值。 3 3 2
第七题、
2 2 1
5 3 5 3
四、2）证：设有数 k1, k2 , k3 使得 k11 k22 k33 0
即：k1(1 2 23 ) k2 (1 2 3 ) k3 (1 2 ) 0
整理得：(k1 k2 k3 )1 (k3 k2 k3 )2 (2k1 k2 )3 0