高中数学高考总复习----分类讨论的思想知识讲解及考点梳理

a
1 1
x 1
∵ a 0 ，∴ a ，∴不等式解为 a 或 x 1，
(x 1)(x 1) 0
②若 a 0 ，则原不等式化为
a，
1 1 （ⅰ）当 a 1时， a ，不等式解为 x ，
1 1
1 x 1
（ⅱ）当 a 1时， a ，不等式解为 a
；
1 1
1 x 1
（ⅲ）当 0 a 1时， a ，不等式解为
高中数学高考总复习----分类讨论的思想知识 讲解及考点梳理
【高考展望】 数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有 着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所 给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的 结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整” 的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的 高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
a，
综上所述，原不等式的解集为：
{x | x 1 或 x 1}
当 a 0 时，解集为
a
；
当 a 0 时，解集为{x|x＞1}；
{x |1 x 1}
当 0 a 1时，解集为
a；
当 a 1时，解集为 ；
2
{x | 1 x 1}
当 a 1时，解集为 a
.
总结升华： 这是一个含参数 a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数 a 分类：（1）a≠0（2） a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0 或 a<0，因为这两种情形下，不等式解集形
(2)
a2
4b , 设
h(x)
f
(x)
g(x)
x3
ax2
1 a2x 1 4
则
h(x)
3x2
2ax
1 4
a2
,令
h(x)
0 ,解得:
x1
a 2
,
x2
a 6
;
a a
a0, 2 6 ,
原函数在
，
a 2
单调递增,在
a 2
，
a 6
单调递减,在
a 6
，
上单调递增
①若
1≤
a 2
,即
a≤2 时,最大值为 h(1)
【变式】设
f
(x)
ax
1 x ax
，
∴由根与系数的关系，得
，解之得 a=1，b=2；
（2）由（1）得关于 x 的不等式 ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，即 x2﹣（c+2）x+2c＜0，
因式分解，得（x﹣c）（x﹣2）＜0
①当 c=2 时，原不等式的解集为∅；
②当 c＜2 时，原不等式的解集为（c，2）；
3
③当 c＞2 时，原不等式的解集为（2，c）． 举一反三：
综上所述，原不等式的解集为：
当 a 0 或 a 1时， x ；
当 0 a 1时， x (a2, a) ；
当 a 0 或 a 1时， x (a, a2 ) .
例 2（2015 秋 会宁县校级期末）已知关于 x 的不等式 ax2﹣3x+2＞0 的解集为{x|x＜1 或 x＞b} （1）求 a，b； （2）解关于 x 的不等式 ax2﹣（ac+b）x+bc＜0 （c∈R） 【思路点拨】（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得 1 和 b 是相应方程的两个实数根，由根 与系数的关系建立关于 a、b 的方程组，解之即可得到实数 a、b 的值． （2）由（1），得所求不等式即 x2﹣（c+2）x+2c＜0，再讨论实数 c 与 2 的大小关系，即可得到不等式在 各种情况下的解集，得到本题答案． 【解析】（1）根据题意，得方程 ax2﹣3x+2=0 的两个根为 1 和 b，
【变式】（2015 春 山西校级期末）关于 x 的不等式 ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R） （1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求 a 的值； （2）解关于 x 的不等式 ax2+（a﹣2）x﹣2≥0． 【解析】（1）∵关于 x 的不等式 ax2+（a﹣2）x﹣2≥0 可变形为 （ax﹣2）（x+1）≥0， 且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）， ∴a＞0； 又不等式对应方程的两个实数根为﹣1 和 2；
当 a＜0 时，不等式化为（x﹣ ）（x+1）≤0，
不等式对应方程的两个实数根为 和﹣1，
在﹣2＜a＜0 时， ＜﹣1，
∴不等式的解集为{x| ≤x≤﹣1}；
在 a=﹣2 时， =﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；
在 a＜﹣2 时， ＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤ }． 综上，a=0 时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，
的图象可能是（ ）
4
【思路点拨】对底数 a 分两种情况讨论，结合图像恒过的定点可解。
【答案】D；
【解析】当
a
1时单调递增，
1 a
0
，故
A
不正确；因为
y
ax
1 a
恒不过点
(1,1)
，所以
B
不正确；
1 0 当 0 a 1时单调递减， a ，故 C 不正确 ；D 正确.
【总结升华】含有参数的函数的综合问题（本例是函数图像）历来就是高中数学的重点和难点之一。求解 此类问题的关键一点就是紧扣对称轴，依此来展开有条理性的分类讨论。 举一反三：
∴ =2，解得 a=1； （2）①a=0 时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}； ②a≠0 时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，
当 a＞0 时，原不等式化为（x﹣ ）（x+1）≥0，
它对应的方程的两个实数根为 和﹣1，且 ＞﹣1，
∴不等式的解集为{x|x≥ 或 x≤﹣1}；
式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到 1 与 谁大谁小 的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。 举一反三：
【变式】解关于 x 的不等式: x2 a3 (a a2 )x （ a R ）.
【解析】原不等式可分解因式为: (x a)(x a2 ) 0 ，
a
(2)当
1 3
f(x)
，则
log1 (x
3
10 9
) 1
x
，此时，x∈(-1，+∞)时，
10 9
1 9
即 f(x)<3，满足题意为所求.
综上，
f(x)
log
1 3
(x
10 9
)
1
.
log
1
(x
10 ) 9
2
3
【例 4】已知函数 f (x) ax2 1 ( a 0 ), g(x) x3 bx .
1
第二，按参数分类的结果要分类给出. 第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避免分 类. 【典型例题】 类型一、不等式中参数的讨论问题
【例 1】解关于 x 的不等式： ax2 (a 1)x 1 0 . 【思路点拨】依据式子的特点，此题应先按对最高次项的系数 a 是否为 0 来分类，然后对式子分解因式，
并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于 a 0 与 a 0 时，先写简单好作的 a 0 .
【解析】
（1）当 a 0 时，原不等式化为一次不等式： x 1 0 ，∴ x 1；
a(x 1)(x 1) 0
（2）当 a 0 时，原不等式变为：
a，
(x 1)(x 1) 0
①若 a 0 ，则原不等式化为
a
a2 4
;
②若
a 2
1
a 6
,即
2
a
6
时,最大值为
h
a 2
1
③若
1≥
a 6
时,即
a≥6
时,最大值为
h
a 2
1
.
综上所述:当
a
0 ，2
时,最大值为
h(1)
a
a2 4
;当
a
2
,
时,最大值为
h
a 2
1 .
【总结升华】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题都 是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点. 举一反三：
【解析】(1)由 1，c 为公共切点可得: f (x) ax2 1(a 0) ,则 f (x) 2ax , k1 2a ,
5
g(x) x3 bx ,则 g(x)=3x2 b , k2 3 b , 2a 3 b ①
a 3
又 f (1) a 1, g(1) 1 b , a 1 1 b ,即 a b ,代入①式可得: b 3 .
(1)若曲线 y f (x) 与曲线 y gห้องสมุดไป่ตู้x) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求 a,b 的值;
(2)当 a2 4b 时,求函数 f (x) g(x) 的单调区间,并求其在区间 (, 1] 上的最大值.
【思路点拨】(1) 根据曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处 的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求 a、b 的值。 (2)利用分类讨论的方法对参数 a 进行讨论求解。
（下面按两个根 a 与 a2 的大小关系分类）
（1）当 a a2 ，即 a 0 或 a 1时，不等式为 x2 0 或 (x 1)2 0 ，不等式的解集为： x ；
（1）当 a a2 ，即 0 a 1时，不等式的解集为： x (a2, a) ；
（2）当 a a2 ，即 a 0 或 a 1时，不等式的解集为： x (a, a2 ) ；
（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下 结论不一致，如二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，由 a 的正负而导致开口方向不确定，等比数列前 n 项和公式 因公比 q 是否为 1 而导致公式的表达式不确定等.
（ 3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如 ax2+bx+c＞0，a=0， a＜0，a＞0 解法是不同的.
（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的 位置关系等.
（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见. （6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数 的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果. 2.分类的原则 （1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的； 分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确 了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问 题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常 常是分类讨论划分的依据. （2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论. 当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类 分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法. 3.分类讨论的一般步骤 第一，明确讨论对象，确定对象的范围； 第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 第三，逐类讨论，获得阶段性结果； 第四，归纳总结，得出结论. 4. 分类讨论应注意的问题 第一，按主元分类的结果应求并集.
分类讨论是每年高考必考的内容，高考对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解 思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等
比数列求和，由 Sn 求 an 等。
【知识升华】 1．分类讨论的常见情形
（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必 须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
【变式】函数
f(x)
loga
(x
10 3
a)
1
的图象经过点(-1，3)，且
f(x)在(-1，+∞)上恒有
f(x)<3，求函数
f(x).
【解析】f(x)图象经过点(-1，3)，则
f
(1)
loga
(
10 3
a
1)
1=3
，
a2 10 a 1 0
a 1
整理得：
3
，解得 a 3或 3
(1)当 a 3时，则 f(x) log3(x 10) 1，此时 x∈(-1，+∞)时，f(x)>3，不满足题意；
a＞0 时，不等式的解集为{x|x≥ 或 x≤﹣1}，
﹣2＜a＜0 时，不等式的解集为{x| ≤x≤﹣1}， a=﹣2 时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，
a＜﹣2 时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤ }． 类型二、函数与方程中的分类讨论问题
y ax 1 (a 0, a 1)
【例 3】函数
a